A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung )

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1 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 05/6 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 6..05) (mit Lösung )

2 Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl unter Verwendung einer geometrischen Summe in einen möglichst einfachen Bruch um. a): P ( ) n0 ( )n 00 / b ) Sei < k < n und k gerade. Stellen Sie den Wert des Ausdruckes ( n / k ) ( n / k 3 ) ( n k + / ) k n k n 3 n k + in Form eines Binomialkoeffizienten dar. b): P. n k n k n k n 3 k 3 n k + n k + n (n ) (n k + ) k! n (n ) (n k + ) (n k)! k! (n k)! ( ) n! n k! (n k)! k 9 c ) Der Wert der Dezimalzahl soll in der Form wobei a /00, a /0000,.... k a k dargestellt werden, Geben Sie für die a k einen Formelausdruck in Abhängigkeit von k an. c): P k (0 + k) 0 k }{{} a k

3 Aufgabe. a ) Geben Sie für den Wert der Summe n i a i (a R, n N beliebig) einen möglichst einfachen Formelausdruck an. i0 a): P. Für welchen Wert von a liegt ein Sonderfall vor? Geben Sie auch dafür den Wert der Summe an. Zurückführen auf geometrische Summe (siehe auch Lemma.): ( a ) n+ ( a ) i n i a i n i a i n n a n+ n+ a i0 i0 i0 a Sonderfall: a : (n + ) n. b ) n i a i Geben Sie für den Wert der Summe (a R, n N beliebig) einen möglichst i! (n i)! einfachen Formelausdruck an. i0 b): P. Binomi : i0 n i i! a i (n i)! n! i0 ( ) n a i n i i (a + )n n! c ) Sei 0 < c R gegeben. Beweisen Sie: c): P. Falls für ein n n 0 N gilt n n < c, dann gilt dies auch für alle n > n 0. Für eine ganz präzise Argumentation gibt es ggf. Extra-P. Induktionsargument: Der Induktionsanfang ist n n 0, wie angenommen. Induktionsschritt n n + : laut Induktionsvoraussetzung gilt n < c/n. Daher: (n + ) (n+) weil n + n für alle n N. (n + ) n IND < (n + ) c n n + n c < c (Anmerkung: Für jedes c > 0 gibt es ein tatsächlich ein solches n 0, weil n n gegen 0 strebt für n ; danach war aber hier nicht gefragt.)

4 Aufgabe 3. a ) Die Funktion f : Q (0, ] N sei definiert als f(x) : kgv(p, q) für x p/q, wobei p, q N mit p q und p, q relativ prim (teilerfremd). Untersuchen Sie diese Funktion (Begründungen angeben): (i) Ist f injektiv? (ii) Ist f surjektiv? a): P. f(x) p q ist (i) nicht injektiv: Z.B. ist f(/3) f(/6) 6 (ii) surjektiv: Jedes n N wird als Funktionswert angenommen: f(/n) n für alle n N b ) Gegeben sei die Folge {a n } mit a n ( c + d n ) k (c, d R, k N beliebig, fest). b): P. Für welche Werte c, k konvergiert diese Folge, und wie lautet ihr Grenzwert in Abhängigkeit von c und k? Argumentieren Sie präzise! Rechnen mit konvergenten Folgen. Die Folge {b n }, mit b n c + d n konvergiert gegen c. Weiters gilt a n b n b n b n b k n, und daher gilt a n c k, n, für alle c, d, k. c ) Gegeben sei die Folge {a n }, definiert durch a n : Summe der Primfaktoren von n, wobei der Faktor und mehrfaches Auftreten eines Primfaktors nicht gezählt wird: c): P. a 0, a, a 3 3, a 4, a 5 5, a 6 5, a 7 7,... Zeigen Sie: Die Folge {a n } hat unendlich viele verschiedene konvergente Teilfolgen. Geben Sie diese auch an. Für n k p k (p Primzahl) ist a nk p const., also konvergent gegen p. kgv(p, q) bezeichnet das kleinste gemeinsame Vielfache von p und q. Spezieller Wert: / (p q ).

