Lösungen Klasse 3. Klasse 3

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1 Klasse 3 Lösungen Klasse 3 1. Welche der folgenden Figuren kann man zeichnen ohne dabei den Bleistift abzuheben und ohne eine bereits gezeichnete Linie erneut nachzufahren? (A) (B) (C) (D) (E) Lösung: In Teil 1 begründen wir, wie man (A), (C), (D) und (E) zeigen kann. (A): Dazu muss man an einem der markierten Punkte aus Figur 1 anfangen. Figur 1 Figur 2 (C) kann man z. B. so zeichnen: Zuerst zeichnet man das kleinere Quadrat, anschließend das größere Quadrat. (D) kann man z. B. so zeichnen: Zuerst zeichnet man das kleine Quadrat, dann einen Teil des mittelgroßen Quadrates, nachher das größte Quadrat und anschließend den Rest des mittelgroßen Quadrates. (E) kann man z. B. so zeichnen: Zuerst zeichnet man das kleine Quadrat, samt Diagonale, dann einen Teil des mittelgroßen Quadrates, nachher das größte Quadrat und anschließend den Rest des mittelgroßen Quadrates. Beachte: Bei (E) muss man bei einem der markierten Punkte aus Figur 2 anfangen. Bei (C) und (D) kann man bei jedem Punkt anfangen zu zeichnen. In Teil 2 begründen wir, warum man (B) nicht zeichnen S R kann. Wir starten einen Versuch: P Q R P S R. Ab hier aber können wir nicht weiterzeichnen, ohne eine bereits gezeichnete Linie nachzufahren (siehe Figur 3). M Die Strecke SQ wurde jedoch noch nicht gezeichnet. Jeder anderer Versuch scheitert ähnlich. P Q Anregung: Der geneigte Leser möge es selbst ausprobieren. Figur 3 Die richtige(n) Antwort(en): A, C, D, E 1

2 Lösungen der Aufgaben 2. Anna hat ein Buch aufgeschlagen und die beiden Seitenzahlen zusammengezählt. Sie bekam als Ergebnis 69. Welche Seitenzahlen konnten auf den aufgeschlagenen Seiten gewesen sein? Lösungshinweis: Das Buch ist in einwandfreiem Zustand. (A) 31 (B) 32 (C) 33 (D) 34 (E) 35 Lösung: Die zwei Seitenzahlen sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen, deren Summe 69 ergibt. Dies kann nur als = 69 zu Stande kommen. Die gesuchten Seitenzahlen sind damit 34 und 35. Die richtige(n) Antwort(en): D, E 3. Wie viele zweistellige Zahlen gibt es insgesamt, in denen die Ziffer 6 genau einmal vorkommt? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 17 (E) 18 Lösung: Wir zählen alle zweistelligen Zahlen in steigender Reihenfolge auf, in denen die Ziffer 6 genau einmal vorkommt: 16, 26, 36, 46, 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 76, 86, 96. Das Zusammenzählen ergibt 17 Zahlen. Beachte: In 66 kommt die 6 zweimal vor, deswegen passt 66 nicht. Die richtige(n) Antwort(en): D 4. Die nebenstehende Figur wurde mit vier gleichen Stücken gelegt. Wie viele cm breit kann ein Stück sein, wenn es 24 cm lang ist? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 12 Lösung: Die Länge des stehenden (senkrechten) Stücks ist 24 cm. Die drei liegenden (waagrechten) Stücke sind zusammen ebenfalls 24 cm hoch. Ein Stück hat somit die Breite 24 : 3 = 8 cm. Die richtige(n) Antwort(en): D 5. In der Zahlenreihe 2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, 2, zählt man von links aus einige der Zahlen zusammen (ohne dabei welche zu überspringen). Als Ergebnis erhält man eine Zahl, die nicht durch 2 teilbar ist. Wie viele Zahlen konnte man so insgesamt zusammenzählen? (A) 12 (B) 20 (C) 28 (D) 32 (E) 40 Lösung: Vorbemerkung: 2, 4, 6, 8,... usw. heißen gerade Zahlen, 1, 3, 5, 7 usw. heißen ungerade Zahlen. In Teil 1 bilden wir nach und nach einige der Summen und versuchen eine Regelmäßigkeit zu entdecken = = = = = 11 2

