Übungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen

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1 Übungen zu Lagrange-Foralisus und kleinen Schwingungen Jonas Probst.9.9 Teilchen auf der Stange Aufgabe: Ein Teilchen der Masse wird durch eine Zwangskraft auf einer asselosen Stange gehalten, auf der es sich reibungsfrei bewegen kann. Die Stange rotiert in eine festen Winkel θ zur z-achse it der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω. Es wirken keine weiteren Kräfte!. Leiten Sie die Lagrange-Funktion des Teilchens explizit in Kugelkoordinaten her.. Bestien Sie die Bewegungsgleichung für den Radius rt des Teilchens aus der Lagrange-Funktion und lösen Sie diese it den Anfangsbedingungen r = r und r =. Skizzieren Sie die Bewegung des Teilchens.

2 Lösung:. Kinetische Energie in Kugelkoordinaten: T = r + r sin θ φ + r θ = r + r sin θω Potentielle Energie es wirken keine Kräfte!: U = L = T U = r + r sin θω. Bewegungsgleichung für rt: d dt r r = r r sin θω = r ω sin θr = rt = r cosh ω sinθt + r sinh ω sinθt ω sinθ = r cosh ω sinθt Das Teilchen bewegt sich sich auf einer Spiralbahn bei feste Azeutwinkel θ it exponentiell wachsende Radius rt. Verbundene Massenpunkte Aufgabe: Zwei Massenpunkte und M sind durch einen asselosen Faden der konstanten Länge l = r +s verbunden. Die Masse kann an de Faden it der variierenden Teillänge r auf der Ebene rotieren. Der Faden führt durch ein Loch in der Ebene zu M, wobei die Masse an de straff gespannten Faden it der ebenfalls variierenden Teillänge s = l r hängt.

3 . Stellen Sie die Lagrange-Funktion des Systes in geeigneten Koordinaten auf.. Bestien Sie die Bewegungsgleichungen und Bewegungskonstanten. Geben Sie an, unter welchen Bedingungen M nach oben oder unten beschleunigt wird. Lösung:. Wir wählen als generalisierte Koordinaten die Länge r und den Winkel φ, den das Seilstück von auf der Ebene it einer festen Grade, die in der Ebene liegt, einschließt. T = M s + r + r φ = M d l r + dt r + r φ + M = r + r φ Den Nullpunkt des Gravitationspotentials legen wir in die Ebene: U = Mgs = Mgr l Daraus ergibt sich die Lagrange-Funktion des Systes: L = T U = M + r + r φ Mgr l

4 . φ = φ zyklische Koordinate d dt Erhaltungsgröße Drehipuls von in der Ebene. φ = φ = r φ ist Bewegungsleichung für r: d dt r r = M + r r φ + Mg = M wird nach oben beschleunigt r > r φ > Mg die Fliehkraft von uss größer sein als die Gewichtskraft von M Fliehkraftregler Aufgabe: Gegeben Sei das in der Abbildung skizzierte Syste. Ein Punkt bewege sich entlang der vertikalen Achse und ist durch asselose Stange der Länge R it zwei Massen verbunden. Das Syste ist durch zwei weitere asselose Stangen der Länge R a Punkt A aufgehängt und dreht sich it konstanter Winkelgeschwindigkeit ω u die die Achse. Die Massenpunkte unterliegen der Schwerkraft.. Wählen Sie als generalisierte Koordinate θ. Bestien Sie die Lagrange- Funktion des Systes.. Sei nun =. Zeigen Sie, dass θ der Bewegungsgleichung θ = ω cos θ g sin θ R genügt. 4

5 . Welche Bedingung uss die Winkelgeschwindigkeit ω erfüllen, dait sich der Fliehkraftregler aufstellt, d.h. dass θ = instabil gegenüber kleinen Auslenkungen ist. Entwickeln Sie dazu die Bewegungsgleichung u θ = bis zur zweiten Ordnung. Lösung:. Es gilt: z = R cos θ, z = R cos θ z = R θ sin θ T = R sin θ ω + R θ + z = R sin θ ω + R θ + R θ sin θ Wir legen den Nullpunkt des Gravitationspotentials auf die Höhe des Punktes A: U = gz gz = gr cos θ gr cos θ Die Lagrange-Funktion des Systes ergibt sich dait zu L = T U = R sin θ ω + R θ + R θ sin θ+ + gr cos θ. Für = erhält an für θ folgende Bewegungsgleichung: d dt θ θ = R θ R ω sin θ cos θ + gr sin θ = θ = ω cos θ g R sin θ. De Hinweis folgend entwickeln wir die Bewegungsgleichung u θ = : θ ω g R θ θ + g R ω θ = Für g R ω > entspricht dies der Differentialgleichung für den haronischen Oszillator, es wirkt also eine Kraft, die der Auslenkung von θ aus θ = entgegenwirkt stabil gegenüber Auslenkungen! 5

