ALLGEMEINE LÖSUNG DES 12-KUGEL-PROBLEMS. Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1
|
|
|
- Helmut Kalb
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 ALLGEMEINE LÖSUNG DES 1-KUGEL-PROBLEMS DOMINIK BRODOWSKI Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1. Beweis 1 : n 3w Behauptung 1.. Teil 1.3. Teil 3. Definitionen und Hilfsbeweis 3.1. Definitionen 3.. Hilfsbeweis 3 4. Beweis : n = 3w Behauptung Erste Wägung Die beiden anfangs gewogenen Gruppen sind unterschiedlich schwer Die beiden anfangs gewogenen Gruppen sind gleich schwer Zusammenfassung 6 Copyright 6 1. Einleitung Folgende Rätselfrage ist in weiten Kreisen bekannt: Man hat 1 Kugeln. Von diesen ist eine entweder leichter oder schwerer, man weiß aber nicht, welche. Wie muss man vorgehen, um in 3 Wägungen mit einer Balkenwaage herauszufinden, welche der Kugel das andere Gewicht hat, und ob sie leichter oder schwerer ist?. (Lösungsprinzip siehe Ich möchte hier nun der Frage nachgehen, aus maximal wie vielen Kugeln n, von denen eine ein anderes Gewicht aufweist, man mit w Wägungen ( w N \ 1 ) die gesuchte Kugel und die Art ihrer Abweichung eindeutig bestimmen kann.. Beweis 1 : n 3w 3.1. Behauptung. Zunächst beweise ich, dass es höchstens möglich ist, in w Wägungen aus 3w 3 Kugeln die Lösung eindeutig zu bestimmen. 1
2 DOMINIK BRODOWSKI n 3w 3.. Teil 1. (1) Es gibt insgesamt n verschiedene mögliche Lösungen, da jede Kugel diejenige mit dem unterschiedlichen Gewicht sein kann, und jeweils die Fälle leichter und schwerer auftreten können. () Durch jede Wägung können höchstens 3 verschiedene Fälle unterschieden werden, nämlich linke Waagschale schwerer, rechte Waagschale schwerer, und beide Seiten gleich schwer. Daher ergeben sich maximal 3 w unterschiedliche Äste Nun muss jede Lösung einem Ast zuzuordnen sein. Daher ist n 3 w. Da 3 w aber kein Vielfaches von ist, gilt: n 3 w 1.3. Teil. Bei der ersten Wägung, vor der noch keine Lösung ausgeschlossen werden kann, müssen auf jeder Seite gleich viele Kugeln k gewogen werden. Schlägt die Balkenwaage zu einer Seite hin aus, dann können k Kugeln leichter oder k Kugeln schwerer sein, es sind also bei der weiteren Untersuchung nur noch k Fälle zu unterscheiden. Aus. () folgt dann, dass k 3 w 1 1 sein muss. Bleibt die Balkenwaage im Gleichgewicht, so müssen dann aus den restlichen Kugeln (n k) die richtige Lösung in (w 1) Wägungen gefunden werden können. Hierfür gilt, wie in Abschnitt 1 gezeigt wurde, die Bedingung (n k) 3 w 1 1. Dies ist äquivalent zu n 3 w k. Man kann nun eine Doppelungleichung n 3 w k (3 w 1 1) aufstellen, und der mittlere Teil kann wegen der Transitivität weggelassen werden: n 3 w w 1 n 3w 3 Somit wurde gezeigt, dass n 3w 3 gelten muss. 3. Definitionen und Hilfsbeweis 3.1. Definitionen. neutrale Kugel: Kugel, die nicht die gesuchte ist. Daher besitzt sie das normale Gewicht. Symbol hierfür : ne (A)/(B): genau in einer der zwei Kugelgruppen (A) und (B) ist die gesuchte Kugel enthalten.