3 Klasse = = = = = = 25 usw. 1. Feststellung: Das Ergebnis ist dann gerade, wenn die Anzahl der 1 -en in der Summe eine gerade Zahl ist. Entsprechend ist das Ergebnis dann ungerade, wenn die Anzahl der 1 -en in der Summe eine ungerade Zahl ist. 2. Feststellung: 1 ist die einzige ungerade Zahl in 2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, Feststellung: Die Summe von geraden Zahlen ist stets gerade. In Teil 2 untersuchen wir die aufgeführten Ergebnisse, allerdings ohne alle Summen tatsächlich zu bilden. 4. Feststellung: Diese vier Zahlen wiederholen sich: 2; 0; 1 und Feststellung: Unter vier aufeinanderfolgenden Zahlen gibt es genau eine 1. Es kommt nun darauf an, wie oft die 1 in den einzelnen Summen vorkommt. Bei den ersten 12 Zahlen gibt es genau 12 : 4 = 3 Mal die 1. Bei den ersten 20 Zahlen gibt es genau 20 : 4 = 5 Mal die 1. Bei den ersten 28 Zahlen gibt es genau 28 : 4 = 7 Mal die 1. Bei den ersten 32 Zahlen gibt es genau 32 : 4 = 8 Mal die 1. Bei den ersten 40 Zahlen gibt es genau 40 : 4 = 10 Mal die 1. Die Anzahl der 1 -en ist ungerade in der Summe der ersten 12, 20 und 28 Zahlen. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C 6. Sophie hat ein Blatt Papier zweimal gefaltet: Zuerst entlang einer waagerechten und anschließend entlang einer senkrechten Linie. Das Papier sieht nun so aus wie in der Figur. Sophie nimmt jetzt eine Schere und zerschneidet es mit einem geraden Schnitt. In wie viele Teile könnte das Papier zerfallen? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 2, 3, 4 und 5 Lösungen sind. Dazu geben wir je ein passendes Beispiel an: 2 Teile 3 Teile 4 Teile 5 Teile In Teil 2 begründen wir, dass 6 keine Lösung ist. 1. Feststellung: Das zweimal gefaltete Blatt besteht aus 4 Seiten. 3

4 Lösungen der Aufgaben 2. Feststellung: Jeder Schnitt zerlegt alle 4 Seiten in je 2 Teile. 3. Feststellung: Nur dann hätten wir 4 2=8 Teile, wenn keine zwei Teile zusammenhängend wären. Ansonsten gibt es weniger als 8 Teile. 4. Feststellung: Die entstandenen Teile (2. und 3. Feststellung) können an folgenden Faltlinien zusammenhängend sein: oben und rechts (siehe die Figur aus dem Aufgabentext). 5. Feststellung: Nur dann könnten zwei beliebige Teile nicht zusammenhängend sein (siehe 2. und 3. Feststellung), wenn der Schnitt keine gemeinsamen Punkte mit den Faltlinien aus der 4. Feststellung hätte. Dies ist nur dann möglich, wenn der Schnitt unten und links erfolgt (wie bei der Figur ganz rechts). In diesem Fall entstehen aber 5 und keine 8 Teile. Man kann ferner zeigen: Bei jedem anderen Schnitt hat jedes Teil mindestens ein Partnerteil, mit dem es zusammenhängt. Damit sind höchstens 8:2 4Teile möglich (siehe die ersten drei Figuren von links). Damit haben wir begründet, dass mehr als 5 Teile nicht möglich sind. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C, D 7. Katja war bei einem Schwimmwettbewerb sowohl unter den ersten 5 als auch unter den letzten 5 Schwimmern. Wie viele Teilnehmer könnte der Wettbewerb insgesamt haben, wenn es keine Gleichplatzierten gab? (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 10 (E) 11 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 5, 7 und 9 Lösungen sind. In den Figuren stehen die Quadrate für die Teilnehmer der Reihe nach geordnet: Das erste Quadrat von links steht für den ersten Platz, das zweite Quadrat von links steht für den zweiten Platz, usw. Das Quadrat ganz rechts steht für den letzten Platz. Ein schwarzes Quadrat steht für eine mögliche Platzierung von Katja. 5 Teilnehmer: 7 Teilnehmer: 9 Teilnehmer: Beachte: Sowohl bei 5 als auch bei 7 Teilnehmern gibt es mehrere denkbare Platzierungen von Katja (siehe die schwarzen Quadrate). Bei 9 gibt es nur eine denkbare Platzierung, den 5. Platz (siehe schwarzes Quadrat). In Teil 2 begründen wir, dass 10 keine Lösung ist. Tatsächlich, Katja kann nicht unter den ersten 5 und den letzten 5 Schwimmern sein, da diese im Fall von 10 Schwimmern aus lauter unterschiedlichen Teilnehmern bestehen. Beachte: Ganz ähnlich folgt, dass 11 ebenfalls keine Lösung ist. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C 4

