INGENIEURMATHEMATIK. 11. Differentialgeometrie. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 11. Differentialgeometrie Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016

2 G. Matthies Ingenieurmathematik 2/30 Wiederholung I Seien x, y R n Vektoren mit n reellen Komponenten. Betrag oder Länge des Vektors Skalarprodukt Winkel x = x x 2 n = x y = x 1 y x n y n = cos (x, y) = x y x y n i=1 x 2 i n x i y i i=1

3 G. Matthies Ingenieurmathematik 3/30 Wiederholung II Seien a, b R 3 zwei Vektoren mit 3 reellen Komponenten. Vektorprodukt a 2 b 3 a 3 b 2 e 1 a 1 b 1 a b = a 3 b 1 a 1 b 3 = det e 2 a 2 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 e 3 a 3 b 3 mit den kanonischen Einheitsvektoren e 1, e 2 und e 3 des R 3 Eigenschaften a, b, a b bilden ein Rechtssystem (a b) a, (a b) b a b = a b sin (a, b)

4 G. Matthies Ingenieurmathematik 4/30 Wiederholung III Ortsvektor x 1 r = x 2 x 3 Gerade g durch a mit Richtungsvektor b g : r = a + λb, λ R Ebene E durch a mit Normalenvektor n E : (r a) n = 0 Ebene E durch a, von den Richtungsvektoren b, c aufgespannt E : r = a + λb + µc, λ, µ R

5 G. Matthies Ingenieurmathematik 5/30 Kurve Definition Sei I ein reelles Intervall. Eine differenzierbare Funktion γ : I R n wird als Kurve im R n bezeichnet. Die Menge γ(i ) := {γ(t) : t I } R n wird Spur der Kurve x genannt. Das Intervall I heißt Parameterbereich, die Variable t wird als Kurvenparameter bezeichnet. Bemerkung Eine Kurve γ : I R n ist durch die n differenzierbaren skalaren Funktionen γ i : I R, i = 1,..., n, gegeben.

6 G. Matthies Ingenieurmathematik 6/30 Beispiel I Kurve γ : [0, 2π] R 2 mit ( ) cos(t) γ(t) = sin(t) Spur: Einheitskreis { (x 1, x 2 ) R 2 : x1 2 + x2 2 = 1 } t = 3 4 π 1 x 2 t = π x 1 1

7 G. Matthies Ingenieurmathematik 7/30 Beispiel II Schraubenlinie mit r > 0 und c R r cos(t) γ : R R 3, γ(t) = r sin(t) ct

8 G. Matthies Ingenieurmathematik 8/30 Spur und Kurve Bemerkung Die Spur einer Kurve kann verschieden parametrisiert werden. Die Kurven γ : [0, 2π] R 2, γ(t) = ( ) cos(t) sin(t) und ( ) ϕ : [ π, π] R 2 sin(2t), ϕ(t) = cos(2t) haben als Spur jeweils den Einheitskreis x1 2 + x 2 2 = 1. Die Kurve γ durchläuft die Kreislinie einmal, die Kurve ϕ zweimal.

9 Umparametrisierung Definition Seien γ : I R n und ϕ : J R n Kurven. Wir nennen ϕ Umparametrisierung von γ, wenn es eine bijektive differenzierbare Funktion (Parametertransformation) P : J I derart gibt, dass für alle u J die Bedingungen dp du (u) 0 und ϕ(u) = γ( P(u) ) erfüllt sind. Die Umparametrisierung heißt orientierungstreu bzw. orientierungsumkehrend, falls dp du (u) > 0 bzw. dp du (u) < 0 gilt. G. Matthies Ingenieurmathematik 9/30

10 G. Matthies Ingenieurmathematik 10/30 Beispiel I Kurve γ : [0, 2π] R 2 mit ( ( )) cos(t) 2 cos(t) 1 γ(t) = sin(t) ( 2 cos(t) 1 ) Parametertransformation P : [ π, π] [0, 2π], P(u) = π u Kurve ϕ = γ P : [ π, π] R 2 mit ( ( )) cos(π u) 2 cos(π u) 1 ϕ(u) = sin(π u) ( 2 cos(π u) 1 ) ( ( )) cos(u) 2 cos(u) + 1 = sin(u) ( 2 cos(u) + 1 )

11 G. Matthies Ingenieurmathematik 11/30 Beispiel II 2 y 2 y 2 x 2 x γ(t) = 2 t [0, 2π] ( ( ) cos(t) 2 cos(t) 1 sin(t) ( 2 cos(t) 1 ) 2 ), ϕ(u) = u [ π, π] ( ( ) cos(u) 2 cos(u) + 1 sin(u) ( 2 cos(u) + 1 ) Parametertransformation P : [ π, π] [0, 2π], P(u) = π u, ist orientierungsumkehrend, da dp (u) = 1 für alle u [ π, π] du )

12 G. Matthies Ingenieurmathematik 12/30 Tangentenvektor Bemerkung Bei der Behandlung von Kurven werden Ableitungen in der Regel durch Punkte über dem Funktionsnamen gekennzeichnet. Somit stehen γ(t) und γ(t) für die erste und zweite Ableitung von γ nach dem Parameter t. Definition Sei γ : I R n eine Kurve. Dann heißt der Vektor γ 1 (t) γ(t) :=. γ n (t) Tangentenvektor oder Geschwindigkeitsvektor der Kurve γ beim Parameter t.