5 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 04/5 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 7..04) (mit Lösung )

6 Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl unter Verwendung einer geometrischen Summe in einen möglichst einfachen Bruch um. [a):.5 P. ] ( ) n0 ( )n 00 / b ) Sei k < n. Stellen Sie den Wert des Produktes Binomialkoeffizienten dar. n n n k k in Form eines [b): P. ] n n n k k (n )(n ) (n k) k! (n )(n ) (n k) (n k )! k! (n k )! ( ) (n )! n k! (n k)! k c ) Der Wert des arithmetischen Ausdruckes + ( + ( + ( + ))) soll in der Form 5 f(n) n ausgedrückt werden. Dabei ist f : N Q eine Funktion. Wie lautet der entsprechende Formelausdruck für f(n)? [c):.5 P. ] f(n), mit f(n) n! n

7 Aufgabe. n a ) Geben Sie für den Wert der Summe 3 (k ), n N beliebig, einen möglichst einfachen Formelausdruck an. k [a): 3 P. ] Zurückführen auf geometrische Summe: n n n 3 (k ) 3 k 3 k k 3 4 k n k ( ) k 3 4 k 4 n 6 n n k 4 k n+ 4 4 ( ) n k b ) Sei ε (0, ). Beweisen Sie, dass die Ungleichung ε ε < für alle n N gilt. k0 [b): 3 P. ] Verwende geometrische Summenformel: ( ) n k ( ) l ( ε) n+ ε ε k0 l0 ( ε) < ε Alternative (etwa umständlicher): Vollständige Induktion, ausgehend vom Induktionsanfang (n 0): ε <. Induktionsschluss n n + (ohne Verwendung der geometrischen Summenformel): n+ ( ) n+ k ( ) n+ k ( ) n+ (n+) ε ε + ε k0 k0 ( ε) k0 ( ε ) n k + ind < ( ε) ε + ε c ) Snoopy ist (nur) ein Hund und kennt daher die geometrische Summenformel nicht. Daher versucht er die von ihm vermutete Ungleichung k < für alle n N 0 mittels vollständiger Induktion zu beweisen. Der Induktionsanfang ist O.K.: Für n 0 ist <. Kommentieren Sie die Lage: k0 Wird es Snoopy gelingen, ohne weiteres Wissen über geometrische Summen den Induktionsschluss n n + durchzuführen? Formulieren Sie eine Antwort mit Begründung! [c): 3 Extra-P.] Nein. Die Ungleichung ist richtig, aber der Induktionsschluss n n + funktioniert nicht: n+ k0 k k0 k }{{} < (Induktionsannahme) + (n+) <??? Die Induktionsannahme enthält keinerlei Information über den konkreten Wert von n k k0 in Abhängigkeit von n. Daher ist der Induktionsschluss in dieser Form nicht durchführbar.

8 Aufgabe 3. a ) Sei U : {n N: n ungerade}, und f : U N sei definiert durch f(n) : n für alle n U. Zeigen Sie: n U : f(n) durch 4 teilbar. [a): P. ] Jedes n U ist von der Form n k +, k N 0. Daher: f(n) f( k + ) 4 k +, ergibt bei Division durch 4 immer den Rest. b ) Die Folge {a n } sei rekursiv definiert durch a und a n+ + /n a n, n Entscheiden Sie, ob {a n } eine Nullfolge ist. [b): P. ] Für a n+ n a n+ n gilt a a, a 3 3 a 3, a 4 Also mittels offensichtlichen Induktionsargument: { } {a n } ist Nullfolge. n 3 4 a 3 4, usw. c ) Sei P N die Menge aller Primzahlen, und die Abbildung f : P P N sei definiert durch f(p, q) p q. [c): 3 P. ] (i) Entscheiden Sie, ob f injektiv ist. (Begründung!) (ii) Gleiche Frage wie unter (i), wobei wir jedoch den Definitionsbereich von f einschränken auf D : {(p, q) P P : p q}. (iii) Wir betrachten wieder f gemäß (ii). Sei n N gegeben. Welches Problem muss man lösen um entscheiden zu können, ob n f(d) gilt? Wie erhält man daraus (p, q) D mit f(p, q) n? Ist dieses Paar (p, q) eindeutig festgelegt? (i) nicht injektiv wegen f(p, q) f(q, p) (ii) injektiv, da Primfaktorzerlegung eindeutig und p q gefordert. (iii) Man muss die Primfaktorzerlegung von n N bestimmen. Für n p ist n f(p, p). Für n p q mit p < q ist n f(p, q). In beiden Fällen ist das Urbild eindeutig (f gemäß (ii) ist ja injektiv).