5 5 Klasse 3 8. Eine Sorte Löwenzahn blüht in der Frühe auf. Er blüht zwei Tage lang gelb, am dritten Tag wird er weiß und am Abend dieses Tages wird er vom Wind verweht. Gestern gab es auf der Wiese tagsüber 20 gelbe und 14 weiße Löwenzähne. Heute gibt es 15 gelbe und 11 weiße Löwenzähne während des Tages. Wie viele weiße Löwenzähne können morgen insgesamt auf der Wiese sein (tagsüber)? (A) 5 (B) 9 (C) 10 D) 15 (E) 20 Lösung: Morgen werden genau jene Löwenzähne weiß, die gestern gelb waren und auch heute noch gelb sind. Gestern gab es 20 gelbe Löwenzähne und heute gibt es 11 weiße. Dies bedeutet: 11 gelbe Löwenzähne sind weiß geworden. Es gibt daher heute noch 9 (20 11) gelbe Löwenzähne, die auch gestern schon gelb waren. Diese werden dann morgen weiß. Die richtige(n) Antwort(en): B 9. Mutti möchte Strudel machen. Sie formt zunächst 27 Strudel. Von jedem Strudel, den sie formt, schneidet sie die Enden ab. Aus den Enden von drei Strudeln kann sie stets einen neuen Strudel formen. Wie viele Strudel kann sie auf diese Weise zusätzlich zu den 27 formen? Lösungshinweis: Mutti formt so viele Strudel wie nur möglich. (A) 9 (B) 13 (C) 18 (D) 27 (E) 40 Lösung: Aus drei Enden wird ein neuer Strudel geformt. Dies bedeutet: Aus den Enden der ersten 27 Strudel entstehen weitere 27 : 3 = 9 Strudel. Aus den Enden dieser 9 Strudel entstehen noch weitere 9 : 3 = 3 Strudel. Aus den Enden dieser 3 Strudel entsteht schließlich noch 1 Strudel. Wir zählen zusammen: Es sind insgesamt = 13 neue Strudel entstanden. Die richtige(n) Antwort(en): B 10. Früher hatte Opa alle 32 Zähne. Heute hat er nur noch so viele Zähne in seinem Oberkiefer, wie ihm Zähne in seinem Unterkiefer fehlen. Wie viele Zähne hat Opa heute insgesamt? (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 16 (E) 24 Lösung: Als Opa noch alle 32 Zähne hatte, befanden sich 16 im Oberkiefer und 16 im Unterkiefer. Heute gibt es genauso viele Zähne im Oberkiefer wie es Lücken im Unterkiefer gibt. Würde man alle Zähne des Oberkiefers in die Lücken des Unterkiefers einsetzen, wäre der Unterkiefer gerade voll besetzt und der Oberkiefer leer. Dies bedeutet: Opa hat noch insgesamt 16 Zähne. Die richtige(n) Antwort(en): D 11. Peter und seine sieben Vetter sind zusammen 200 Jahre alt. Peter ist der jüngste von allen und die Alter seiner Vettern sind aufeinanderfolgende Zahlen. Wie alt kann Peter sein? (A) 3 (B) 4 (C) 10 (D) 11 (E) 18

6 Lösungen der Aufgaben Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 18 eine Lösung ist. Wenn der jüngste Vetter 23 Jahre alt ist, so sind die sieben Vettern 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 Jahre alt, d. h. zusammen = 182 Jahre alt. Peter ist damit 18 Jahre alt ( ) und Peter ist mit 18 der jüngste von allen. In Teil 2 zeigen wir, dass 11 eine Lösung ist. Wenn der jüngste Vetter 24 Jahre alt ist, so sind die sieben Vettern 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 Jahre alt, d. h. zusammen = 189 Jahre alt. Peter ist damit 11 Jahre alt ( ) und Peter ist mit 11 der jüngste von allen. In Teil 3 zeigen wir, dass 4 eine Lösung ist. Wenn der jüngste Vetter 25 Jahre alt ist, so sind die sieben Vettern 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 Jahre alt, d. h. zusammen = 196 Jahre alt. Peter ist damit 4 Jahre alt ( ) und Peter ist mit 4 der jüngste von allen. In Teil 4 zeigen wir, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Tatsächlich: Wenn der jüngste Vetter mindestens 26 Jahre alt wäre, dann wären schon die sieben Vettern mindestens = 203 Jahre alt. Dies geht aber nicht, denn zusammen sind sie 200 Jahre alt. Wenn der jüngste Vetter höchstens 22 Jahre alt wäre, dann wären schon die sieben Vettern höchstens = 175 Jahre alt. Damit wäre Peter 25 ( ) Jahre alt. Dies geht aber nicht, weil Peter so nicht der jüngste von allen wäre. Die richtige(n) Antwort(en): B, D, E 12. Wenn man von vier ganzen Zahlen je zwei auswählt und addiert, bekommt man als Ergebnisse die Zahlen 4, 5, 7, 8, 10, 11. Welche der aufgeführten Zahlen können unter den vier Zahlen sein? (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 8 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass die vier Zahlen 1, 3, 4, 7 die Bedingung erfüllen. Tatsächlich: = 4, = 5, = 8, , = 10, = 11. In Teil 2 zeigen wir, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Im 1. Schritt formulieren wir einige Feststellungen und führen Bezeichnungen ein. 1. Feststellung: Die vier Zahlen sind alle unterschiedlich (ansonsten gäbe es weniger als sechs Ergebnisse). Bezeichnung: Wir ordnen die vier Zahlen der Größe nach (wie in Teil 1). Die kleinste Zahl heißt erste Zahl, die nächstgrößere Zahl zweite Zahl, dann kommt die dritte Zahl und die größte Zahl ist die vierte Zahl. 2. Feststellung: 1 ist die erste Zahl. Begründung: Wenn die erste Zahl mindestens 2 wäre, dann wäre die zweite Zahl mindestens 3. Die kleinste Summe wäre somit mindestens = 5 und damit größer als das kleinste Ergebnis 4 was aber nicht geht. 3. Feststellung: Die vierte Zahl ist mindestens Feststellung: Die zweite Zahl und die dritte Zahl sind aufeinanderfolgende Zahlen. Anregung: Der geneigte Leser möge die letzten Feststellungen prüfen. 6

