Zusammenfassung: Vektoren

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1 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Zusmmenfssung: Vektoren Inltsverzeicnis Punkte im Koordintensystem Vektoren Linere ängigkeit von Vektoren 4 etrg eines Vektors 5 Sklrprodukt und ortogonle Vektoren 6 Vektorprodukt 8 Für Experten Punkte im Koordintensystem Wir etrcten nur krtesisce, d rectwinklige Koordintensysteme In der Eene t mn zwei zueinnder ortogonle Koordintencsen, die mn mit x und y oder mit x und x ezeicnet, und jeder Punkt P( px p y) ist eindeutig estimmt durc die nge seiner eiden Koordinten Der Ursprung des Koordintensystems ist der Punkt O ( 0 0) Im Rum t mn drei zueinnder ortogonle Koordintencsen, x x und x ezeicnet, und jeder Punkt die mn mit x, P( p p p ) ist eindeutig estimmt durc die nge seiner drei Koordinten In einem Scrägild zeicnet mn ülicerweise die x -cse unter einem Winkel von 45 und mit dem Verkürzungsfktor ; dies ist die Länge der Digonle eines Kästcens O Der Ursprung des Koordintensystems ist der Punkt ( ) Ein Punkt P( p p p ) liegt genu dnn in der x - x -Eene, wenn p = 0 ist; liegt genu dnn uf der x -cse, wenn p = 0 und p = 0 ist; t ei der (senkrecten) Projektion uf die x - x -Eene den ildpunkt P ( p p 0) t ei der (senkrecten) Projektion uf die x -cse den ildpunkt P ( p 0 0 ) ; t ei der Spiegelung n der x - x -Eene den ildpunkt P ( p p p) ; t ei der Spiegelung n der x -cse den ildpunkt P ( p p p) ; t ei der Spiegelung m Ursprung den ildpunkt P ( p p p ) x nloges gilt für die nderen Koordinteneenen zw Koordintencsen ; x Vektoren Definition: Ein zweidimensionler zw dreidimensionler Vektor ist ein Zlenpr v ein Zlentripel v = v v Die reellen Zlen v und v zw v, v und v eißen die Koordinten des Vektors v v = v zw zus_vektoren /4

2 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Der Vektor 0 o = 0 zw der Vektor 0 o = 0 0 eißt der Nullvektor Geometrisce Vernsculicung: Einen Vektor knn mn durc einen Pfeil vernsculicen Die Koordinten des Vektors geen n, um wie viele Längeneineiten mn vom nfngspunkt des Pfeils zum Endpunkt des Pfeils in Rictung der jeweiligen Koordintencse (mit Vorzeicen) geen muss ctung: Der nfngspunkt eines solcen Pfeils ist elieig; zu einem Vektor geören lso unendlic viele prllele, gleic lnge und gleic gerictete Pfeile Zu zwei Punkten und git es den Pfeil mit dem nfngspunkt und dem Endpunkt (kurz: den Pfeil von nc ) Der zugeörige Vektor eißt der Verindungsvektor Die Koordinten des Verindungsvektors knn mn sic meistens im Kopf üerlegen Weiter unten wird erklärt, wie mn die erecnung des Verindungsvektors ufscreit Definition: Gegeen ist ein Punkt ( ) dnn eißt der Vektor der Ortsvektor des Punkts P OP P p p p Ist O der Ursprung, p = p p x OP P Merke: ei einem Punkt stet kein Gleiceitszeicen, und mn screit die Koordinten neeneinnder ei einem Vektor stet ein Gleiceitszeicen, und mn screit die Koordinten untereinnder x x Definition: u Vektorddition: Die Summe zweier Vektoren u = u u u + v u+ v = u + v u + v und v v = v v ist u u + v v Sklrmultipliktion: Ds r-fce eines Vektors u u ist u = u r u r u = r u u r u u zus_vektoren /4

