3. Leistungsdichtespektren

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Kristina Weber
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1 Stochastische Prozesse: 3. Leistungsdichtespektren Wird das gleiche Geräusch mehrmals gemessen, so ergeben sich in der Regel unterschiedliche zeitliche Verläufe des Schalldrucks. Bei Geräuschen handelt es sich um so genannte stochastische Prozesse. Jede Messung liefert eine Realisierung des stochastischen Prozesses. Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-

2 Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-2

3 Stochastische Prozesse werden durch statistische Kennwerte beschrieben: Mittelwert: p t = R R = p t Quadratischer Mittelwert: 2 p t = R R = p 2 t Varianz: 2 p t = R p t p t 2 R = Dabei ist R die Anzahl der Messungen. Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-3

4 Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-4

5 Bei stationären stochastischen Prozessen hängen die statistischen Kennwerte nicht von der Zeit ab. Bei stationären Geräuschen ist der Mittelwert null. Der quadratische Mittelwert stimmt daher mit der Varianz überein. Ergodische stochastische Prozesse: Ein stationärer stochastischer Prozess heißt ergodisch, wenn sich die gleichen Zahlenwerte für die statistischen Kennwerte ergeben, wenn die Mittelung statt über die einzelnen Realisierungen des Prozesses entlang der Zeitachse einer Realisierung erfolgt. Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-5

6 Bei einem ergodischen stochastischen Prozess gilt: Mittelwert: p = lim R R R = p t = lim T T t c T / 2 t c T / 2 p t dt= p = p Quadratischer Mittelwert: p 2 = lim R R R = p 2 t = lim T T t c T /2 t c T /2 p 2 t dt= p 2 = p 2 Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-6

7 Beispiel: Sei 3. Leistungsdichtespektren p t = n= p n sin 2 f n t n eine Realisierung eines stochastischen Prozesses. Dabei sind die Amplituden p n und die Frequenzen f n für alle Realisierungen gleich, während die Phasen n Zufallsgrößen sind. Für den über die Realisierungen gebildeten Mittelwert gilt: p t = lim R = n= R R = p n lim R n= p n sin 2 f n t n R sin 2 f n t n =0 R = Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-7

8 Für den über die Realisierungen gebildeten quadratischen Mittelwert gilt: p n sin 2 f n t n 2 p 2 t = lim R = n= m n R R = [ p 2 n lim R = 2 n= n= R R = p m p n lim R p n 2 sin 2 2 f n t n R ] sin 2 f m t m sin 2 f n t n R = Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-8

9 Beide Mittelwerte hängen nicht von der Zeit ab. Der stochastische Prozess ist stationär. Für den über die Zeit gebildeten Mittelwert gilt: p = lim T = n= = n= T p n lim T t c T /2 t c T /2 T p n f n lim T n= p n sin 2 f n t n dt 2 f n [cos 2 f n t c T /2 n cos 2 f n t c T /2 n ] sin 2 f n t c n sin f n T =0= p T Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-9

10 Für den über die Zeit gebildeten quadratischen Mittelwert gilt: p 2 = lim T = n= m n t c T /2 t c T /2 T [ p 2 n lim T = 2 n= [ n= T p m p n lim T p n 2 = p 2 t c T /2 t c T /2 ]2 p n sin 2 f n t n dt T sin 2 2 f n t n dt t c T /2 t c T /2 sin 2 f m t m sin 2 f n t n dt ] Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-0

11 Die über die Realisierungen gebildeten Mittelwerte stimmen mit den über die Zeit gebildeten Mittelwerten einer Realisierung überein: Der stochastische Prozess ist ergodisch. Bei den meisten in der Technik vorkommenden stochastischen Prozessen wird davon ausgegangen, dass sie ergodisch sind. Leistungsdichtespektren: Zwei Geräusche werden als gleich empfunden, wenn ihr Frequenzgehalt übereinstimmt. Für das angegebene Beispiel können die Beiträge einzelner Frequenzbänder wie in Kapitel. ermittelt werden. Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-

12 Im Allgemeinen wird der Frequenzgehalt eines ergodischen stochastischen Prozesses durch sein Leistungsdichtespektrum beschrieben. Zur Definition wird das Zeitsignal p(t) durch ein Filter geschickt, das nur den Anteil p f (t) passieren lässt, der zu Frequenzen im Intervall [f Δf/2, f + Δf/2] gehört. Das Leistungsdichtespektrum Ψ p (f) ist definiert durch p f = lim f 0 p f 2 f Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-2

13 Filter mit f = 50Hz, Δf = 4Hz Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-3

14 Aus der Definition des Leistungsdichtespektrums folgt unmittelbar: p f df p 2 = 0 In der Praxis werden endliche Filterbreiten Δf verwendet. Schmalbandspektren werden z.b. mit Filtern der konstanten Breite Δf = 2Hz ermittelt. Zur Ermittlung von Terz- oder Oktavspektren werden Filter für Terz- bzw. Oktavbänder verwendet. Heute werden Leistungsdichtespektren in der Regel digital mithilfe der schnellen Fourier-Transformation aus den Zeitreihen ermittelt. Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-4

15 Mithilfe von Bewertungsfiltern lassen sich auch bewertete quadratische Mittelwerte berechnen: p 2 W = 0 W 2 f p f df Bei Terz- und Oktavspektren werden die gewichteten Mittelwerte durch Gewichtung der Beiträge der einzelnen Frequenzbänder ermittelt. Dabei wird der Wert der Gewichtsfunktion für die Mittenfrequenz ermittelt. Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-5

16 Beispiel: Weißes Rauschen 3. Leistungsdichtespektren Beim weißen Rauschen ist das Leistungsdichtespektrum im betrachteten Frequenzbereich konstant: p f = 0 =const. Der Beitrag einer Terz zum quadratischen Mittelwert berechnet sich zu p k 2 = 0 f ok f uk = f =0,236 f 6 mk 0 mk 2 Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-6

17 Für zwei aufeinander folgende Terzen gilt: 2 p k p k 2 = f mk f mk = 3 2 Daraus folgt für die Terzpegel: L pk L pk =0 log 3 2 = db Entsprechend gilt für zwei aufeinander folgende Oktaven: 2 p k p k 2 = f mk f mk =2 L pk L pk =0 log 2 =3dB Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-7

18 Sind Terzen im Geräusch enthalten und ist L p0 der Terzpegel der tiefsten Terz, dann gilt für den Gesamtpegel: L p =0 log n=0 Die Summe berechnet sich zu 0 L n /0 p 0 =0 L /0 p 0 n=0 n=0 0 L p 0 n /0 0 n /0 =0 L /0 p 0 /0 0 n n=0 =0 L /0 0 /0 p 0 0 /0 Dabei wurde die Summenformel für die geometrische Summe benutzt. Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-8

19 Daraus folgt für den Gesamtpegel: L p =L p 0 0 log 0 /0 0 /0 Für = 0 ergibt sich: Rosa Rauschen: L p =L p0 5,4 db Beim rosa Rauschen ist das Leistungsdichtespektrum umgekehrt proportional zur Frequenz: p f = 0 f 0 f Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-9

20 Das Rauschen eines Wasserfalls lässt sich näherungsweise durch rosa Rauschen beschreiben. Für den Beitrag einer Terz zum quadratischen Mittelwert gilt: f ok 2 p k = 0 f 0 f uk df f = 0 f 0 ln f ok f uk Jede Terz liefert also den gleichen Beitrag. = f ln 3 ln = 0 f 0 3 Entsprechend folgt für den Beitrag einer Oktav: f ok 2 p k = 0 f 0 f uk df f = 0 f 0 ln f ok f uk = 0 f 0 ln 2 Prof. Dr. Wandinger. Quantitative Beschreibung von Schall Akustik.3-20

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