Numerik partieller Differentialgleichungen I

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1 Numerik partieller Differentialgleichungen I Bernd Simeon Skriptum zur Vorlesung im Sommersemester 2015 TU Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik 1. Beispiele und Typeinteilung 2. Finite Differenzen für die Poisson-Gleichung 3. Finite Elemente für elliptische Gleichungen 4. Iterative Verfahren für große lineare Gleichungssysteme 5. Instationäre Probleme Literatur: Braess, D.: Finite Elemente, 3. Auflage, Springer 2003 Brenner, S., Scott, R.: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer 1994 Großmann, Ch., Roos, H.-G.: Numerik partieller Differentialgleichungen, Teubner 1994

2 Vorwort Dieses Skriptum fasst den Stoff der Vorlesung Numerik partieller Differentialgleichungen I für Studierende der Mathematik, Technomathematik und Finanzmathematik zusammen. Bei der Stoffauswahl liegt der Schwerpunkt auf der Methode der Finiten Elemente. Daneben werden iterative Verfahren für große lineare Gleichungssysteme und die Linienmethode vertieft. Finite Differenzen werden nur kurz behandelt. Kaiserslautern, im April 2015 Bernd Simeon

3 Kapitel 1 Beispiele und Typeinteilung 1 Partielle Differentialgleichungen (Partial Differential Equations, PDEs) treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf. Beispiele sind u.a. die Strömungsmechanik, die Strukturmechanik, die Akustik, die Verfahrenstechnik, die Geophysik, die Finanzmathematik etc. Die Entwicklung von Algorithmen zu ihrer effizienten Lösung ist eine der aktuellen Hauptaufgaben in der Numerischen Mathematik. Gewöhnliche Differentialgleichungen sind in einer unabhängigen Variablen formuliert, zumeist der Zeit. Sie lassen sich in der Regel einheitlich in der Form y = f(x, y) als Anfangs- oder Randwertproblem schreiben, und zu ihrer numerischen Behandlung kann man im Allgemeinen genauso einheitlich vorgehen. Dagegen sind partielle Differentialgleichungen in mindestens zwei und oft auch mehr unabhängigen Variablen formuliert, und ihre Eigenschaften sind ganz und gar nicht einheitlich. Vielmehr trifft man auf einen regelrechten Zoo an Modellgleichungen, in den nur die Typeinteilung eine gewisse Ordnung hineinbringt. Die Unterscheidung in elliptische, hyperbolische und parabolische Gleichungen ist fundamental. Nur unter Kenntnis des Typs einer partiellen Differentialgleichung ist es möglich, eine sachgemäße Aufgabenstellung zu formulieren. 1

4 1.1 Beispiele Wir betrachten in diesem Abschnitt eine Auswahl an elementaren partiellen Differentialgleichungen und diskutieren einige Eigenschaften. Poisson-Gleichung Sei ein beschränktes Gebiet im R 2 und f : R eine gegebene Funktion auf. Gesucht ist u(x, y) für (x, y) mit ( ) 2 2 x2u(x, y) + y2u(x, y) = f(x, y). (1.1) Die Poisson-Gleichung (1.1), eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, ist erst mit der Vorgabe von Randwerten vollständig. Eine typische Forderung sind Dirichlet-Randbedingungen u(x, y) = g(x, y) für (x, y) (1.2) mit gegebener Funktion g auf dem Rand. Alternativ kann man Neumann- Randbedingungen u (x, y) := ν(x, y), u(x, y) = h(x, y) für (x, y) (1.3) ν spezifizieren, mit dem auswärts gerichteten Normalenvektor ν(x, y) auf dem Rand. Oft treten die Randbedingungen auch in Kombination auf, u = g auf Γ D, u ν = h auf Γ N, (1.4) wobei sich der Rand aus Γ D und Γ N zusammensetzt, Γ D Γ N = sowie Γ D Γ N =. Die Poisson-Gleichung (1.1) ist der Prototyp einer elliptischen partiellen Differentialgleichung. Im Sonderfall f 0 spricht man auch von der Laplace- 2

5 A H B G F E C D Abbildung 1: Wärmeverteilung im Gebiet. Aus Symmetriegründen genügt es, nur die Hälfte der Struktur zu betrachten. Rechts die numerische Lösung der Poisson-Gleichung. oder Potentialgleichung. Mit dem Laplace-Operator := 2 / x / y 2 schreibt sich (1.1) kurz als u = f. (1.5) Interpretationen: Die stationäre Wärmeverteilung in einem Gebiet genügt der Poisson- Gleichung (bei gleicher Wärmeleitung in x- wie y-richtung). Dabei modelliert f die gegebene Wärmequelle (Wärmestrom pro Flächeneinheit), die Dirichlet-RB gibt die Temperatur am Rand vor und die Neumann- RB den Wärmefluss durch den Rand (siehe Bsp. 1.1 unten). Die vertikale Auslenkung einer dünnen Membran (wie bei einer Trommel) unter der Last f genügt ebenfalls der Poisson-Gleichung. Die Dirichlet-RB beschreibt dann die gegebene Auslenkung am Rande. Auch die stationäre Verteilung eines elektrischen Feldes unter der Ladungsdichte f erfüllt die Poissongleichung 3