3 ALLGEMEINE LÖSUNG DES 1-KUGEL-PROBLEMS 3 evtl. leichtere (schwerere) Kugelgruppe: unter diesen Kugeln kann die gesuchte sein, und wenn sie in dieser Gruppe ist, dann ist sie leichter (schwerer). Als Symbol hierfür werden für evtl. leichtere Kugelgruppe und für evtl. schwerere Kugelgruppe verwendet. 3.. Hilfsbeweis Behauptung. Wenn man neutrale Kugeln und zusätzlich (1) 3m +1 evtl. schwerere Kugeln (*a) und 3m 1 evtl. leichtere Kugeln (*b) hat, oder () 3m +1 evtl. leichtere Kugeln (*a) und 3m 1 evtl. schwerere Kugeln (*b) hat, so kann man innerhalb von m Wägungen die Lösung eindeutig bestimmen Beweis durch vollständige Induktion. 1.Schritt. m = 1 (Beweis für (1)). Man hat 3m +1 = 3+1 = evtl. schwerere Kugeln (*a), und 3m 1 = 3 1 = 1 evtl. leichtere Kugel (*b). Man wiegt nun die evtl. schwereren Kugeln gegeneinander. Schlägt die Balkenwaage in eine Richtung aus, ist die schwerere Kugel die Lösung, und sie ist schwerer als das Normgewicht. Bleibt die Balkenwaage im Gleichgewicht, so ist die evtl. leichtere Kugel (die nicht gewogen wurde), die Gesuchte, und sie ist leichter als das Normgewicht. Jeweils war die Lösung durch einen Wägevorgang eindeutig bestimmbar. Für () ist die Beweisführung analog.. Schritt. Bei I gilt: Man hat 3m 1 evtl. leichtere Kugeln (*a), und 3 m +1 evtl. schwerere Kugeln (*b). Man wiegt nun nach folgendem Schema: linke Seite 3m 1 +1 (aus Gruppe *b) und 3m 1 +1 (aus Gruppe *a) rechte Seite 3m 1 1 (aus Gruppe *b) und 3m 1 1 (aus Gruppe *a) sowie ne (1) Linke Seite ist schwerer: Die Lösung muss aus den 3m 1 +1 (links) oder aus den 3 m 1 1 (rechts) stammen. Die neutralen Kugeln stehen weiterhin zur Verfügung. Aus der Induktionsvoraussetzung (Fall (1)) folgt, dass dies dann lösbar ist. () Rechte Seite ist schwerer: Die Lösung muss aus den 3m 1 1 (rechts) oder aus den 3 m 1 +1 (links) stammen. Die neutralen Kugeln stehen weiterhin zur Verfügung. Aus der Induktionsvoraussetzung (Fall ()) folgt, dass dies dann lösbar ist.
4 4 DOMINIK BRODOWSKI (3) Beide Seiten sind gleich schwer: Man hat noch 3m +1 3m m 1 1 = 3m 1 +1 evtl. schwerere Kugeln (*a), und 3m 1 3m m 1 1 = 3m 1 1 evtl. leichtere Kugeln (*b). Da man auch hier noch die zwei neutralen Kugeln hat, ist auch dieser Fall nach der Induktionsvoraussetzung (1) lösbar. Somit wurde bewiesen, dass -unter der Voraussetzung, dass die Behauptung für m 1 richtig ist- die Behauptung auch für m gilt. Der Induktionsbeweis ist daher vollständig abgeschlossen. Analog verläuft der Beweis für Fall () Behauptung. 4. Beweis : n = 3w 3 n = 3w Erste Wägung. Als erstes teile man die 3w 3 Kugeln in 3 gleich große Gruppen von je 3w 1 1 Kugeln ein. Zwei dieser Gruppen wiege man dann gegeneinander Die beiden anfangs gewogenen Gruppen sind unterschiedlich schwer. Man hat nun 3w 1 1 Kugeln (diejenigen, die auf der schwereren Seite lagen), unter denen eine schwerere sein kann (*a), und 3w 1 1 Kugeln (diejenigen, die auf der leichteren Seite lagen), unter denen eine leichtere Kugel sein kann (*b). Andere Kugeln können die Lösung nicht mehr darstellen, daher hat man außerdem mindestens 1 neutrale Kugel (die man beliebig aus den zuerst nicht gewogenen nehmen kann). Es sind noch (w 1) Wägungen erlaubt Behauptung. Es reichen w 1 Wägungen aus, um aus 3w 1 1 evtl. schwereren Kugeln, und 3w 1 1 evtl. leichteren Kugeln die Lösung herauszufinden, wenn man 1 neutrale Kugel zur Verfügung hat Beweis durch Induktion. 1. Schritt: Die Behauptung ist für w= richtig. Man hat 3w 1 1 = 3 1 = 1 evtl. leichtere Kugel, und 3w 1 1 = 3 1 = 1 evtl. schwerere Kugel. Man wiegt nun die evtl. schwerere Kugel gegen die neutrale. Ist die evtl. schwerere Kugel tatsächlich schwerer, so ist sie die Gesuchte, und sie ist schwerer. Ist die Balkenwaage im Gleichgewicht, so ist die evtl. leichtere Kugel die gesuchte, und sie ist leichter als das Normmaß. Somit ist hier innerhalb von (w 1) = 1 Wägungen die Lösung zu finden. q.e.d.