6 Für g R ω < dagegen ergibt sich eine Kraft, die die Auslenkung weiter unterstützt allgeeine Lösung wäre in diese Fall θ = θ cosh g R ω t + θ sinh g g R ω R ω t instabil gegenüber Auslenkungen, Fliehkraftregler stellt sich für ω > g R auf! 4 Pendel an der Laufkatze Aufgabe: Ein ebenes Pendel der Masse hängt an einer starren, asselosen Stange der Länge l i hoogenen Schwerefeld der Erde. Das Pendel ist an einer Masse M aufgehängt, die sich reibungsfrei auf einer horizontalen Achse bewegen kann, siehe Skizze. Das Pendel kann nur in der Ebene schwingen, die durch diese Achse und die Richtung des Erdschwerefeldes aufgespannt ist. Es wirken keine weiteren Kräfte.. Stellen Sie die Lagrangefunktion des Systes in geeigneten Koordinaten auf.. Geben Sie die Erhaltungsgrößen des Systes einschließlich ihrer physikalischen Bedeutung an. Lösung:. Wir wählen als generalisierte Koordinaten die x-position x = x M von Masse M sowie den Winkel φ. x = x + l sin φ x = x + l φ cos φ, y = l cos φ y = 6

7 l φ sin φ T = M x + x + y = M x + x + xl φ cos φ + l φ cos φ + l φ sin φ M + = x + l x φ cos φ + l φ Wir legen den Nullpunkt des Gravitationspotentials auf die x-achse: U = gy = gl cos φ Wir erhalten dait die Lagrange-Funktion L = T U = M + x + l x φ cos φ + l φ + gl cos φ. Da nur die konservative Gravitationskraft wirkt, ist die Energie E = T +U erhalten Alternativ: L hängt nicht explizit von der Zeit ab, weswegen für den hier auftretenden typischen Fall H = T + U = E erhalten ist. Des Weiteren hängt L nicht explizit von x ab, x ist also zyklische Koordinate und der zugehörige konjugierte Ipuls x ist eine Erhaltungsgröße: x = M + x + l φ cos φ = M x + x Der Gesatipuls/Schwerpunktsipuls in x-richtung ist erhalten 5 Gekoppelte Pendel Aufgabe: Drei gleiche atheatische Pendel Masse, Länge l sind durch zwei ideale Federn derselben Federkonstante k verbunden und bewegen sich i hoogenen Schwerefeld der Erde, siehe Abbildung. Die Länge jeder der unbelasteten Federn ist jeweils gleich de Abstand der Aufhängungspunkte der zwei durch sie verbundenen Pendel. 7

8 . Forulieren Sie die Lagrange-Funktion i Falle kleiner Auslenkungen.. Leiten Sie daraus die Bewegungsgleichungen ab.. Zeigen Sie durch Rechnung, dass ω = g l + k, ω = g l, ω = g l + k die Eigenfrequenzen des Systes sind. 4. Berechnen Sie die zu den zwei langsasten Eigenschwingungen gehörenden Noralschwingungen Eigenvektoren. 5. Geben Sie die zur schnellsten Schwingungsode gehörende Noralschwingung it kurzer Begründung, aber ohne Rechnung an. 6. Wie lautet die allgeeine Bewegung des physikalischen Systes ausgedrückt durch die Noralschwingungen? Lösung:. Zuerst entwickeln wir sehr ausführlich an dieser Stelle das Gravitationspotential U G und das haronische Potential der Feder U k. Dabei wählen wir ier α = α, α, α =,, als Potentialnullpunkte! U G = gl cosα gl cosα gl cosα + const U G α = = gl + const! = U G = gl cosα cosα cosα gl α α α U G = gl α + α + α 8

9 U k = k r r + r r + const = k l sinα l sinα + l cosα l cosα + + k l sinα l sinα + l cosα l cosα + const kl α α + + kl α α + + const U k α = = const =! U k = α kl α + α α = kl α α α + α α α + α Verlauf und Ergebnis dieser Rechnung sollte an für Schwingungsaufgaben ungefähr i Kopf haben. Nun wollen wir kinetische und potentielle Energie in folgender For schreiben: T = α M α, U = α A α M nennen wir Massenatrix, A Potentialatrix. U = U G + U k = gl + kl α kl α α + gl + kl α kl α α + gl + kl α = α gl + kl kl α α kl gl + kl kl α α kl gl + kl α T = l α + l α + l α = α l α l α l α α α Die Lagrange-Funktion lässt sich dait schreiben als L = T U = α M α α A α 9

10 . Durch die Matrixschreibweise von T und U hat an die Euler-Lagrange- Gleichungen i Prinzip schon: d dt α d dt α = d dt α α α α M α + A α =. Wir achen für α den Ansatz α = Ae iωt : α = ω Ae iωt = ω α A ω M α = Dait diese Gleichung nicht nur die triviale Lösung α = besitzt, uss gelten det A ω M = det gl + kl l ω kl kl gl + kl l ω kl =! kl gl + kl l ω g /l l + k ω k det k g l + k ω k! = k g l + k ω g l + k ω g l + k ω k g l + k ω = g l + k ω g l + k ω g l + k ω k! = ω = g l + k g l + k g ω l + k ω = k ω = g l ω = g l + k

