Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

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1 Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind und es vor Ablauf nicht vorhersagbar ist. Es kann beliebig oft und in gleicher Weise ablaufen. Ergebnismenge: Ω eines Zufallsexperiments ist die Ergebnismenge, wenn jedem für die Beobachtung möglichen Ergebnis genau ein Element aus Ω zugeordnet wird. mehrstufiges Zufallsexperiment: Ein zufälliger Vorgang aus mehreren, nacheinander ablaufenden Teilvorgängen, bei k Teilvorgängen 0 spricht man von einem k-stufigen Zufallsexperiment. Baumdiagramm: diskrete Ergebnismenge 2. Zufällige Ereignisse, Verknüpfung von Ereignissen (1) jede Teilmenge A der endlichen Ergebnismenge Ω heißt Ereignis A. (2) stellt sich das Ergebnis e ein und gilt so sagt man, das Ereignis A ist eingetreten. (3) Die Menge aller Teilmengen von Ω nennt man Ereignisraum und bezeichnet sie mit 2 Ω 3. Absolute und relative Häufigkeiten Die Zahl H n (A), die angibt, wie oft bei n-malignem Realisieren eines Zufallsexperiments das Ereignis A eingetreten ist, heißt die absolute Häufigkeit von A. Ist H n (A) die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A bei n-maligem Realisieren eines Zufallsexperiments, so heißt h n (A)= die relative Häufigkeit des Ereignisses A. 4.Wahrscheinlichkeitsverteilung; Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

2 5. Vier- und Mehrfeldertafeln; Zerlegungen der Ergebnismenge 6. Gleichverteilung (LAPLACE-Experimente) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments heißt Gleichverteilung, wenn alle zugehörigen atomaren Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, also gleichwahrscheinlich sind. Diese Bedingung nennt man LAPLACE-Annahme. Wahrscheinlichkeit bei LAPLACE-Experimenten: Es gilt: Besteht Ω = {e 1 ; e 2 ; ; n} aus n Ergebnissen, so tritt jedes Ergebnis e i 1; 2; ; mit der Wahrscheinlichkeit P({e i }) = = ein. 7. Rechenregel für die Gleichverteilung (LAPLACE-Regel) Für jedes Ereignis A 2 Ω gilt die Rechenregel: P(A) = bzw. P(A) = ü ü ö 8. Pfadregeln Erste Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines atomaren Ereignisses ist gleich seiner Pfadwahrscheinlichkeit (d.h. gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der dem zugehörigen Ergebnis entspricht). Zweite Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe alles Pfadwahrscheinlichkeiten seiner zugehörigen atomaren Ereignisse. Verzweigungsregel: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von ein und demselben Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets Zählprinzip bei n-elementigen Mengen Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge (k n) ist = 10. Urnenmodell, Ziehen ohne Zurücklegen; hypergeometrische Verteilung!!! Werden einer Urne mit genau N Kugeln (M weiße, N-M schwarze) genau n Kugeln auf gut Glück und ohne Zurücklegen entnommen, dann gilt: P({genau m weiße Kugeln entnommen}) =

3 11. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Sind A und B zwei Ereignisse mit A Ω und B Ω sowie P(B) > 0, so nennt man P B (A) = die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung B. Die hierdurch definierte Funktion P B heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Bedingung B. 12. Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Definition:.. Erste Pfadregel (auch allgemeiner Produktsatz genannt): P(A B 1 ) = P(B 1 ) P (A) Zweite Pfadregel (auch Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit genannt): P(A) = P(B 1 ) P (A) + P(B 2 ) P (A) + + P(B n ) P (A) Bayessche Formel (auch Satz von BAYES) P A (B i ) = = 13. Unabhängigkeit von Ereignissen Zwei Ereignisse A und B des Ereignisraumes 2 Ω mit P(B) > 0 heißen genau dann voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn P B (A) = P(A) gilt. Spezieller Multiplikationssatz: Zwei Ereignisse A und B mit P(A) > 0 und P(B) > 0 sind genau dann voneinander unabhängig, wenn P(A B) = P(A) P(B) gilt. 14. Zufallsgrößen Endliche Zufallsgrößen: Eine Funktion X: Ω, die jedem Ergebnis e Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zuordnet, heißt Zufallsgröße X. Die Elemente des Wertebereichs von X nennt man Werte der Zufallsgröße X. Zufallsgrößen mit nur endlichen vielen Werten x 1, x 2,, x n bezeichnet man als endliche Zufallsgrößen. Eine Zufallsgröße X, die höchstens abzählbar unendlich viele verschiedene (Funktions-) Werte x 1, x 2,, x n, besitzt, heißt diskrete Zufallsgröße. Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Funktion, die jedem Wert x i einer diskreten Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit P(X = x i ) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. Die Funktion F mit F(x) = P(X x) nennt man Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X. Ihre Funktionswerte sind die kumulierten (summierten) Wahrscheinlichkeiten für X x.