3 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Der Gegenvektor eines Vektors u u ist der Vektor u u u = u u = u u u Für ds Recnen mit Vektoren gelten die ülicen Recengesetze; siee Für Experten Stndrdrecnungen mit Vektoren: Für zwei Punkte und gilt = Für drei Punkte, und gilt + = Ist O der Ursprung, dnn gilt für zwei Punkte und : = O O eweis: erste Möglickeit: O + = O O O = O O zweite Möglickeit: O = O + O = O + O = O O Merke: Verindungsvektor = Ortsvektor des Endpunkts minus Ortsvektor des nfngspunkts 4 Der Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten ( ) und ( ) Punkt M O ist der Merke: Koordinten des Mittelpunkts = Mittelwerte der Koordinten der Endpunkte Der Ortsvektor des Mittelpunkts ist OM = O + M = O + = O + ( O O) = O + O O = O + O = ( O + O), lso OM = O + = ( O + O) zus_vektoren /4

4 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Die Formeln für den Ortsvektor verwendet mn nur ei teoretiscen ufgen, ei denen keine Zlen gegeen sind ei konkreten ufgen verwendet mn immer die Mittelpunktsformel! 5 Für Experten: Der Scwerpunkt S eines Dreiecks t den Ortsvektor OS = ( O + O + O) Herleitung: siee Für Experten 6 Der ildpunkt P eines Punkts P ei der Spiegelung n einem Punkt Z t den Ortsvektor OP = OZ + PZ = OP + PZ P OP PZ OZ O Z OP P Feststellung: Zwei Strecken PQ und RS sind genu dnn prllel und gleic lng, wenn gilt: PQ = ± RS Folgerung: Ein Viereck D ist genu dnn ein Prllelogrmm, wenn gilt: = D (oder äquivlent: D = ) D D Stndrdufge: Ergänze ein Dreieck zu einem Prllelogrmm D (mit den Punkten in dieser Reienfolge) D Lösung: Der Punkt D t den Ortsvektor OD = O + D = O + (oder: OD = O + D = O + ) OD D O O Linere ängigkeit von Vektoren Definition: Gegeen sind n Vektoren v, v,, v n Ein usdruck, der sic in der Form r v + r v + + rn vn mit reellen Zlen r, r,, r n screien lässt, eißt eine Linerkomintion der Vektoren v, v,, v n Ist (mindestens) einer der Vektoren eine Linerkomintion der nderen Vektoren, dnn eißen die Vektoren liner ängig; ndernflls eißen sie liner unängig zus_vektoren 4/4

5 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Linere ängigkeit von zwei Vektoren: recnerisc: Zwei Vektoren u und v sind genu dnn liner ängig, wenn sie Vielfce voneinnder sind, d wenn es eine Zl r git mit r u = v geometrisc: Zwei Vektoren sind genu dnn liner ängig, wenn zugeörige Pfeile prllel (zw ntiprllel) sind Folgerung: Zwei Strecken PQ und RS sind genu dnn prllel zueinnder, wenn die Vektoren PQ und RS liner ängig sind oder Folgerung: Ein Viereck D ist genu dnn ein Trpez, wenn und D liner ängig sind oder wenn D und liner ängig sind D D oder D D etrg eines Vektors Screiweise Den Ortsvektor OP eines Punkts P ezeicnet mn mit p Merke: Einen Punkt screit mn mit einem Großucste one Pfeil, und einen Ortsvektor screit mn mit einem Kleinucsten mit Pfeil Die Strecke mit den Endpunkten und ezeicnet mn mit, und die Länge dieser Strecke ezeicnet mn eenflls mit oder mit Den stnd der Punkte und (der gleic der Streckenlänge ist) ezeicnet mn mit d( ; ) Definition: Der etrg eines Vektors ist die Länge eines zu diesem Vektor geörenden Pfeils Screiweise: Den etrg eines Vektors ezeicnet mn mit us dem Stz des Pytgors folgt der Stz: Der etrg eines Vektors ist = + + = Definition: Ein Vektor mit dem etrg eißt ein Eineitsvektor zus_vektoren 5/4

