Experimentalphysik für ET. Aufgabensammlung

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1 Experimentalphysik für ET Aufgabensammlung 1. Wellen Eine an einem Draht befestigte Stimmgabel schwinge senkrecht zum Draht und erzeuge so auf diesem eine Transversalwelle. Die Amplitude der Stimmgabelschwingung betrage 0, 5 mm, die Frequenz 400 Hz. Die Kraft durch die Spannung im Draht sei 1 kn und die Massenbelegung des Drahtes 0, 01 kg/m. Angenommen werden soll, dass keine Reflexionen auftreten. a) Wie groß sind die Periode und die Frequenz der Wellen auf dem Draht? (T = 1/f = 1/(400 Hz) = 2.5 ms) b) Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen? (v = 316 m/s) c) Wie groß sind die Wellenlänge und die Wellenzahl? (λ = mk = 7.95 m 1 ) d) Wie lautet die Wellenfunktion? e) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit? (v max = 1.26 m/s) f) Wie groß ist die maximale Beschleunigung? (a max = m/s 2 ) 2. Wellen Eine sinusförmige Welle breite sich entlang der positiven x-achse aus. t = 0 x = m y [m] 0.0 y [m] x [m] t [s] a) Ermitteln Sie anhand der Abbildung die Funktion y(x, t), die die Welle beschreibt. b) Geben Sie die Beträge des Wellenvektors und der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle an. (v = 10 2 m/s, k = 125.6m 1 ) Ein Draht mit der Länge l = 5 m schwinge mit der Frequenz f. Der Draht werde durch eine Kraft von 5 kn gespannt. c) Eine Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ergibt v = 500 m/s. Wie schwer ist der Draht? (m = 10 1 kg) d) Ist die Wellenlänge der Welle in der umgebenden Luft dieselbe wie die Wellenlänge auf dem Draht (Begründen Sie Ihre Antwort)?

2 3. Wellen Es sollen Wellen auf einer 80 cm langen beidseitig eingespannten C-Saite eines Klaviers untersucht werden. Die Saite hat eine Masse von 7 g. a) Wie groß sind die Wellenlänge und die Wellenzahl der Grundschwingung der Saite? (λ = 1.6 mk = 3.92 m 1 ) b) Der Ton c besitzt eine Frequenz von 261, 63 Hz. Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der zugehörigen Welle auf der Saite? (v = m/s) c) Wie groß muss die Zugkraft in der Saite sein, um die Ausbreitungsgeschwindigkeit aus Aufgabe b) zu erreichen? (F = N) d) Welche Frequenzen gehören zur 1. und 2. Oberwelle der Saite? (f 1 = Hz, f 2 = Hz) Ein 5 m langes, schweres Seil hänge frei beweglich von der Decke. e) Zeigen Sie, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit transversaler Wellen auf dem Seil nicht von dessen Masse und Länge abhängt, aber eine Funktion des Abstandes y vom unteren Punkt des Seiles ist, und zwar gemäß v = gy. f) Wie lange dauert es, bis ein Wellenberg vom unteren Ende des Seiles zum Aufhängepunkt und wieder zurückgewandert ist? (t = 2.85 s) 4. Wellen Eine 2 m lange Saite mit einer Gesamtmasse von m = 9, 81 g werde durch ein herabhängendes Gewichtstück der Masse M = 11, 25 kg gespannt. Der Abstand zwischen dem Befestigungspunkt und der Umlenkrolle sei d = 0.75 m. a) Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf der Saite? (v = 150 m/s) b) Wie groß ist die Wellenlänge der Grundwelle der Saite? (λ = 1.5 m) c) Welche Frequenz hat die Grundwelle? (f = 100 Hz) d) Ist die Wellenlänge der Grundwelle in der umgebenden Luft dieselbe wie die Wellenlänge auf der Saite? (Begründen Sie Ihre Antwort.)