9 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger, G. Schranz-Kirlinger WS 03/4 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 8..03) (mit Lösung )

10 Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl.0 unter Verwendung einer geometrischen Summe in einen Bruch um. [a):.5 P. ] ( ) /00 + / n ( ) n 00 b ) Sei 0 k < n. Geben Sie eine möglichst einfache Formel an für den Wert von ( ) n + / ( ) n k k + [b):.5 P. ] ( ) n + k ( ) n k + (n + )! k! (n + k)! n! (k + )! (n k )! (n + )! (k + )! (n k )! n! k! (n k + )! (n + )(k + ) (n k)(n k + ) c ) Sei n N. Drücken Sie den Wert von n k k + k mittels eines Binomialkoeffizienten aus. Hinweis: Sie sollen hier nicht Induktion verwenden, sondern das Muster richtig erkennen. [c): P. ] n k k + k 3 4 n + n (n + )! / (n )! n(n + ) ( ) n + d ) Beweisen Sie Ihr Resultat aus c) mittels vollständiger Induktion (Induktionsanfang bei n ). [d): Extra-P. ] Induktionsanfang (n ): leeres Produkt (+) Induktionsschluss n n + : n+ k k + k ind n(n + ) n + n (n + )(n + ) ( ) n +

11 Aufgabe. a ) Berechnen Sie den Wert der Summe k 3 n k, n N beliebig. k0 Das Ergebnis ist als Differenz zweier natürlicher Zahlen darzustellen. [a): 3 P. ] Umformen auf geometrische Summe: ( ) n+ ( ) k k 3 n k 3 n 3 n 3 3 k0 3 k0 n n 3 n+ n+ Die Identität folgt auch aus Lemma., dessen Aussage zur geometrischen Summenformel eng verwandt ist. b ) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Zahl 6 n für alle n N durch 5 teilbar ist. [b): 3 P. ] Induktionsanfang (n ): 6 5 Induktionsschluss n n + : 6 n+ ( 6 n+ 6 n) + ( 6 n ) (6 ) 6 n + ( 6 n ) ind 5 6 n + 5 k für ein k N 6 n+ ist ebenfalls durch 5 teilbar. c ) Formulieren Sie eine naheliegende Verallgemeinerung der Aussage aus b), die offenbar auch richtig ist, mitsamt Beweis. [c): Extra-P. ] Aussage: Für beliebige m N und n N ist die Zahl (m + ) n durch m teilbar. Beweis analog wie für m 5 : Induktionsanfang (n ): (m + ) m Induktionsschluss n n + : (m + ) n+ ( (m + ) n+ (m + ) n) + ( (m + ) n ) (m + ) (m + ) n + ( (m + ) n ) ind m (m + ) n + m k für ein k N Oder so: a (m + ) n m (m + )n n (m + ) k0 (m + ) k N (geometrische Summe). a Diese Lösung ist einfacher, aber die geometrische Summe versteckt sich hinter der Angabe.

