13.1 Die Laplace-Transformation

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1 13.1 Die Laplace-ranformation Die Laplace-ranformation Die Laplace-ranformation it eine Integraltranformation, die jeder Zeitfunktion f(t), t, eine Bildfunktion F () gemäß 13.1 F () = f (t) e t dt zuordnet. Da die Zeitintegration bei t = beginnt, wird im Folgenden immer von f (t) = für t < augegangen. Damit da uneigentliche Integral und damit die Bildfunktion F () überhaupt definiert it, mu da Integral für jede einen endlichen Wert annehmen. Eine hinreichende Bedingung hierfür it, da die Funktion f (t) die beiden folgenden Eigenchaften beitzt: Bedingung 1: f : [, ) IR it eine tückweie tetige Funktion: Der Definitionbereich der Funktion kann in endlich viele eilintervalle unterteilt werden, in denen die Funktion tetig und bechränkt it. Bedingung 2: f : [, ) IR wächt nicht chneller al eine Exponentialfunktion e αt mit geeignetem α: E gibt ein > und Kontanten α, M >, o da f (t) M e αt für t. Man nennt f dann von höchten exponentiellem Wachtum der Ordnung α. In Abb it eine tückweie tetige Funktion mit höchten exponentiellem Wachtum der Ordnung 1 gezeichnet. In jedem eilintervall it f (t) tetig und für Zeiten t > it f (t) < e t. Abb Funktion von höchten exponentiellem Wachtum

2 Laplace-ranformation Beipiele 13.2: 1 Funktionen von höchten exponentiellem Wachtum: f (t) = cont, t n, co (ωt), in (ωt), e αt, alle bechränkten Funktionen. 2 Funktionen, die ein größere Wachtum al da exponentielle beitzen: e t2, e in(t) t3. Satz 13.1: It f : [, ) IR von höchten exponentiellem Wachtum der Ordnung α, dann gilt lim t e t f (t) = für > α. Begründung: Wenn f (t) M e αt, dann it für > α e t f (t) e t M e αt = M e (α )t für t. Satz von Laplace: Sei f : [, ) IR eine tückweie tetige Funktion von höchten exponentiellem Wachtum der Ordnung α (d.h. f (t) M e αt für t > ). Dann exitiert L (f (t)) := F () := f (t) e t dt für > α. ( ) L (f (t)) heißt Laplace-ranformierte (Bildfunktion) zur Zeitfunktion f (t). Bemerkungen: (1) I.A. it = δ + iω eine komplexe Variable und F () eine komplexe Funktion. Im Folgenden werden wir aber bi auf die Angabe der inveren Laplace- ranformation al reelle Variable und damit F () al reellwertige Funktion betrachten. (2) Ein nach Formel ( ) gebildete Funktionenpaar f (t) und F () nennt man eine Korrepondenz. Man verwendet dafür auch die ymboliche Schreibweie f (t) F ().

3 13.1 Die Laplace-ranformation 567 (3) Mit der Laplace-ranformation behandelt man zeitlich veränderliche Vorgänge, die zur Zeit t = beginnen und die damit durch eine Funktion f mit f (t) = für t < bechrieben werden können. (4) Man kann allgemeiner die Laplace-ranformierte von Funktionen bilden, die tatt Bedingung 1 die folgende allgemeinere Bedingung erfüllen: In jedem endlichen eilintervall von [, ) it f tückweie tetig. Diee Eigenchaft it im Hinblick auf die Laplace-ranformierte von periodichen Funktionen von Bedeutung. Bewei de Satze von Laplace: Wir zeigen, da da Integral f (t) e t dt für jede > α einen endlichen Wert annimmt: Da f tückweie tetig it, lät ich da Intervall I = [, ) in endlich viele eilintervalle I 1,..., I n unterteilen, o da f auf jedem dieer Intervalle I k = [t k 1, t k ] (k = 1,..., n) tetig und bechränkt it. Außerdem it f(t) von höchten exponentiellem Wachtum der Ordnung α, d.h. e gibt ein und Kontanten α, M, o da f (t) M e αt für t >. Wir nehmen an, da > t n und zerlegen den Definitionbereich von f in [, ) = I 1 I 2... I n [t n, ] [, ). Dann it f (t) e t dt = t 1 f (t) e t dt t n t n 1 f (t) e t dt + t n f (t) e t dt + f (t) e t dt. Die erten n + 1 Integrale ind endlich, da f darauf tetig und bechränkt it. Da letzte Integral it endlich, da f von höchten exponentiellem Wachtum it: f (t) e t dt e t f (t) dt M e t e αt dt = M e ( α)t 1 dt = M ( α) e ( α)t = M α e ( α) M α = M α e ( α) für > α. lim t e ( α)t Damit ind alle eilintegrale endlich und F () für > α definiert.

4 Laplace-ranformation Beipiele 13.3: 1 Die Laplace-ranformierte der Sprungfunktion: Gegeben it die Sprungfunktion (Heaviidefunktion) S(t) := { für t < 1 für t Für > it: L(S(t)) = 1 e t dt = [ 1 e t ] = 1 S (t) 1. 2 Laplace-ranformierte von Potenzfunktionen: (i) Die Laplace-ranformierte der unten gezeichneten linearen Funktion p 1 (t) := { für t < t für t erhält man mittel partieller Integration: L (p 1 (t)) = t e t dt = t e t + 1 Die Korrepondenz lautet für > e t dt = 1 2 e t = 1 2. t S(t) 1 2. (ii) Die Laplace-ranformierte der Potenzfunktion { für t < p n (t) := t n für t = tn S(t) (n IN) lautet L (p n (t)) = n!. Man erhält diee Formel induktiv durch partielle n+1 Integration von L (p n+1 (t)) = t n+1 e t n+1 e t dt = t + n + 1 t n e t dt = n + 1 L (p n (t)) = n + 1 n! (n + 1)! = n+1 n+2.

5 13.1 Die Laplace-ranformation 569 Der Induktionanfang it durch 1 bzw. 2 (i) gegeben. t n S(t) n! n+1 > n IN. 3 Die Laplace-ranformierte der Exponentialfunktion: f (t) = { für t < e αt für t lautet F () = 1 α für > α. Denn L (f (t)) = = e αt e t dt = 1 ( α) e ( α)t e ( α)t dt = 1 α. e αt S(t) 1 α für > α. 4 Die Laplace-ranformierte der verchobenen Sprungfunktion (α > ) S (t α) = { für t < α 1 für t α lautet für > L (S (t α)) = S (t α) e t dt = α 1 e t dt = e t α = e α S (t α) e α für >.