7 Klasse 3 Im 2. Schritt finden wir alle Lösungen. Wir gehen dabei mit systematischem Probieren vor. Die 4. Feststellung und die 1. Feststellung bilden unseren Ansatz. Wir untersuchen nun alle denkbaren Möglichkeiten. 1. Fall: Die zweite Zahl ist die 2, die dritte Zahl ist die 3. Die kleinste Zahl ist die 1. Damit ist die kleinste Summe 3 (1 + 2), was aber nicht geht, da die kleinste Summe 4 ist. Der 1. Fall bringt keine Lösung. 2. Fall: Die zweite Zahl ist die 3, die dritte Zahl ist die 4. Die kleinste Zahl ist die 1. Wenn die größte Zahl 7 ist, bekommen wir die Summen = 4, = 5, = 8, = 7, = 10 und = 11. Der 2. Fall bringt also die Lösung aus Teil Fall: Die zweite Zahl ist die 4, die dritte Zahl ist die 5. Die kleinste Zahl ist die 1. Damit ist die kleinste Summe 5 (1 + 4), was aber nicht geht, da die kleinste Summe ist 4. Der 3. Fall bringt keine Lösung. Beachte: Wenn die zweite Zahl und die dritte Zahl größer sind als im 3. Fall, gibt es ebenso keine Lösung. Damit ist bewiesen, dass es außer 1, 3, 4 und 7 keine Lösung gibt. Die richtige(n) Antwort(en): B, D 13. Peter hat den Körper aus Figur 1 aus Streichhölzern und Knete gebastelt. Der Körper aus Figur 1 besteht aus drei gleich großen Würfeln, die er mit Knete ausgefüllt hat. Figur 2 zeigt, wie ein solcher Würfel aus Streichhölzern entsteht. Wie viele Streichhölzer hat Peter für den Körper aus Figur 1 mindestens gebraucht? Figur 1 Figur 2 Lösungshinweis: Peter arbeitet nur mit ganzen Streichhölzern. (A) 28 (B) 32 (C) weniger als 32 (D) mehr als 32 (E) 36 Lösung: Das sogenannte Kantenmodell des Körpers aus Figur 1 sieht so aus: Das Zusammenzählen ergibt, dass es hier = 18 waagerechte und = 10 senkrechte Streichhölzer gibt, insgesamt also = 28. Die richtige(n) Antwort(en): A, C 7

8 Lösungen der Aufgaben Aufgabe zur detaillierten Ausarbeitung: 14. Übertragt die folgenden vier Zahlenreihen auf das Antwortblatt. Schreibt anschließend zwischen je zwei Zahlen + (plus) oder (minus) oder (mal), so dass in allen Fällen das Ergebnis 10 wird. 1. Lösungshinweis: Es reicht je ein passendes Beispiel. 2. Lösungshinweis: Die Reihenfolge der Zahlen darf man nicht verändern. 3. Lösungshinweis: Man darf keine Klammern verwenden = = = = 10 Lösung: Wir geben für jede Zahlenreihe mindestens ein Beispiel an ; ; ; Bei allen vier Zahlenreihen wird nur je ein Beispiel bewertet. Im Falle eines richtigen Beispiels gibt es 4 Punkte pro Zahlenreihe. Für ein falsches Beispiel erfolgt kein Punktabzug (maximal 16 Punkte). 8