5 ALLGEMEINE LÖSUNG DES 1-KUGEL-PROBLEMS 5. Schritt. Man wiegt nun: linke Seite 3w +1 und 3w 1 gegen rechte Seite 3w 1 und 3w 1 sowie 1 ne. (1) Linke Seite ist schwerer: Die Lösung muss aus den 3w +1 (links) oder aus den 3w 1 (rechts) stammen. Aus den nicht gewogenen Kugeln entnimmt man eine weitere neutrale Kugel. Aus den verbleibenden Kugelgruppen kann man -wie im Hilfsbeweis gezeigt wurde- innerhalb von (w ) Wägungen die Lösung bestimmen. () Rechte Seite ist schwerer: Die Lösung muss aus den 3w 1 (rechts) oder aus den 3 w 1 (links) stammen. Die neutrale Kugeln steht weiterhin zur Verfügung. Dies ist also nach der Induktionsvoraussetzung lösbar. (3) Beide Seiten sind gleich schwer Man hat noch 3w 1 1 3w +1 3w 1 = 3w 1 evtl. schwerere Kugeln (*a), und 3w 1 1 3w 1 3w 1 = 3w +1 evtl. leichtere Kugeln (*b). Außerdem kann man aus den bei dieser Wägung gewogenen Kugeln eine weitere neutrale nehmen, so dass man dann zwei neutrale zur Verfügung hat, um in (w ) Wägungen aus den verbleibenden Kugeln die Lösung zu finden, was nach dem Hilfsbeweis möglich ist. Abschluß der Induktion. Somit wurde bewiesen, dass -unter der Voraussetzung, dass die Behauptung für w 1 richtig ist- die Behauptung auch für w gilt. Der Induktionsbeweis ist daher vollständig abgeschlossen. q.e.d Die beiden anfangs gewogenen Gruppen sind gleich schwer. Man hat nun 3w 1 1 Kugeln, von denen jede die leichtere bzw. die schwerere sein kann. Andere Kugeln können die Lösung nicht mehr darstellen, daher hat man außerdem mindestens 1 neutrale Kugel (die man beliebig aus den zuerst gewogenen nehmen kann). Es sind noch (w 1) Wägungen erlaubt Behauptung. Es reichen w 1 Wägungen aus, um aus 3w 1 1 Kugeln, von denen jede die leichtere bzw. die schwerere sein kann, die Lösung herauszufinden Beweis durch Induktion. 1. Schritt: Die Behauptung ist für w= richtig. Für w = (w 1) = 1 gilt: Man hat 3w 1 1 = 3 1 = 1 Kugel, die entweder leichter oder
6 6 DOMINIK BRODOWSKI schwerer ist wie das Norm-Maß. Diese wiegt man gegen die neutrale Kugel. Die Lösung ist dann die betreffende Kugel, sowie ob diese schwerer oder leichter ist wie die Neutrale.. Schritt: Für w gilt: Man hat 3w 1 1 Kugeln, von denen jede die leichtere bzw. die schwerere sein kann. Man wiegt nun 3w +1 Kugeln gegen 3w 1 und die neutrale Kugel. (1) Gleichgewicht Bleibt die Balkenwaage im Gleichgewicht, so hat man noch 3 w 1 1 3w +1 3w 1 = 3w 1 Kugeln, von denen jede die leichtere bzw. die schwerere sein kann. Da (w ) = (w 1) 1, ist dies nach der Induktionsvoraussetzung lösbar. () Ungleichgewicht Ist eine Seite der Balkenwaage schwerer beladen als die andere, so hat man 3 w +1 Kugeln, von denen eine nur in eine Richtung (schwerer oder leichter) vom Norm-Maß abweichen kann, und 3 w 1 Kugeln, von denen eine nur in die genau entgegengesetzte Richtung (leichter oder schwerer) abweichen kann. Andere Kugeln können die Lösung nicht mehr bilden. Für die weitere Untersuchung hat man noch (w ) Wägungen zur Verfügung. Da w > (w = wurde im 1.Schritt abgehandelt) und man zusätzlich zu der schon existierenden neutralen Kugel eine weitere aus dem nicht gewogenen Haufen nehmen kann, ist dies, wie im Hilfsbeweis bewiesen wurde, lösbar. Abschluß der Induktion. Soeben wurde bewiesen, dass (w 1) Wägungen ausreichen, um aus 3w 1 1 Kugeln, von denen jede die leichtere bzw. die schwerere sein kann, die Lösung zu finden Zusammenfassung. Es wurde bewiesen, dass es innerhalb von w Wägungen möglich ist, aus 3w 3 Kugeln diejenige zu bestimmen, die ein anderes Gewicht wie die übrigen aufweist. q.e.d. Copyright. Autor: Dominik Brodowski ( mail@brodo.de) - Alle Rechte vorbehalten.
Vorkurs Beweisführung
Vorkurs Beweisführung Fachschaft Mathematik und Informatik 30.08.2013 Agenda 1 Einleitung 2 Direkter Beweis 3 Widerspruchsbeweis 4 Vollständige Induktion 5 Aussagen widerlegen 6 Gleichheit von Mengen 7