11 4. Wir suchen nun die zu den Eigenwerten ω, ω, ω gehörenden Eigenvektoren C, C, C, für die soit gelten uss: A ω i M C i = Wir können natürlich auch in dieser Gleichung wieder durch l teilen und g l + k ω k einfach die Matrix k g l + k ω k verwenden, deren Deterinante wir oben berechnet haben. Dabei sollen wir nur k g l + k ω die zu den langsasten Eigenoden, also zu ω und ω gehörenden Noralschwingungen berechnen: A ω M C = k C k k k C k = C C = Beschreibung der ersten Noralschwingung: Das ittlere Penderl bleibt ihn Ruhe, während die beiden äußeren Pendel entgegengesetzt schwingen. Auch die zugehörige Eigenfrequenz ω = g l + k acht Sinn: Jedes der beiden schwingenden Pendel unterliegt de Einfluss von Gravitation g l und einer, nur durch seine Bewegung gespannten Feder k. k k k k k k A ω M C C C C k C = = = Beschreibung der zweiten Noralschwingung: Alle Pendel bewegen sich gleichphasig in dieselbe Richtung, die Federn bleiben stets entspannt. Aus diese Grund enthält auch die zugehörige Eigenfreuquenz ω = g l nur den Beitrag der Gravitationswirkung. 5. Wir sollen die zu schnellsten Eigenfrequenz ω = g l + k gehörige Noralschwingung angeben. Die Eigenode enthält den Ter k, alle drei

12 Federn üssen bei der Noralschwingung also belastet sein. Das ist nur dann öglich, wenn das ittlere Pendel sich in die entegegengesetzte Richtung wie die beiden äußeren Pendel bewegt. Auf das ittlere Pendel, das ja an beide Federn gekoppelt ist, wirkt eine doppelt so starke Kraft, es uss also it zweial so großer Aplitude schwingen wie die beiden äußeren Pendel. C = 6 6. Die allgeeine Bewegung des Systes wird durch Superposition der Noralschwingungen beschrieben: αt = Q t C + Q t C + Q t C Dabei handelt es sich bei Q i t u eine haronische Schwingung it der Eigenfrequenz ω i in Richtung der Noralschwingung C i : Q i t = Q i cos ω i t + Q i ω i sin ω i t 6 Massen und Federn Aufgabe: Betrachten Sie das folgende Syste aus Massen und Federn siehe Skizze. Die Federn gehorchen de Hookschen Gesetz it den angegebenen Federkonstanten und k = k. Betrachten Sie weiter i folgenden nur Longitudinalschwingungen. Es wirken keine weiteren Kräfte.. Stellen Sie die Lagrange-Funktion des Systes in geeigneten Koordinaten auf.

13 . Stellen Sie die Bewegungsgleichungen der drei Massen in Matrixfor auf. Hinweis: Die in den Bewegungsgleichungen auftretende Matrix ist proportional zu. Finden Sie die Eigenfrequenzen des Systes und bestien Sie auch die zugehörigen Eigenvektoren. 4. Beschreiben Sie die Noralschwingungen des Systes anschaulich. Lösung:. Wir wählen als generalisierte Koordinaten x i die Auslenkungen der Massen x aus ihrer Gleichgewichtslage, x = x x, k def = k T = x + x + x = x = x M x x U = k x + k x x + k x x + k x = kx + k x kx x + k x + k x kx x + k x + kx = kx kx x + x kx x + kx = k k x k k k x k k = x A x Wir erhalten dait als Lagrange-Gleichung L = T U = x M x x A x

14 . Die Bewegungsgleichungen in Matrixfor lauten d dt x d dt x = d dt x x x x M x + A x =. Wir achen wieder den Ansatz x = Ae iωt und erhalten dait A ω M x = Wir suchen nun wieder über det A ω M = die Eigenoden ωi Systes: det k ω k k k ω k =! k k ω k / ω k det k k ω k! = k k ω k ω k ω k k ω = k ω k ω k ω k! = des ω = k k ω k ω = k ω = k ω = 4 k Bestiung der zugehörigen Eigenvektoren C i, für die gilt A ωi M C i =. Wir teilen auch hier die Gleichung durch und rechnen it der Matrix k ω k k k ω k : k k ω A ω M C = 4

15 k k k k k C = C C C = A ω M C = k k C k k k C k k = C C = 6 k k k k k k C = A ω M C C C C = = 4. Bei der ersten Noralschwingung it der Eigenfrequenz ω = k bleibt die ittlere Masse in Ruhe, während die beiden äußeren Massen in entgegengesetzte Richtungen schwingen. Befindet sich das Syste in der zweiten Noralschwingung it der Frequenz ω = k bewegen sich alle Masse in dieselbe Richtung, wobei die Aplitude der ittleren Masse doppelt so groß ist, wie der der äußeren Masse. In der dritten Noralschwingung it Eigenode ω = 4 k bewegen sich die beiden äußeren Massen in dieselbe Richtunge, während die ittlere Masse in entgegengesetzter Richtung schwingt. 5