3 5. Wellen Eine Stahlsaite hat eine Länge von l = 40 cm und der verwendete Stahl eine Dichte von ϱ = 7, 8 g/cm 3. a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf einer gespannten Saite an? b) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit, der Frequenz und der Wellenlänge von Wellen an? c) Wie hängen die Länge des Stahlseils und die Wellenlänge der Grundschwingung zusammen? d) Bei welcher mechanischen Spannung σ der Saite erzeugt sie in ihrer Grundschwingung einen Ton mit der Frequenz f = 200 Hz? (σ = 200 MPa) e) Welcher Zugkraft F entspricht die Spannung aus d) bei einem Saitendurchmesser von d = 0, 5 mm? (F = 39.2 N) f) Welche Grundfrequenz ergibt sich, wenn die Saite halb so lang und doppelt so dick ist und unter einem Viertel der Zugkraft steht? (f = 100 Hz) 6. Wellen Eine 4 m lange Saite mit einer Gesamtmasse von m = 9, 81 g werde durch eine verschiebbare Halterung starr fixiert und durch zwei herabhängende Gewichtstücke der Masse m 1 = 76, 8 kg und m 2 auf der jeweils anderen Seite gespannt. Der Abstand zwischen den beiden Umlenkrollen sei l = 3 m. Ein Beobachter verschiebt die Halterung soweit, bis er für die Frequenzen der Grundschwingungen der beiden Abschnitte l 1 und l 2 den gleichen Wert erhält. Für die Strecke l 2 ergibt sich so ein Wert von 1 m. a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf einer gespannten Saite an? b) Welcher Zahlenwert ergibt sich für die Wellenlänge der Grundwelle auf der Saite l 2? (λ = 2 m) c) Welcher Wert ergibt sich für die Frequenz der Grundwelle? (f = Hz) d) Welcher Zahlenwert ergibt sich für die Masse m 2? (m 2 = 19.2 kg)

4 7. Wellen Ein langes, schweres Seil der Masse m und Länge L hänge frei beweglich von der Decke herab. Am unteren Ende des Seils sei eine Masse M = 4m befestigt. a) Zeigen Sie, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit transversaler Wellen auf dem Seil eine Funktion des Abstandes y vom unteren Ende des Seils ist, und zwar gemäß v(y) = (MgL/m + gy). b) Geben Sie den Ausdruck für die Schwingungsdauer der Grundwelle an. Berechnen Sie dazu die Laufzeit eines Wellenberges vom unteren Ende des Seils zum Aufhängepunkt und wieder zurück. c) Leiten Sie über v = L 1 L 0 vdy den Ausdruck für die mittlere Geschwindigkeit der Welle auf dem Seil ab. d) Geben Sie den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit, der Schwingungsdauer und der Wellenlänge der Welle auf dem Seil an. Berechnen Sie den Wert der Wellenlänge in Vielfachen der Länge L, der sich hier ergibt. 8. Interferenz Die Lautsprecher L 1 und L 2 befinden sich in den Ecken eines rechteckigen Raumes mit Wänden der Längen a bzw. b. Beide strahlen phasengleich einen Ton der Frequenz f ab. Ein Beobachter (B) startet in einer Ecke des Raumes und bewegt sich entlang der Diagonalen zur Mitte des Raumes. An den Punkten x 1 = 0, 887 m, x 2 = 2, 041 m und x 3 = 2, 935 m hat die vom Beobachter gemessene Leistung Minima. a) Geben Sie den Ausdruck für die Weglängendifferenz Δs der beiden emittierten Wellen am Ort des Beobachters als Funktion von a, b, x und α an. b) Geben Sie die Bedingung für die Weglängendifferenz Δs für ein Minimum am Ort x an. Wie weit liegen zwei Minima auseinander? c) Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus a) und b), um die Zahlenwerte der Wellenlänge und der Frequenz der emittierten Schallwellen zu ermitteln. Nehmen Sie für die Schallgeschwindigkeit v s = 330 m/s und für die Längen der Wände a = 3 m und b = 6 m an. (λ = 1 m, f = 330 Hz) d) Geben Sie Ausdruck und Zahlenwert für den Betrag des Wellenvektors der emittierten Schallwellen an. (k = m 1 )

5 9. Interferenz Die Lautsprecher L 1 und L 2 sind im Abstand d = 7, 5 m voneinander angeordnet. Beide strahlen phasengleich einen Ton der Frequenz f ab. Ein Beobachter startet am Lautsprecher L 2 und bewegt sich senkrecht zur Verbindungslinie L 2 L 1. An den Punkten y 1 = 0, 3848 m, y 2 = 1, 224 m und y 3 = 2, 1875 m hat die vom Beobachter gemessene Leistung Minima. a) Geben Sie den Ausdruck für die Weglängendifferenz der beiden emittierten Wellen am Ort des Beobachters an. b) Lautsprecher L 2 hat eine Leistung von P 2 = 20 W, die homogen in den Raum abgestrahlt wird. Welche Leistung hat Lautsprecher L 1, wenn der Beobachter am Punkt y 3 eine vollständige Auslöschung misst? Gesucht ist der Zahlenwert. (P 1 = 255 W) c) Nutzen Sie den Ausdruck aus a), um die Zahlenwerte der Wellenlänge und der Frequenz der emittierten Schallwellen zu ermitteln. Nehmen Sie für die Schallgeschwindigkeit v s = 330 m/s an. (λ = 0.75 m, f = 440 Hz) 10. Interferenz An einer Wand, die in der y,z-ebene liegt, sind zwei Schallquellen befestigt. Quelle S 1 befinde sich am Ort (x, y, z) = (0, 0, 3) und S 2 am Ort (0, 2.5, 1). Die Quellen strahlen phasengleiche Schallwellen mit der selben Frequenz und Amplitude ab. Ein Detektor (D) befinde sich am Ort (2, 1, 1). a) Berechnen Sie die drei größten Wellenlängen, die der Detektor nicht registrieren kann. (λ = (1; 1/3; 1/5) m) Die Quelle S 2 werde abgeschaltet. Die abgestrahlte mittlere Leistung von Quelle S 1 sei 50 W. b) Berechnen Sie die vom Detektor aufgezeichnete Intensität unter der Annahme, dass Quelle S 1 seine gesamte Leistung gleichmäßig in eine Halbkugel in x-richtung abstrahlt. (I = 0.88 W/m 2 ) c) Streichen Sie die nicht zutreffenden Antworten: (1 Punkt) Stehende Wellen entstehen bei der Überlagerung von zwei Wellen... - mit gleicher Amplitude, gleicher Kreisfrequenz und gleicher Ausbreitungsrichtung. - mit gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und entgegengesetzten Ausbreitungsrichtungen. - mit gleicher Amplitude, etwas anderen Frequenzen und gleicher Ausbreitungsrichtung. - mit gleicher Amplitude, etwas anderen Kreisfrequenzen und entgegengesetzten Ausbreitungsrichtungen.

6 11. Interferenz Die sogenannte Kundtsche Methode ist ein Verfahren zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit verschiedener Gase. In ein horizontales, zylindrisches Glasrohr wird gleichmäßig ein leichtes Pulver gestreut. Eine Seite des Rohres ist durch einen Kolben geschlossen, der durch einen Oszillator mit bekannter Frequenz angetrieben wird. Auf der gegenüberliegenden Seite befindet sich ein Kolben mit dem die Länge der Gassäule im Rohr eingestellt werden kann. Während der erste Kolben schwingt, wird der zweite langsam so lange bewegt, bis der Resonanzfall eintritt. Dann sammelt sich das Pulver in kleinen, gleichmäßig über den Röhrenboden verteilten Häufchen. a) Warum ordnet sich das Pulver so an? b) Leiten Sie eine Gleichung für die Schallgeschwindigkeit in einem Gas in Abhängigkeit von der Frequenz f und dem Abstand der Pulverhäufchen her? Der erste Kolben sei an einen Stahlstab der Länge l = 1, 20 m gekoppelt und die Röhre sei mit Wasserstoff gefüllt. Bei Anregung des Stabes wird zwischen den Häufchen ein Abstand von 0, 288 m gemessen c) Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit in Wasserstoff, wenn diejenige im verwendeten Stahl v s = 5300 m/s ist? (v = 1272 m/s) 12. Interferenz Zwei im Abstand d = 9, 00 m symmetrisch zum Nullpunkt angeordnete Lautsprecher Q 1 und Q 2 strahlen phasengleich einen Messton ab. Der Ton wird zunächst im Punkt P 0 = (x 0, 0) auf der x-achse bei x 0 = 10, 00 m mit einem Mikrofon aufgenommen. Bewegt man das Mikrofon von P 0 nach P 1 = (x 0, y 1 ) um die Strecke y 1 = 1, 85 m, so nimmt die Lautstärke ab und erreicht in P 1 ein Minimum. a) Welche Frequenz f 0 hat der Messton (Die Schallgeschwindigkeit sie c = 345 m/s)? Gesucht sind Ausdruck und Zahlenwert. (f = 115 Hz) b) Das Mikrofon werde entlang der Kurve minimaler Lautstärke vom Punkt P 1 zum Punkt P 2 = (0, y 2 ) auf der y-achse bewegt. Welchen Abstand y 2 hat dann das Mikrofon vom Koordinaten-Nullpunkt? (d 1 = 0.75 m) c) Bewegt man das Mikrofon von P 2 aus auf der y-achse in Richtung auf Q 1, so findet man weitere Bereiche minimaler Lautstärke. Wie viele derartige Punkte und in welchem Abstand vom Nullpunkt findet man, zusätzlich zum Punkt P 2, bevor der Lautsprecher Q 1 erreicht wird? (d 2 = 2.25 m, d 3 = 3.75 m)

7 13. Interferenz Zwei Rechteckpulse bewegen sich auf einer Saite aufeinander zu. a) Zeichnen Sie die sich ergebenden Wellenfunktionen für t = 1 s, 2 s und 3 s. b) Geht Energie verloren oder wird Energie gewonnen, wenn zwei Wellen konstruktiv bzw. destruktiv interferieren? (Erläutern Sie Ihre Antwort.)