3 Vom Zählen zur Induktion
7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,
Kapitel 1. Grundlegendes
Kapitel 1 Grundlegendes Abschnitt 1.4 Vollständige Induktion Charakterisierung der natürlichen Zahlen Die Menge N 0 = {0, 1, 2, 3,...} der natürlichen Zahlen läßt sich wie folgt charakterisieren: 1. 0
Das Volumen und die Oberfläche einer n-dimensionalen Kugel
Das Volumen und die Oberfläche einer n-dimensionalen Kugel Alois Temmel 6. Februar 14 c 14, A. Temmel Inhaltsverzeichnis 1 Die Volumenformel 3 1.1 Die n-dimensionale Kugel.................... 3 1.1.1 Die
Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 6
Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 6 Die Lösungshinweise dienen
Fachwissenschaftliche Grundlagen
Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 9. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 1 / 17 Themen
Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.
Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.
Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:
![Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:](/thumbs/72/66491799.jpg "Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:")
Lineare Algebra D-MATH, HS 214 Prof Richard Pink Serie 5 1 [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: 1 a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 b) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 c) 1 3 3 2 2 1 5 3 1 2 6 1 [Lösung]
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Kombinatorik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente 2 Teil 1 Endliche Mengen Eine endliche Menge M ist eine Menge,
12 Wahrheitsbäume zur Beurteilung der logischen Wahrheit von Sätzen der Sprache AL
12 Wahrheitsbäume zur Beurteilung der logischen Wahrheit von Sätzen der Sprache L Eine zweite Methode Das Wahrheitsbaumverfahren Dieses Verfahren beruht auf der Methode des indirekten Beweises. Wahrheitsbäume
2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit
2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,
Vollständige Induktion
30. September 008 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche
Vollständige Induktion
30. September 008 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger d.h. n : (n N! n
Vervollständigung Lateinischer Quadrate
Vervollständigung Lateinischer Quadrate Elisabeth Schmidhofer 01.12.2013 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Einleitung 4 2.1 Beispele.............................................. 4 3 Lateinische Quadrate
8 Summen von Quadraten
8 Summen von Quadraten A. Summen von zwei Quadraten. Sei p eine Primzahl. Beispiele. = 1 + 1, 5 = 1 +, 13 = + 3 Aber 3 und 7 sind nicht Summen von zwei Quadraten. 8.1 Satz. Genau dann ist p Summe von zwei
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben
2. Teilbarkeit. Euklidischer Algorithmus
O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie 2. Teilbarkeit. Euklidischer Algorithmus 2.1. Wir benutzen die folgenden Bezeichnungen: Z = {0, ±1, ±2, ±3,...} Menge aller ganzen Zahlen N 0 = {0, 1, 2, 3,...}
Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 1. Übung
Michael Winkler Johannes Lankeit 8.4.2014 Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 1. Übung Präsenzaufgabe 1: Rufe dir die folgenden Definitionen wieder in Erinnerung: C = {(x, y); x R, y R} bildet
Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Barbara Gentz SS 2013 Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Mittwoch, 10.7.2013 13. Markoffketten 13.1 Beispiele 1. Irrfahrt auf dem zweidimensionalen
1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen
3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern
3 Primzahlen. j,... stets Primzahlen. 3.1 Satz. Jedes a > 1 ist als Produkt von Primzahlen darstellbar (Primfaktorzerlegung. n=1
3 Primzahlen Die Zahl 1 hat nur einen positiven Teiler, nämlich 1. Jede Zahl a > 1 hat mindestens zwei positive Teiler: 1 und a. Definition. Eine Primzahl ist eine Zahl a > 1, welche nur die Teiler 1 und
1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematik Sommersemester 2017 Seminar: Verschlüsselungs- und Codierungstheorie Leitung: Thomas Timmermann 1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl
Aufgabenblatt 1: - Präsenzübung für die Übungen Do Mi Ausgabe Mi
Grundlagen der Programmierung 1 WS 2012/2013 Prof. Dr. Stefan Böttcher Aufgabenblatt 1: - Präsenzübung für die Übungen Do. 11.10.- Mi. 17.10.2012 Ausgabe Mi. 10.10.2012 1.1. Zahlen vertauschen mit wenigen
Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester vom 15. Januar 2006
Prof. E.-W. Zink Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester 2005-06 vom 15. Januar 2006 2te, korrigierte und erweiterte
Elementare Beweistechniken
Elementare Beweistechniken Beispiel: Satzform (Pythagoras) Voraussetzung: Gegeben sei ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck, die Länge der Hypothenuse sei c und die Längen der anderen Seiten seien a und
24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN
24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben
Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 4
Prof. Dr. Bernhard Steffen Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt
Grundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 8 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P13) Primfaktorzerlegungen Die Primfaktorzerlegungen lauten: a) 66 =
2. Symmetrische Gruppen
14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen
Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt
Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden
Vollständige Induktion
Vollständige Induktion F. Lemmermeyer. Januar 04 Aussagen, die für alle natürlichen Zahlen gelten, kann man oft mit vollständiger Induktion beweisen. Das Vorgehen ist dabei folgendes:. Man zeigt, dass
1. Gruppen. 1. Gruppen 7
1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.
Fachwissenschaftliche Grundlagen
Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 8. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8. Vorlesung 1 / 25 Themen
Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen):
Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS14 F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): a) Geben Sie die Reihenfolge an, in der die Knoten besucht werden, wenn
technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller
technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 4.3 und 4.4
1. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen
1. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 1. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit
Lösung des Bundeswettbewerbs Mathematik 1999 (Facharbeit im LK Mathematik) Dominik Brodowski (
Lösung des Bundeswettbewerbs Mathematik 999 (Facharbeit im LK Mathematik) Dominik Brodowski (e-mail: mail@brodo) Inhaltsverzeichnis Kapitel. Aufgabe 5. Aufgabenstellung 5 2. Einführung 5 3. Behauptung
Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems
Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems 1 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen Wir wollen erklären, wie man natürliche Zahlen addiert und multipliziert und dabei nur den Begriff das Zählens verwenden.
II. Wissenschaftliche Argumentation
Gliederung I. Motivation II. Wissenschaftliche Argumentation i. Direkter Beweis ii. iii. Indirekter Beweis Beweis durch vollständige Induktion Seite 35 II. Wissenschaftliche Argumentation Ein Beweis ist
Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent.