4 15. Erwartungswert X sei eine endliche Zufallsgröße, die genau die Werte x i (i {1; 2; ; n}) annehmen kann, und zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit P(X = x i ). Dann nennt man die Kenngröße EX = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) + + x n P(X = x n ) den Erwartungswert der endlichen Zufallsgröße X. 16. Streuung Die Streuung D²X oder auch Varianz VarX von X. Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standartabweichung genannt und mit DX bzw. oder auch mit symbolisiert. Für eine endliche Zufallsgröße X, die genau die Werte x i mit i {1; 2; ; n}) annehmen kann und die den Erwartungswert EX besitzt, gilt D²X = E(X²) (EX)² = ² 17. BERNOULLI-Größe Eine Zufallsgröße X Zufallsexperiment BERNOULLI-Experiment Die BERNOULLI-Größe besitzt: EX = p; D²X = p (1 p) heißt BERNOULLI-Größe und das zugehörige (einstufige) 18. BERNOULLI-Ketten; binomialverteilte Zufallsgrößen wird ein BERNOULLI-Experiment n-mal durchgeführt, ohne dass sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p ändert, so spricht man von einer BERNOULLI-Kette mit den Parametern n und p. BERNOULLI-Formel: - für genau k-mal Erfolg B n;p ({k}) = P(X = k) = pk (1 p) n k - für höchstens k-mal Erfolg B n;p ({0; 1; ; k}) = P(X k) = P(X = 0) + P(X = 1) + + P(X = k) = p 1 p Binomialverteilung mit den Parametern n und p Eine Zufallsgröße X, welche die Werte 0; 1; 2; ; n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = k) = B n;p ({k}) = pk (1 p) n k für k {0; 1; 2; ; n} annimmt heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p Warten auf den ersten Erfolg: Für ein BERNOULLI-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p beträgt die Wahrscheinlichkeit für den ersten Erfolg - bei der n-ten Durchführung (1 p) n-1 p - frühestens bei der n-ten Durchführung (1 p) n-1 - spätestens bei der n-ten Durchführung 1 - (1 p) n Bsp. Berechnung kumulierte Binomialverteilungen (1) genau 50: P(X = 50) = P(X 50) - P(X 49) (2) weniger als 50: P(X < 50) = P(X 49) (3) mehr als 50: P(X > 50) = 1 - P(X 50) (4) mind. 41, höchst. 59: P(41 X 59) = P(X 59) - P(X 40) (5) mind. 41: P(X 41) = 1 - P(X 40) (6) mehr als 24, weniger als 28: P(24 < X < 28) = P(X 27) - P(X 24) geometrisch verteilt: p k = (1 p) k 1 p

5 19. Erwartungswert und Streuung binomialverteilter Zufallsgrößen Erwartungswert: EX = µ = n p Streuung ( Varianz): D²X = VarX = n p (1 p) Standartabweichung: DX = σ = n p 1 p 20. Grenzwertsatz von MOIVRE-LAPLACE zur Binomialverteilung 21. Normalverteilung Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine nichtnegative Funktion f gibt, sodass P(X x) = F(x) = für alle x gilt. Die Funktion f nennt man Dichtefunktion und F Verteilungsfunktion von X. Ihr Erwartungswert ist EX = Eine (stetige) Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ² wenn F(x) = P(X x) = ftdt mit f(t) = ² ² ² Erwartungswert und Streuung bei Normalverteilung: Für jede (µ; σ²)- normalverteilte Zufallsgröße X gilt EX = µ und D²X = σ² Eine stetige Zufallsgröße X heißt standardnormalverteilt oder N(0; 1), wenn F(x) = P(X x) = Φ(x) = φtdt mit φt) = ² Φ(x): gaußsche Summenfunktion Laplace-Bedingung: σ > Regel für normalverteilte Zufallsgrößen

6 23. Beschreibende Statistik arithmetische Mittel: Treten in einer Stichprobe mit dem Umfang n die Messwerte x 1, x 2,, x n auf, dann heißt x n = = das arithmetische Mittel dieser Stichprobe. 24. Beurteilende Statistik Grundprobleme des Testens von Hypothesen: Statistische Mengen sind Gesamtheiten von Ereignissen, Objekten oder Individuen. Die Menge aller Ereignisse bzw. Objekte oder Individuen, die zu einem klar gekennzeichneten Merkmal (oder einer Merkmalsgruppe) gebildet werden kann, bezeichnet man als Grundgesamtheit, insbesondere bei Individuen auch als Population. Eine aus einer Grundgesamtheit (i. Allg. zufällig auf gut Glück ) ausgewählte (Teil-)Menge mit n Elementen heißt Stichprobe. Die Elemente X 1, X 2,, X n der Stichprobe sind Zahlenwerte der Zufallsgröße X. Die Anzahl n der Elemente gibt den Umfang der Stichprobe an, kurz als Stichprobenumfang bezeichnet. Jedes einzelne Element der Stichprobe heißt Stichprobenelement. Hypothesen: Die zu überprüfende bzw. zu beurteilende Hypothese heißt Nullhypothese H 0. Die Verneinung (die Negation, das Gegenteil) der Nullhypothese wird Alternativhypothese oder Gegenhypothese genannt und mit H 1 oder auch H bezeichnet. Nullhypothese und Alternativhypothese sind konkurrierende (einander ausschließende) Hypothesen. Hypothesen Fehlentscheidungen: Alternativtest: statischer Test auf signifikante Unterschiede, bei dem zwischen zwei einfachen Hypothesen alternativ (für den einen oder den anderen konkreten Wert) entschieden wird. - Bestimmung des Annahmeberreichs (des Intervalls) [µ c σ; µ + c σ] (i.d.r. c = 1,96)

7 Ermitteln des kritischen Werts X = k bei vorgegebenem Signifikanzniveau α:

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