12 Aufgabe 3. a ) Sei n N. Geben Sie für den Wert von an. k0 n k ( ) n k einen möglichst einfachen Formelausdruck [a):.5 P. ] Binomischer Lehrsatz ( ) n n k k k0 ( ) n n k k k0 k0 ( ) n k n k ( + ) n 3 n k b ) Die Folge {a n } sei rekursiv definiert durch a und a n+ n n + a n, n Entscheiden Sie, ob {a n } eine Nullfolge ist. [b):.5 P. ] Es gilt a a, a 3 3 a 3, a a 3 4, usw. Also mittels offensichtlichen Induktionsargument: { {a n } ist Nullfolge. n} c ) Untersuchen Sie die Funktion f : N A, f(n) n n + auf Injektivität und Surjektivität. Hier ist A : {a p/q Q : q p + }. [c): 3 P. ] f ist injektiv: f(n) f(m) n n + m m + (n )(m + ) (m )(n + ) nm + n m mn + m n (n )(m + ) (m )(n + ) n m m n n m 0 n m Oder: Man argumentiert, dass f strikt monoton wachsend ist, d.h. wegen Oder ganz direkt: f(n + ) f(n) n + n + n(n + ) }{{} n +n n n + > n n + f(n) > (n )(n + ). }{{} n +n n + strikt monoton wachsend. f ist nicht surjektiv, weil nicht alle a A als Funktionswert angenommen werden, z.b. /( + ).

13 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger, G. Schranz-Kirlinger WS 0/3 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 9..0) (mit Lösung )

14 Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl.5 unter Verwendung einer geometrischen Summe in einen Bruch um. [a):.5 P. ] ( ) /00 / n ( ) n 00 b ) Sei m, n N. Geben Sie eine möglichst einfache Formel an für den Wert des Produktes n k k m [b):.5 P. ] n k m k ( n k ) m k (n!) m c ) Sei 0 k n. Geben Sie eine möglichst einfache Formel an für den Wert von ( ) ( ) n + k / n k [c): P. ] ( ) n + k ( ) n k (n + )! k! (n + k)! n! k! (n k)! (n + )! (n k)! n! (n + k)! n + n + k d ) Zeigen Sie: Für alle a, b R und ε > 0 gilt ab (ε a + b ε ) [d): 3 EXTRA-P. ] Mit δ ε > 0 gilt 0 ( δ a ± b δ ) ε a ± a b + b ε a b (ε a + b ε )

15 Aufgabe. a ) Berechnen Sie für beliebiges n N den Wert der Summe n j j! (n j)! [a):.5 P. ] n j j! (n j)! n! n j ( ) n j n! ( j0 ( + )n n! ( ) n j n j j ( ) n 0 (n ) n! ( ) ) n n b ) Beweisen Sie: n (k k! ) n! für alle n N. [b):.5 P. ] k0 Induktionsanfang (n ) : 0 0 Induktionsschluss n n + : (k k! ) k0 n (k k! ) + n n! k0 ind (n! ) + n! n n! ( + n) (n + )! c ) Sei p eine gegebene Primzahl. Geben Sie eine explizite Darstellung an für die Menge { x u v Q : u, v N und u v p } [c): P. ] { p p, p, p } {, p, } p

16 Aufgabe 3. a ) Beweisen Sie: {a n } { n } n! ist eine Nullfolge. [a):.5 P. ] Die Folge ist positiv. Schätze nach oben ab durch Majorante, die eine Nullfolge ist: a n n n! 3 n n 4 n n 0 (Einschließungsprinzip). b ) Die Folge {a n } sei rekursiv definiert durch a : c und a n+ : a n + a n, n wobei c R ein gegebener Parameter ist. Geben Sie alle möglichen Werte a R an, die als Grenzwert in Frage kommen. [b): P. ] Für a lim n a n lim n a n+ muss gelten (quadratische Gleichung für a ). a a + a a ( + a ) a a 0 c ) Untersuchen Sie die Funktion f : R + R +, f(x) x + x auf Surjektivität und Injektivität. (Anmerkung: R + {x R : x > 0}) [c):.5 P. ] f nicht surjektiv wegen f(x) > max{x, /x} für alle x > 0 f nicht injektiv wegen f(x) f(/x) Oder Injektivität stur gemäß Definition nachprüfen: f(x ) f(x ) x x x x x x x x x x oder x x, d.h. x x Bzw. mittels Rechnung: Sei y > 0. Die Gleichung f(x) y, d.h. x + x y x x y + 0 (x kann nicht 0 sein) hat die Lösungen x, y ± y 4 y < : keine reelle Lösung f nicht surjektiv y > : zwei positive Lösungen x, f nicht injektiv Anmerkung: Es gilt f(x) für alle x > 0.