Definition der Basis Def. Es sei (V,+, ) ein nichttrivialer Vektorraum. Die Menge A V heißt eine Basis-Menge, falls sie (a) linear unabhängig ist und (b) span(a) = V. Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen
HEUTE. Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch
04.11.05 1 HEUTE 04.11.05 3 Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch die Rundungsfunktionen und modulo
Vollständige Induktion
Angenommen, wir wollen zeigen, dass eine Aussage P(n) für alle n N wahr ist. Anders ausgedrückt: Es gilt n N : P(n) Hierzu können wir die Technik der vollständigen Induktion verwenden. Wir zeigen, dass
: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch
% 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!
Grundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (II) 11.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
Themen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion
Lo sungen zu U bungsblatt Mathematik fu r Ingenieure Maschinenbauer und Sicherheitstechniker), 1. Semester, bei Prof. Dr. G. Herbort im WiSe1/14 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 05.11.1 Themen: Kubische Gleichungen,
Vorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
Der Fünf-Farben-Satz. Lukas Schweighofer. Feb.2014
Der Fünf-Farben-Satz Lukas Schweighofer Feb.2014 1 Contents 1 Vorwort 3 2 Graphentheoretische Grundlagen 4 3 Satz 2 (Eulerscher Polyedersatz) 8 4 Satz 3 9 5 Der Fnf-Farben-Satz 10 5.1 Beweis 1..............................
3 Die natürlichen Zahlen. Themen: Vollständige Induktion Varianten des Induktionsprinzips Induktion über den rekursiven Aufbau Die ganzen Zahlen
3 Die natürlichen Zahlen Themen: Vollständige Induktion Varianten des Induktionsprinzips Induktion über den rekursiven Aufbau Die ganzen Zahlen Die natürlichen Zahlen Æ = {1, 2, 3,...}. sind die natürlichen
Aufgabe 1. Stefan K. 2.Übungsblatt Algebra I. gegeben: U, G Gruppen, U G, G : U = 2 zu zeigen: U G. Beweis:
Stefan K. 2.Übungsblatt Algebra I Aufgabe 1 gegeben: U, G Gruppen, U G, G : U 2 zu zeigen: U G Beweis: G : U ist nach Definition die Anzahl der Linksnebenklassen (gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen)
Zur Zykelschreibweise von Permutationen
Zur Zykelschreibweise von Permutationen Olivier Sète 16. Juni 2010 1 Grundlagen Definition 1.1. Eine Permutation von {1, 2,..., n} ist eine bijektive Abbildung σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}, i σ(i).
4 Messbare Funktionen
4 Messbare Funktionen 4.1 Definitionen und Eigenschaften Definition 4.1. Seien X eine beliebige nichtleere Menge, M P(X) eine σ-algebra in X und µ ein Maß auf M. Das Paar (X, M) heißt messbarer Raum und
Westfählische Wilhelms-Universität. Eulersche Graphen. Autor: Jan-Hendrik Hoffeld
Westfählische Wilhelms-Universität Eulersche Graphen Autor: 21. Mai 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Das Königsberger Brückenproblem 1 2 Eulertouren und Eulersche Graphen 2 3 Auffinden eines eulerschen Zyklus
Topologische Räume und stetige Abbildungen
TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar Lineare Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Julia Schmidt Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Datum: 29.11.2013 Inhaltsverzeichnis
Skript und Übungen Teil II
Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen
b liegt zwischen a und c.
2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =
Kapitel 2. Induktion und Rekursion. 2.1 Induktion. Seien X und A Mengen und eine terminierende Relation. dass x X : x A gilt.
Kapitel 2 Induktion und Rekursion 2.1 Induktion Induktion ist eine wichtige technik. Leider wird Induktion oft so vermittelt, dass Anfänger zu dem Schluß kommen, Induktion wäre eine geheimnisvolle Angelegenheit.
Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt. Teil 1 von Martin Fabricius. Aufgabe 1
Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt Teil von Martin Fabricius Aufgabe a) Diese Aufgabe kann z. B. durch ausmultiplizieren gelöst werden: (433) 7 = 4 7 3 +3 7 + 7 +3 7 0 = 4 343+3 49+ 7+3 = 37+47+4+3
Handout zu Beweistechniken
Handout zu Beweistechniken erstellt vom Lernzentrum Informatik auf Basis von [Kre13],[Bün] Inhaltsverzeichnis 1 Was ist ein Beweis? 2 2 Was ist Vorraussetzung, was ist Behauptung? 2 3 Beweisarten 3 3.1
Vorlesung. Beweise und Logisches Schließen
Vorlesung Beweise und Logisches Schließen Der folgende Abschnitt dient nur zur Wiederholung des Stoffes der ersten Vorlesung und sollten nur genannt bzw. Teilweise schon vor der Vorlesung angeschrieben
Fünf-Farben-Satz. Seminar aus reiner Mathematik, WS 13/14. Schweighofer Lukas, November Seite 1
Der Fünf- Farben-Satz Seminar aus reiner Mathematik, WS 13/14 Schweighofer Lukas, November 2013 Seite 1 Inhaltsverzeichnis Vorwort...3 Graphentheoretische Grundlagen...4 Satz 2 (Eulerscher Polyedersatz)...7
Diskrete Mathematik Kongruenzen
Diskrete Mathematik Kongruenzen 31. Mai 2006 1 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2. Prime Restklassen 3. Die Sätze von Euler und Fermat 4. Lineare Kongruenzen 5. Systeme 2 Einleitung 3 Fragestellung Wie
Freie Bäume und Wälder
(Martin Dietzfelbinger, Stand 4.6.2011) Freie Bäume und Wälder In dieser Notiz geht es um eine besondere Sorte von (ungerichteten) Graphen, nämlich Bäume. Im Gegensatz zu gerichteten Bäumen nennt man diese
Vorlesung. Vollständige Induktion 1
WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen
für alle a, b, x, y R.
Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 33 1.5 Ringe Definition 1.5.1 Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, genannt Addition und Multiplikation, für die folgendes
Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 7
Prof. Dr. Bernhard Steffen Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker Wintersemester 203/4 Übungsblatt 7 Die
Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen
Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die
Lösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker
MATHEMATISCHES INSTITUT WS 006/07 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. M. Schottenloher Dr. S. Tappe Version 5.. Lösungen zur. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker vom 6..06 Aufgabe. ( + Punkte) a)
8 Tangenten an Quadriken
8 Tangenten an Quadriken A Geraden auf Quadriken: Sei A 0 eine symmetrische n n Matri und Q : t A + b t + c = 0 eine nicht leere Quadrik im R n, b R n, c R. g = p + R v R n ist die Gerade durch p mit Richtung
Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den
Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht
Kapitel 1.1. Aussagenlogik: Syntax. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 1/ 1
Kapitel 1.1 Aussagenlogik: Syntax Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 1/ 1 Übersicht 1.1.1 Die Sprache der Aussagenlogik 1.1.2 Explizite vs. implizite Definitionen 1.1.3
1.2 Klassen und Mengen
14 1.2 Klassen und Mengen Als undefinierten Grundbegriff verwenden wir den Begriff der Klasse. Dieser ist allgemeiner als der Mengenbegriff und wird in der Algebra zur Definition sogenannter Kategorien
11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen
11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen 11.1 g-adische Entwicklung von Zahlen aus [0, 1[ 11.2 g-adische Entwicklung reeller Zahlen 11.3 g-adische Entwicklung nicht-negativer
Konstruktion der reellen Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert
Zusammenfassung: Beweisverfahren
LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 216/217 Zusammenfassung: Beweisverfahren Inhaltsverzeichnis Teilbarkeitslehre... 1 Mathematische Sätze... 1 Bedingungen für innere Extremstellen... 3 Beweisverfahren... 3 Für Experten...