6 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Feststellung (Normierung eines Vektors): Für einen Vektor o ist der Vektor 0 = ein Eineitsvektor 0 Weg-Zeit-Gesetz eines Körpers, der sic gerdlinig mit konstnter Gescwindigkeit ewegt: Ein Körper efindet sic zum Zeitpunkt t = 0 m Ort Von d n ewegt er sic gerdlinig mit konstnter Gescwindigkeit und ewegt sic in einer Zeiteineit um den Vektor v ( Gescwindigkeitsvektor ) Dnn efindet sic der Körper zum Zeitpunkt t m Ort P mit dem Ortsvektor p = + t v Die Gescwindigkeit (im umgngssprclicen Sinn) des Körpers ist v estimmung des Gescwindigkeitsvektors v : efindet sic der Körper zum Zeitpunkt t = m Ort, dnn ist v = efindet sic der Körper zum eispiel zum Zeitpunkt t = m Ort, dnn ist v = ewegt sic der Körper zum eispiel mit der Gescwindigkeit v = 50 in Rictung des Vektors u, dnn ist v = 50 u0 = 50 u u Stndrdufge (minimler stnd zweier Körper, die sic gerdlinig mit konstnter Gescwindigkeit ewegen): Zwei Körper ewegen sic gemäß den Weg-Zeit-Gesetzen p = + t v und p = + t v Wnn en die Körper minimlen stnd, und wie groß ist dieser minimle stnd? Lösung: Der stnd der Körper zum Zeitpunkt t ist ( ) PP d t = d estimme (mit dem GTR) ds Minimum der Funktion d für t 0 sowie den zugeörigen Zeitpunkt t Sklrprodukt und ortogonle Vektoren Definition: Ds Sklrprodukt zweier Vektoren = und = = + + ist die Zl Für ds Recnen mit dem Sklrprodukt gelten die ülicen Recengesetze, siee Für Experten Screiweise für ds Sklrprodukt eines Vektors mit sic selst: = Definition: Zwei vom Nullvektor versciedene Vektoren eißen ortogonl zueinnder, wenn zugeörige Pfeile mit demselen nfngspunkt ortogonl zueinnder sind Screiweise: zus_vektoren 6/4

7 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Stz (eweis siee Für Experten ): Zwei Vektoren o und o sind genu dnn ortogonl zueinnder, wenn gilt: = 0 ufge: Untersuce ein Dreieck uf esondere Eigenscften Lösung: erecne die Seitenvektoren, und erecne die Seitenlängen, d die eträge, und Drus folgt, o ds Dreieck gleicscenklig oder sogr gleicseitig ist erecne die Sklrprodukte, und Drus folgt, o ds Dreieck rectwinklig ist ufge: Gegeen ist ein eenes Viereck D Untersuce, um welce rt von Viereck es sic ndelt Lösung: erecne die Seitenvektoren,, D und D Wenn die Seitenvektoren gegenüerliegender Seiten gleic sind, dnn ist ds Viereck ein Prllelogrmm; wenn die Seitenvektoren eines Pres gegenüerliegender Seiten liner ängig sind, dnn ist ds Viereck ein Trpez ) Wenn ds Viereck ein Prllelogrmm ist: i) erecne die Längen zweier encrter Seiten, eispielsweise der Seiten und D Wenn diese Seiten gleic lng sind, dnn ist ds Prllelogrmm eine Rute ii) Prüfe (mitilfe des Sklprodukts), o zwei encrte Seiten, eispielsweise und D, ortogonl zueinnder sind Flls j, dnn ist ds Prllelogrmm ein Recteck iii) Wenn zwei encrte Seiten gleic lng und ortogonl zueinnder sind, dnn ist ds Prllelogrmm ein Qudrt ) Wenn ds Viereck ein Trpez, er kein Prllelogrmm ist: erecne die Länge der Scenkel Drus folgt, o ds Trpez gleicscenklig ist c) Wenn ds Viereck kein Trpez ist: erecne lle Seitenlängen Drus folgt, o ds Viereck ein Drcen ist ufge: Gegeen ist ein Vektor n o estimme zwei liner unängige Vektoren u und v, die ortogonl zu n sind Lösung: Erster Sonderfll: Zwei Koordinten von n sind Null 0 0 eispiel: Zu n = 0 sind z die Vektoren u = und v = 0 ortogonl 0 0 Zweiter Sonderfll: Genu eine Koordinte von n ist Null 0 eispiel: Zu n = sind z die Vektoren u = 0 und v = ortogonl 0 0 zus_vektoren 7/4