6 Beispiel 1.1: Gesucht ist die stationäre Wärmeverteilung im Gebiet aus Abb. 1. Falls die Randwertvorgabe und die Wärmequelle achsensymmetrisch zur y-achse sind, genügt es, die linke Hälfte der Struktur zu betrachten. Am äusseren Rand zwischen den Punkten A und B wird die Temperatur vorgegeben zu u = 0 (Dirichlet-RB). Auf den anderen Randstücken BC, CD und AH soll eine perfekte Isolierung vorliegen, die als u/ ν = 0 (Neumann-RB) modelliert wird. Zwischen DE und GH fordert man ebenfalls u/ ν = 0 aufgrund der Symmetrieannahme. Am inneren Rohr soll ein konstanter Wärmeverlust auftreten, den man als RB u/ ν = α für die Randstücke EF sowie F G mit Konstante α < 0 formuliert. Zusammengefasst: u = f in ; u = 0 auf AB; u/ ν = 0 auf BC, CD, AH, DE, GH; u/ ν = α auf EF, F G. Die Abb. 1 zeigt rechts die numerische Lösung dieses Randwertproblems für die Poissongleichung. Zahlwerte sind α = 4 und f(x, y) = 10. Berechnet wurde die Lösung mit der Methode der Finiten Elemente (Code FEMLAB), siehe Kapitel 3. Herleitung über die Variationsrechnung. Die Poisson-Gleichung wie auch viele andere partielle Differentialgleichungen leitet man aus gewissen physikalisch begründeten Variationsprinzipien ab. Da dieser Zusammenhang im Kapitel über Finite Elemente eine wichtige Rolle spielt, wollen wir hier vorab eine kurze Einführung geben. Wir definieren dazu das Funktional I(u) := 1 2 u, u dx dy uf dx dy uh ds. (1.6) Γ N Nehmen wir die Membran-Interpretation als Beispiel, dann setzt sich die potentielle Energie I(u) zusammen aus innerer oder Verzerrungsenergie (das erste Integral) minus der Energie der angreifenden Kräfte (in der Fläche und am Rand). Das physikalische System nimmt nun den Zustand u ein, in dem gilt u = g auf Γ D und I(u) min! (1.7) Die Dirichlet-Randbedingung u = g ist a priori zu berücksichtigen, um eine eindeutige Lösung zu garantieren. Aus diesem Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie wollen wir nun die Poissongleichung (1.5) als notwen- 4

7 dige Bedingung ableiten. Dazu nehmen wir an, eine Lösung u der Minimierungsaufgabe (1.7) existiert. Konkret fordern wir u C 2 () C 0 ( ) (u ist eine sogenannte klassische Lösung). Mit dem Ansatz nach Lagrange betten wir u nun ein in eine Schar von Konkurrenzfunktionen u + θv, wobei v C 1 () C 0 ( ) auf dem Rand Γ D verschwindet, v ΓD = 0. Die Funktion J(θ) := 1 2 u + θ v, u + θ v dx dy (u + θv)f dx dy (u + θv)h ds Γ N hat dann für θ = 0 ein Minimum, d.h. notwendigerweise gilt 0 = d dθ J(θ) θ=0 = u, v dx dy vf dx dy vh ds. (1.8) Γ N Wir definieren das Vektorfeld F (x, y) := (u x v, u y v) = v u und wenden den Gaußschen Integralsatz an. Aus div F dx dy = F, ν ds (1.9) folgt mit div F = F 1 / x + F 2 / y = u xx v + u x v x + u yy v + u y v y = v u + u, v die verallgemeinerte partielle Integrationsformel u, v dx dy = v u dx dy + v u, ν ds. (1.10) Einsetzen dieser Beziehung in (1.8) und die Eigenschaft v ΓD = 0 liefern dann 0 = v u dx dy + vf dx dy v u, ν ds + vh ds Γ N = v( u + f) dx dy + v(h u, ν ) ds. Γ N Diese Forderung gilt für alle zugelassenen Variationen δu = θv, d.h. für alle Funktionen v C 1 () C 0 ( ) mit v ΓD = 0. Mit dem Fundamentallemma 5

8 der Variationsrechnung schließt man nun, dass die Forderung nur erfüllt sein kann, falls u = f in und h = u, ν = u/ ν auf Γ N. Die Neumann-RB ergibt sich somit auf natürliche Art und Weise aus dem Variationsprinzip, weshalb man sie oft auch als natürliche RB bezeichnet. Fazit: Die Poisson-Gleichung ist eine notwendige Bedingung, um die Forderung (1.7) nach einem Minimum der potentiellen Energie zu erfüllen. Dass sie auch hinreichend ist, wird im Kapitel über Finite Elemente gezeigt. Verallgemeinerung auf d Raumdimensionen. Die Poisson-Gleichung lässt sich leicht auf mehr als zwei Dimensionen verallgemeinern. Dazu seien ein beschränktes Gebiet im R d mit d 2 und x = (x 1,..., x d ) die unabhängigen Variablen. Wir definieren den Laplace-Operator als u(x) := d i=1 2 u(x) x 2 i und schreiben dann die Poisson-Gleichung als u = f wie in (1.5), mit auf definierter Dichte f und passenden Randwerten. Maximumprinzip. Zur Lösung der Laplace-Gleichung u = 0 steht in der Analysis mit den harmonischen Funktionen ein mächtiger Zugang bereit (in d = 2 Dimensionen sind dies holomorphe Funktionen). Über die Technik der Greenschen Funktion kann man daraus Lösungen der Poisson- Gleichung (1.5) zumindest formal konstruieren. Wir wollen dies hier aber nicht weiter ausführen und wenden uns stattdessen einer Eigenschaft zu, die für die Numerik der Differenzenverfahren wichtig ist, nämlich dem Maximumprinzip. Dazu sei u C 2 () C 0 ( ) eine Lösung der Poissongleichung (1.5) in d Raumdimensionen. Wir betrachten die Situation u = f < 0 in, 6

9 d.h., wir nehmen an, dass die Dichte f negativ ist. Angenommen, es gibt ein ξ im Innern von mit u(ξ) = sup u(x) > sup u(x), x x dann ist ξ Extremalpunkt. Also muss u(ξ) = 0 gelten und die Hessematrix 2 u(ξ) = (u xi,x j (ξ)) negativ semidefinit sein. Insbesondere sind dann die Diagonaleinträge u x1,x 1 (ξ),..., u xd,x d (ξ) der Hessematrix kleiner gleich Null, und demnach (u x1,x 1 (ξ) u xd,x d (ξ)) 0, was im Widerspruch zur Annahme u < 0 steht. Also nimmt die Lösung u ihr Maximum auf dem Rand an. Im folgenden Satz wird dieses Prinzip auch auf den Fall f = 0 ausgedehnt. Satz 1.1 Maximumprinzip und Folgerungen Sei u C 2 () C 0 ( ). Dann gelten die Eigenschaften: (i) Maximumprinzip: Ist u = f 0 in, so nimmt u sein Maximum auf dem Rand an. (ii) Minimumprinzip: Ist u = f 0 in, so nimmt u sein Minimum auf dem Rand an. (iii) Vergleichsprinzip: Sei weiter v C 2 () C 0 ( ) und so folgt u v in. u v in, u v auf, Bew.: Die Aussage (i) ist im Fall f < 0 bereits gezeigt worden. Sei nun f 0 und η in mit u(η) > sup x u(x). Wir definieren h(x) := (η 1 x 1 ) (η d x d ) 2 und w(x) := u(x)+δh(x) mit Parameter δ > 0. Da h C 2 ( ), nimmt w für δ klein genug sein Maximum ξ auch im Innern an. Nun ist w(x) = u(x) δ h(x) = f(x) 2δd < 0, und somit liegt ein Widerspruch zum oben gesagten vor. Also liegt ξ doch auf dem Rand und damit auch η. 7

10 Die Aussage (ii) folgt direkt, wenn man für v = u das Maximumprinzip anwendet. Für (iii) schließlich setzen wir w = v u. Dann ist w = v + u 0 nach Voraussetzung, und auf dem Rand gilt w 0. Das Minimumprinzip liefert dann inf w 0 und folglich w(x) 0 in. Eine weitere Folgerung ist die stetige Abhängigkeit von den Randdaten im Fall von Dirichlet-RB. Seien dazu u 1 und u 2 zwei Lösungen der Poisson- Gleichung. Aus u 1 = f und u 2 = f ergibt sich w = 0 für die Differenz w := u 1 u 2. Aus dem Maximumprinzip und dem Minimumprinzip folgen w(x) sup w(z) sup w(z), z z und somit w(x) inf w(z) sup w(z) z z sup u 1 (x) u 2 (x) = sup u 1 (z) u 2 (z). (1.11) x z Die Änderung in der Lösung ist demnach beschränkt durch die Änderung in den Randdaten. Wellengleichung Wir betrachten wiederum ein beschränktes Gebiet R d mit d 3. Gesucht ist eine Funktion u(x, t), die neben x R d nun auch noch von der Zeit t [t 0, t end ] abhängt und der Wellengleichung u tt = c 2 u (1.12) genügt. Im Fall d = 3 stellt die Lösung u von (1.12) die Bewegung eines idealen Gases dar, im Fall d = 2 die Schwingung einer Membran und für d = 1 die Schwingung einer Saite oder eines Seils. Die Konstante c ist dabei die Wellengeschwindigkeit. Die Wellengleichung (1.12) ist der Prototyp einer hyperbolischen partiellen Differentialgleichung. 8