Vorkurs Mathematik. Vorlesung 2. Primzahlen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Vorkurs Mathematik Vorlesung 2 Primzahlen Das Sieb des Eratosthenes liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe
1 Euklidische und unitäre Vektorräume
1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen
Lineare Algebra I. Probeklausur - Lösungshinweise
Institut für Mathematik Wintersemester 2012/13 Universität Würzburg 19. Dezember 2012 Prof. Dr. Jörn Steuding Dr. Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I Probeklausur - Lösungshinweise Aufgabe
Theorie der Informatik
Theorie der Informatik 2. Beweistechniken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 18. Februar 2015 Beweis Beweis Ein Beweis leitet die Korrektheit einer mathematischen Aussage aus einer Menge von
1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale
Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 2
TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 2013/14 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie svorschläge
Oberstufe (11, 12, 13)
Department Mathematik Tag der Mathematik 1. Oktober 009 Oberstufe (11, 1, 1) Aufgabe 1 (8+7 Punkte). (a) Die dänische Flagge besteht aus einem weißen Kreuz auf rotem Untergrund, vgl. die (nicht maßstabsgerechte)
2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).
17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften
Der Ergodensatz. Hendrik Hülsbusch
Der Ergodensatz Hendrik Hülsbusch 1..212 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 5 Stationäre Verteilungen 5 6 Reversible Markovketten 11 2 Einleitung In meinem Vortrag beschäftigen wir uns mit dem asymptotischen
Grundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 4: Wörter (und vollständige Induktion) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/29 Überblick Wörter Wörter Das leere Wort Mehr zu
23 Konvexe Funktionen und Ungleichungen
23 Konvexe Funktionen und Ungleichungen 231 Konvexe Funktionen 232 Kriterien für Konvexität 233 Streng konvexe Funktionen 235 Wendepunkte 237 Ungleichung von Jensen 2310 Höldersche Ungleichung 2311 Minkowskische
Lösen von Gleichungen mittels Ungleichungen
Lösen von Gleichungen mittels Ungleichungen. März 00 Die Aufgaben sind mit Schwierigkeitsstufen leicht, mittel, schwer markiert. Aufgabe (leicht) Ermittle alle nichtnegativen reellen Zahlen a, b, c, für
mathe plus Aussagenlogik Seite 1
mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet
WGMS III - Lösungen der Knobelaufgaben
Jörn Schweisgut 4.01.005 WGMS III - Lösungen der Knobelaufgaben 1. In wie viele Teile kann man eine Pizza mit drei geraden Schnitten maximal zerschneiden? Und mit vier Schnitten? Die meisten Teile erhält
Ultrametrik. Christian Semrau Metrische Räume
Ultrametrik Christian Semrau 05.11.2002 Inhaltsverzeichnis 1 Metrische Räume 1 1.1 Definition der Metrik.................................. 1 1.2 Offene und abgeschlossene Mengen..........................
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe
Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit
Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das
Polynome und ihre Nullstellen
Polynome und ihre Nullstellen 29. Juli 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Explizite Berechnung der Nullstellen 2.1 Polynome vom Grad 0............................. 2.2 Polynome vom Grad 1.............................
(c) x = a 2 b = ( ) ( ) = Anzahl der Teiler von x: τ(x) = (1 + 1) (3 + 1) (1 + 1) (7 + 1) = 128
Aufgabe 1 Wir betrachten die beiden Zahlen a = 57 101 3 und b = 3 57 79 101 (4+2+4=10 Punkte) ( Es gilt: 3, 57, 79, 101 P ) Hier liegt ein Fehler in der Aufgabenstellung vor, denn wegen 57 = 3 19 ist 57
Klausur HM I H 2005 HM I : 1
Klausur HM I H 5 HM I : 1 Aufgabe 1 4 Punkte): Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: n 1 1 + 1 ) k nn k n! für n. Lösung: Beweis mittels Induktion nach n: Induktionsanfang: n : 1 ) 1 + 1 k
Elementare Beweismethoden
Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe
Lösungen der Knobeleien in Mathe mit dem Känguru 2015 für die Klassenstufen 3 bis 8
Knobeleien, Kopfnüsse, Logikrätsel und Basteleien Lösungen der Knobeleien in Mathe mit dem Känguru 0 für die Klassenstufen bis Seite : Seite 0: Auf dem Krummen See schwimmen Enten. Seite : Wir geben zwei
Lösungen 5 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren
Lösungen 5 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren µfsr, TU Dresden Version vom 26. September 2016, Fehler und Verbesserungsvorschläge bitte an benedikt.bartsch@myfsr.de
Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion
Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten