Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 7 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Grundkurs
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- Elmar Becker
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1 Seite 1 von 9 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 01 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Stochastik mit Alternative 1 (ein- und zweiseitiger Hypothesentest). Aufgabenstellung 1 siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben Inhaltliche Schwerpunkte Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Binomialverteilung einschließlich Erwartungswert und Standardabweichung Alternative 1: Ein- und zweiseitiger Hypothesentest. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab.
2 Seite von 9 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Personen, die ein Smartphone besitzen. X sei binomialverteilt mit n = 100 und 1 p. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt: P( X 15) 0, Verwendung der Tabelle]. [ 0,3877 0,874 0,1003 bei Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Personen, die ein Smartphone besitzen. X sei binomialverteilt mit n = 00 und 4 k PX ( 5) 1 P( X 4) 1 k0 k 6 6 P( X 5) 0,9574. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E 3 beträgt: 1 p. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt: 6 00k Tabelle P(3 X38) PX ( 38) PX ( 31) 0,8369 0,3711 0, Modelllösung b) (1) P("Zwei defekte nacheinander") 0,04 0,0016. () Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der fehlerhaften Smartphones. X sei binomialverteilt mit den Parametern n und p 0,04. Es soll gelten: n PX ( 1) 0,99 1 PX ( 0) 0,99 0,96 0,01 ln 0,01 n 11,81. ln 0,96 Es müssen also mindestens 113 Smartphones entnommen werden.
3 Seite 3 von 9 Modelllösung c) Bestimme zunächst die 1- -Umgebungen zu p = 0,0 und p = 0,04: p = 0,0: Die Standardabweichung beträgt ,0 0,98 1,98, der Erwartungswert ,0 4 : I0,0 4 11,98;4 11,98 [,0;5,98]. p = 0,04: Die Standardabweichung beträgt 000,04 0,96,77, der Erwartungswert 00 0,04 8 : I0,04 8 1,77;8 1,77 [5,3;10,77]. Der Wert 6 liegt im Intervall I 0,04, nicht jedoch in I 0,0. Die Abweichung zwischen dem Erwartungswert 1 und der Anzahl der defekten Smartphones liegt also nur für p = 0,04 im Bereich der einfachen Standardabweichung. Es ist also wahrscheinlicher, dass die Stichprobe aus der Produktion der schlechteren Qualität (4 %) stammt. Modelllösung d) (1) Baumdiagramm: 0,99 als defekt eingestuft 0,0 Gerät defekt 0,01 als funktionsfähig eingestuft 0,98 Gerät funktionsfähig 0,001 als defekt eingestuft 0,999 als funktionsfähig eingestuft () P(als defekt eingestuft) 0,00,99 0,980,001 0,0078 (3) P als defekt eingestuft 0,980,001 (nicht defekt) 0,047 0,00,99 0,98 0,001 [Alternativ ist auch eine Lösung durch Umdrehen des Baumdiagramms möglich.]
4 Seite 4 von 9 Modelllösung e) (1) Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Smartphones in der Stichprobe an. Dann kann X als binomialverteilt angenommen werden mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,01 und Stichprobenanzahl n = Der Erwartungswert von X beträgt ,01 10, die Standardabweichung ,010,99 3, Also ist die Laplace-Bedingung erfüllt und es gilt näherungsweise: 0 PH X 1,64 0,95 und es ist 1,64 15,16. Als Entscheidungsregel erhält man: Die Hypothese H 0 wird genau dann abgelehnt, wenn X 16 ist, ansonsten wird die Hypothese beibehalten. () Fehler 1. Art: Die Hypothese des Herstellers p 0,01 ist wahr, wird aber aufgrund einer zufällig hohen Anzahl defekter Smartphones fälschlicherweise verworfen. Fehler. Art: Die Hypothese (das Versprechen) des Herstellers ist falsch, sie wird aber aufgrund einer zufällig geringen Anzahl defekter Smartphones in der Stichprobe nicht abgelehnt. 6. Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) 1 berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass genau 15 Handy-Besitzer ein Smartphone haben. berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Handy-Besitzer ein Smartphone besitzen. 3 berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 und höchstens 38 Handy- Besitzer ein Smartphone besitzen. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 3 4
5 Seite 5 von 9 Teilaufgabe b) 1 (1) berechnet die Wahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander ein defektes Smartphone zu erhalten. () bestimmt einen Ansatz zur Ermittlung des gesuchten Stichprobenumfangs. 3 3 () berechnet das gesuchte n. 3 Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe c) 1 berechnet Standardabweichung und Erwartungswert für p = 0,0. 3 berechnet Standardabweichung und Erwartungswert für p = 0, entscheidet aufgrund der Ergebnisse. 4 Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe d) 1 (1) stellt die Situation mit Hilfe eines vollständigen Baumdiagramms dar. 6 () bestimmt P (als defekt eingestuft). 3 3 (3) bestimmt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 3 Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe e) 1 (1) ermittelt eine Entscheidungsregel. 5 () beschreibt die Fehler 1. und. Art im Sachzusammenhang. 6 Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet.
6 Seite 6 von 9 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) 1 berechnet die Wahrscheinlichkeit berechnet die Wahrscheinlichkeit 3 3 berechnet die Wahrscheinlichkeit 4 sachlich richtige Alternativen: (9) Summe Teilaufgabe a) 9 EK ZK DK Teilaufgabe b) 1 (1) berechnet die Wahrscheinlichkeit () bestimmt einen Ansatz 3 3 () berechnet das gesuchte 3 sachlich richtige Alternativen: (8) Summe Teilaufgabe b) 8 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur
7 Seite 7 von 9 Teilaufgabe c) 1 berechnet Standardabweichung und 3 berechnet Standardabweichung und 3 3 entscheidet aufgrund der 4 sachlich richtige Alternativen: (10) Summe Teilaufgabe c) 10 Teilaufgabe d) 1 (1) stellt die Situation 6 () bestimmt P (als defekt eingestuft). 3 3 (3) bestimmt die gesuchte 3 sachlich richtige Alternativen: (1) Summe Teilaufgabe d) 1 Teilaufgabe e) 1 (1) ermittelt eine Entscheidungsregel. 5 () beschreibt die Fehler 6 sachlich richtige Alternativen: (11) Summe Teilaufgabe e) 11 Summe insgesamt 50
8 Seite 8 von 9 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 der gesamten Prüfungsleistung 100 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß 13 Abs. APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: Die Klausur wird abschließend mit der Note: ( Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum
9 Seite 9 von 9 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus gut gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft 3 7 mangelhaft minus ungenügend
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