Lösung 05 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16. y a 2 + r 2. A(r) =

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphsik Lösung Klassische Theoretische Phsik I WS / Prof. Dr. G. Schön Punkte Sebastian Zanker, Daniel Mendler Besprechung... Skalar- und Vektorfelder + = Punkte) a) Erstes Skalarfeld Ar) Für eine Höhenlinie mit Wert c finden wir Ar) = c = a + r a + r ) Zunächste betrachten wir c =. In diesem Fall ist = und beliebig. Die erste Höhenlinie ist also die -Achse. Sei nun c. ) + c = a + ) = c c a ) Da die linke Seite größer gleich Null ist, hat diese Gleichung nur Lösungen für β = c a. Die Höhenlinien mit c sind dementsprechend Kreise mit Radius β und Mittelpunkt, c ). Für das zweite Skalarfeld Br) finden wir Br) = e r Für c < sind dies Kreise um, ) mit Radius ln c. + = ln c ) b) Die Vekttorfelder werden durch Vektoren an ausgewählten Punkten dargestellt. Zur besseren Übersichtlichkeit skalieren wir die Vektoren jeweils mit einem Faktor s <. Für einen Plot mittels Computer wählen wir gleichverteilte Punkte. Als Alternative kann man auch Punkte auf Linien konstanten Betrages wählen. Bei allen drei Vektorfeldern sind dies Kreise mit Mittelpunkt, ). Feldlinien eines Vektorfelde V r) sind definiert als Linien, die an jedem Punkt r die Tangente V r) haben. Für eine mit t parametrisierte Linie ergibt sich damit die DGL drt) dt = V rt)). ) Die Lösungsschar dieser DGL ergeben die Feldlinien. Man kann dann z.b. alle Feldlinien zeichnen, die durch Punkte auf einer Linie bzw. Fläche in höheren Dimensionen) konstanten Betrages hindruchgehen. In Dimensionen kann man das Problem vereinfachen, da die Tangente die Steigung d d hat. Damit findet man d mit V i der i-ten Komponente von V. d = V r) V r) )

2 A,) B,) /a /a Abbildung : Höhenlinien Plot von Br). Erstes Vektorfeld Cr) Für Plot siehe. Die Feldlinien ergeben sich aus der DGL d d = = c ) mit c = const.. Die Feldlinien sind also Hperbeln. Zweites Vektorfeld Dr) Für Plot siehe. Die Feldlinien ergeben sich aus der DGL d d = + = c ) mit c = const.. Die Feldlinien sind also Kreise. Drittes Vektorfeld Er) Für Plot siehe. Die Feldlinien ergeben sich aus der DGL d d = = c 8) mit c = const.. Die Feldlinien sind also Geraden.

3 C,) D,) E,) Abbildung : Plots der Vektorfelder mit Feldlinien

4 . Harmonischer Oszillator = 8 Punkte) a) Ansatz einsetzen: t) = A + eiω t + A e iω t ẋ t) = iω A + eiω t iω A e iω t ẍ t) = ω t) = ẍ t) + ω t) = Anfangsbedingungen einsetzen: ) = = A + + A ẋ ) = v, = iω A + iω A = i v, ω = A A+ A ± = ω iv, ω b) Wir verwenden das Ergebnis der Aufgabe vorher: t) = A + eiω t + A + e+iω t ) = Re [ ω iv, ω = cosω t) + v, ω sinω t) = t) ] cosω t) + i sinω t)) Alternativ können wir das Ergebnis auch durch Einsetzen des rellen Ansatzes und Beachten der Anfangsbedingungen erhalten. Die Kosinusdarstellung erhalten wir durch Damit folgt ) = A cos φ = ẋ ) ) = v, = ω tan φ = φ = arctan v, ω = A = cos φ = ẋ ) = A ω sin φ = v, + v, ω ) = + v, ω Wegen der Phasenbeziehung von Kosinus und Sinus oder der entsprechenden Rechnung zu für ) folgt Alle Konstanten sind damit bestimmt A = A = φ = φ + π = arctan ω v, + v, ω ) φ = arctan v, ω, φ = arctan ω v, C =, B = v, ω )

5 c) Ansatz einsetzen: t) = A + eλ t + A e λ t ẏ t) = A + λ e λt A λ e λ t ÿ t) = λ t) = ÿ t) λ t) = Anfangsbedingungen einsetzen: ) = = A + + A ẏ ) = v, = λ A + λ A = v, λ = A + A A ± = λ ± v, λ d) Wir verwenden die Lösung von vorher und ersetzen die Eponentialfunktionen durch cosh- und sinh-linearkombinationen. t) = A + eλ t + A e λ t = A + coshλ t) + sinhλ t)) + A coshλ t) sinhλ t)) = A + + A ) coshλ t) + A + A ) sinhλ t) = coshλ t) + v, λ sinhλ t) Wir sehen, dass das Ergebnis eine völlig analoge Form hat zu t) der Aufgabe b), wobei C = und B = v, /λ. Anmerkung: Entsprechend kann man die Lösung auch auf die Form A coshλ t + φ) bringen, wobei φ = artanh v, λ. Auf dem dritten Blatt hatten wir den Zusammenhang zwischen den trigonometrischen und den Hperbelfunktionen hergestellt, wobei sich gezeigt hat, dass die Hperbelfunktionen cosh und sinh dem cos bzw. sin entsprechen, wenn man das Argument ins Imaginäre dreht D.h. eine Drehung um π/). Dies sieht man hier ebenfalls wieder. e) Aus dem Kraftfeld und der Newton schen Gleichung erhalten wir ) ẍ ) α F r) = m r = m β ÿ Diese Gleichungen sind entkoppelt unabhängig), d.h. wir erhalten ẍ α m = ÿ β m = Diese Gleichungen entsprechen genau den Gleichungen vorher, wobei wir den harmonischen Oszillator für α, β < und den invertierten harmonischen Oszillator für α, β > erhalten. Wir betrachten beispielhaft nur den Fall α < und β >, die weiteren Fälle setzen sich entsprechend zusammen. Mit den Anfangsbedingungen ) =, ) =, ẋ) = v, und ẏ) = v, erhalten wir rt) = ) t) = t) cosω t) + v, ω sinω t) coshλ t) + v, λ sinhλ t) )

6 mit den,,frequenzen ω = α β m λ = m Bonusfrage: Die Fläche hat für α < die Form einer nach oben geöffneten Parabel und für α < die Form einer nach unten geöffneten Parabel. D.h. für α, β < erhält man einen nach oben geöffneten Paraboloid, für α < und β > einen Art,,Sattel. Dieses Thema wird später noch in der Vorlesung behandelt Stichworte Energie, Potential und Gradient)!. Lineare Differentialgleichung + + = Punkte) a) Wir setzen den Ansatz e λ in die DGL ein. Dies liefert λ λ ) e λ =. 9) Da e λ folgt daraus die charakteristische Gleichung für die DGL λ λ =. ) Wir lösen die Gleichung zunächst für λ λ = ± ) = { ) Damit finden wir vier Lösungen für λ und die allgemeine Lösung für die DGL lautet mit a i C. λ, = ±, λ, = ±i ) ) = a e + a e + a e i + a e i ) b) Um die allgemeine reelle Lösung zu finden nutzen wir die Euler-Formel e ±i = cos ± i sin mit b i R. ) = b e + b e + a + a ) cos + ia a ) sin = b e + b e + b cos + b sin ) c) Zur Lösung des Anfangswertproblems AWP) setzen wir die gegebenen Anfangsbedingungen in die allgemeine reelle Lösung ein und lösen nach den noch unbestimmten Parametern b i auf. ) = b + b + b = a) ) = b b ) + b = b) ) = b + b ) b = c) ) = b b ) b = d) Wir lösen zunächst durch simples umformen. a) + c) b + b = a) b) + d) b b ) = b) a) c) b = c) b) d) b = d)

7 Aus dem letzten Set lesen wir direkt ab Die Lösung des AWP lautet damit b = b = b = b = ) = e ) e + sin = sinh + sin a) b) c) 8)