8 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 llgemeiner Fll: Keine Koordinte von n ist Null 4 eispiel: Zu n = sind z die Vektoren u = und v = 0 ortogonl 4 0 Merke: Vertusce zwei Koordinten und ändere ei einer dvon ds Vorzeicen Setze die dritte Koordinte Null Vektorprodukt Definition: Ds Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren Vektor = = und = ist der Ds Vektorprodukt ist nur für dreidimensionle Vektoren definiert Stz (eweis durc Ncrecnen): Ds Vektorprodukt zweier liner unängiger Vektoren ist ortogonl zu den eiden Vektoren Durc Ncrecnen ergit sic, dss ds Vektorprodukt zweier liner ängiger Vektoren der Nullvektor ist Weiter unten wird egründet, wrum ds Vektorprodukt zweier liner unängiger Vektoren nict der Nullvektor ist Stndrdufge: Gegeen sind zwei liner unängige Vektoren u und v estimme einen Vektor n, der ortogonl zu u und zu v ist Lösung: n = u v Ergänzungen: Im Sonderfll, dss ei u und v diesele Koordinte Null ist, knn mn einen Vektor n im u v Kopf estimmen Ist eispielsweise u = u und v = v, dnn knn mn den Vektor n = 0 nemen Mn knn einen Vektor n uc mitilfe eines LGS estimmen, ws er mer Recenufwnd ist zus_vektoren 8/4

9 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Feststellung (eweis durc Ncrecnen): Für zwei Vektoren und gilt = Drus folgt für die eträge: = ( ) Stz (one eweis): Ds von den Vektoren und ufgespnnte Prllelogrmm t den Fläceninlt = Wenn die Vektoren und liner unängig sind, dnn ist der Fläceninlt des Prllelogrmms nict Null lso ist ds Vektorprodukt zweier liner unängiger Vektoren nict der Nullvektor Merke: Ds Vektorprodukt ist ortogonl zu den eiden Vektoren Der etrg des Vektorprodukts ist der Fläceninlt des von den eiden Vektoren ufgespnnten Prllelogrmms = lso t ein Prllelogrmm D den Fläceninlt = D D Folgerung: Ds von den Vektoren und ufgespnnte Dreieck t den Fläceninlt = lso t ein Dreieck den Fläceninlt = erecnung des Fläceninlts eines Dreiecks: elieiges Dreieck: erste Möglickeit: mit dem Vektorprodukt zweite Möglickeit: mit Grundseite und Höe: Ein Dreieck mit der Grundseite g und der zugeörigen Höe t den Fläceninlt = g g ctung: Die Höe eines elieigen Dreiecks können wir noc nict estimmen! zus_vektoren 9/4

10 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Sonderfälle: ) Ein rectwinkliges Dreieck mit den Kteten und t den Fläceninlt = ) Die Höe eines gleicscenkligen Dreiecks ist die Entfernung des Mittelpunkts der Grundseite zur gegenüerliegenden Ecke = M Mn knn die Höe uc erecnen, indem mn den Stz des Pytgors uf ein Teildreieck nwendet c) Für Experten: Ein gleicseitiges Dreieck mit der Seitenlänge t den Fläceninlt = 4 Herleitung: siee Für Experten M Hinweis: Wenn mn von einem Dreieck weiß, dss es rectwinklig zw gleicscenklig ist, dnn erecnet mn den Fläceninlt m einfcsten mit = zw mit = g Wenn mn von einem Dreieck nicts weiß, dnn erecnet mn den Fläceninlt m einfcsten mit dem Vektorprodukt Jedes Viereck lässt sic in zwei Teildreiecke zerlegen lso knn mn den Fläceninlt eines Vierecks erecnen, indem mn die Fläceninlte der eiden Teildreiecke ddiert: Stz: Ein eenes Viereck D t den Fläceninlt = + D D erecnung des Fläceninlts eines Vierecks: immer möglic: mit dem Vektorprodukt Sonderfälle: Ein Qudrt mit der Seitenlänge t den Fläceninlt = Ein Recteck mit den Seitenlängen und t den Fläceninlt = zus_vektoren 0/4

11 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Eine Rute zw ein Drcen mit den Digonlenlängen e und f t den Fläceninlt = e f e f e f weitere Sonderfälle: Ein Prllelogrmm mit einer Seitenlänge und der zugeörigen Höe t den Fläceninlt = Ein Trpez mit den prllelen Seiten und c und der Höe t den Fläceninlt = ( + c) c ctung: Die Höe eines elieigen Prllelogrmms und eines elieigen Trpezes können wir noc nict estimmen! Für Experten: Die Höe eines symmetriscen Trpezes ist die Entfernung der Mittelpunkte der Grundseiten: = M M Mn knn die Höe uc erecnen, indem mn den Stz des Pytgors uf ein Teildreieck nwendet c M c M c Hinweis: Wenn mn von einem Viereck weiß, dss es ein Qudrt zw ein Recteck zw eine Rute oder ein Drcen ist, dnn erecnet mn den Fläceninlt m einfcsten mit = zw mit = zw mit = e f Den Fläceninlt eines Prllelogrmms D erecnet mn m einfcsten mit = D, und den Fläceninlt eines elieigen Vierecks D erecnet mn m einfcsten mit = + D Volumenerecnungen: Ein Prism zw ein Zylinder mit der Grundfläce G und der Höe en ds Volumen V = G G G zus_vektoren /4

12 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Eine Pyrmide zw ein Kegel mit der Grundfläce G und der Höe en ds Volumen V = G G G ctung: Die Höe einer Pyrmide zw eines Kegels können wir vorläufig nur estimmen, wenn der Mittelpunkt der Grundfläce eknnt ist! Für Experten Recengesetze für Vektoren: ) Für lle Vektoren u und v gilt u+ v = v+ u (Kommuttivgesetz der ddition) ) Für lle Vektoren u, v und w gilt u + v + w = u + v + w (ssozitivgesetz der ddition) ( ) ( ) Für lle reellen Zlen r und s und für jeden Vektor u gilt r s u = r s u (ssozitivgesetz der Multipliktion) ( ) ( ) Für lle reellen Zlen r und s und für lle Vektoren u und v gilt r u+ v = r u+ r v r + s u = r u+ s u (Distriutivgesetze) ( ) Screiweise: Für u+ ( v) und ( ) screit mn u v eweis der Formel für den Scwerpunkt eines Dreiecks: Der Scwerpunkt S eines Dreiecks t den Ortsvektor M S OS = ( O + O + O) M M zus_vektoren /4

13 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 eweis: Setze vorus: Die Seitenlierenden eines Dreiecks scneiden sic im Scwerpunkt Er teilt die Seitenlierenden im Verältnis :, woei die längere Teilstrecke m Eckpunkt nliegt OS = O + S = O + M = O + ( OM O) = O + ( O O) O + = O + O + O O = O + O + O O = O + O + O = ( O + O + O) Eigenscften des etrgs: Für jeden Vektor ist 0, und es ist = 0 genu dnn, wenn = o ist Für jede reelle Zl r und jeden Vektor ist r = r Für lle Vektoren und gilt + + (Dreiecksungleicung) Recengesetze für ds Sklrprodukt: Für lle Vektoren, und c und lle reellen Zlen r gilt = (Kommuttivgesetz) ( + c) = + c und ( + ) c = c+ c (Distriutivgesetze) r = r = r ( ) ( ) ( ) v Für einen Vektor v = v ist ( ) v = v + v + v = v + v + v v v v und v = v v= v v = vv + vv + vv = v + v + v, lso v = v v v eweis des Stzes: Zwei Vektoren o und o sind genu dnn ortogonl zueinnder, wenn gilt: = 0 eweis: Nc dem Stz des Pytgors t ein Dreieck genu dnn ei einen recten Winkel, wenn gilt: + = c c zus_vektoren /4

14 LGÖ Ks M Sculjr 06/07 Drus folgt: Zwei Vektoren und sind genu dnn ortogonl zueinnder, wenn gilt: + = c + = c c = + = + = ( ) + = + 0 = 0 = c Herleitung der Formel für den Fläceninlt eines gleicseitigen Dreiecks: In einem gleicseitigen Dreieck der Seitenlänge gilt nc dem Stz des Pytgors für die Höe : + = = = = 4 4 = = = 4 4 lso t ein gleicseitiges Dreieck den Fläceninlt 4 = = = = Kriterium für die linere ängigkeit dreier Vektoren: Drei Vektoren, und c sind genu dnn liner ängig, wenn ir Sptprodukt Null ist, d wenn gilt: c = ( ) 0 egründung: Drei Vektoren, und c sind eknntlic genu dnn liner ängig, wenn zugeörige Pfeile mit demselen nfngspunkt in einer Eene liegen Ds ist genu dnn der Fll, wenn der von den Vektoren, und c ufgespnnte Spt ds Volumen Null t Dieser Spt t c ds Volumen ( ) zus_vektoren 4/4