13 G. Matthies Ingenieurmathematik 13/30 Tangente Definition Seien γ : I R n eine Kurve und t I mit γ(t) 0. Dann wird die Gerade durch γ(t) mit Richtungsvektor γ(t) als Tangente an die Kurve im Punkt γ(t) bezeichnet. Bemerkung Eine Parametrierung der Tangente ist durch r = γ(t) + λ γ(t), λ R, gegeben. Obwohl der Tangentenvektor von der gewählten Parametrisierung abhängt, ist die Tangente unabhängig von der Parametrisierung.

14 G. Matthies Ingenieurmathematik 14/30 Reguläre Kurve Definition Die Kurve γ : I R n heißt regulär, wenn für alle t I die Bedingung γ(t) 0 erfüllt ist. Bemerkung Regulären Kurven besitzen in jedem Kurvenpunkt eine Tangente. Beispiel Die Kurve ist nicht regulär. ( ) t 3 γ : [ 1, 1] t 2

15 G. Matthies Ingenieurmathematik 15/30 Länge von Kurven I Länge des Kantenzuges approximiert Länge der Kurve

16 G. Matthies Ingenieurmathematik 16/30 Länge von Kurven II Satz des Pythagoras l 2 i = ( x i ) 2 + ( y i ) 2 + ( z i ) 2 ( ( xi ) 2 ( ) 2 ( ) ) 2 = ( t i ) 2 yi zi + + t i t i t i Länge des Kantenzuges n n ( xi ) 2 ( ) 2 ( ) 2 yi zi L = l i = + + t i t i t i t i i=1 i=1 für immer feiner werdende Zerlegungen (max t i 0) x i t i ẋ(t i ), y i t i ẏ(t i ), Länge der Kurve b L = ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 + ż(t) 2 dt = a z i t i ż(t i ) b a γ(t) dt

17 G. Matthies Ingenieurmathematik 17/30 Bogenlänge Definition Sei γ : [a, b] R n eine Kurve. Dann ist für t [a, b] die Länge des Kurvenstückes über dem Parameterbereich [a, t] durch s(t) := gegeben. t a γ(u) du Bemerkung Für reguläre Kurven ( γ(t) 0 für alle t [a, b]) ist die Bogenlänge s eine orientierungstreue Umparametrisierung, da ds (t) = γ(t) > 0 dt für alle t [a, b] gilt.

18 G. Matthies Ingenieurmathematik 18/30 Natürliche Parametrisierung Satz Zu jeder Kurve γ : I R n gibt es eine orientierungstreue Umparametrisierung ϕ : J R n mit der Bogenlänge s als Parameter. Diese Parametrisierung wird als natürliche Parametrisierung der Kurve bezeichnet. Ableitungen der natürlichen Parametrisierung nach der Bogenlänge s werden meist mit Ableitungsstrichen gekennzeichnet. Bemerkung Unter Umständen kann keine geschlossene Formel für die natürliche Parametrisierung der Kurve angegeben werden.

19 G. Matthies Ingenieurmathematik 19/30 Tangenteneinheitsvektor Die Kurve γ : I R n sei mittels der Bogenlänge s parametrisiert. Satz Es gilt für alle s I. γ (s) = 1 und γ (s) γ (s) = 0 Definition Der Vektor T (s) := γ (s) heißt Tangenteneinheitsvektor der Kurve γ bei γ(s). Die Gerade r = γ(s) + λt (s), λ R, heißt Tangente der Kurve γ bei γ(s).

20 G. Matthies Ingenieurmathematik 20/30 Hauptnormalenvektor Die Kurve γ : I R n sei mittels der Bogenlänge s parametrisiert. Definition Der für alle s I mit γ (s) 0 definiert Einheitsvektor N(s) := γ (s) γ (s) heißt Hauptnormalenvektor der Kurve bei γ(s). Die Gerade r = γ(s) + λn(s), λ R, durch γ(s) mit Richtungsvektor N(s) heißt Hauptnormale der Kurve γ bei γ(s). Bemerkung Der Hauptnormalenvektor N(s) steht senkrecht auf dem Tangenteneinheitsvektor T (s).

21 G. Matthies Ingenieurmathematik 21/30 Krümmung Die Kurve γ : I R n sei mittels der Bogenlänge s parametrisiert. Definition Die Funktion κ : I R mit κ(s) = γ (s) heißt Krümmung der Kurve γ bei γ(s). Bemerkung Die Krümmung gibt an, wie sich der Tangenteneinheitsvektor beim Ablaufen der Kurve ändert. Damit ist die Krümmung ein Maß dafür, wie stark die Kurve von einer Geraden abweicht.

22 G. Matthies Ingenieurmathematik 22/30 Wendepunkt Satz Eine Kurve γ : I R n ist genau dann eine Gerade, wenn ihre Krümmung κ identisch verschwindet. Definition Ein Kurvenpunkt γ(s) mit κ(s) = 0 heißt Wendepunkt.

23 G. Matthies Ingenieurmathematik 23/30 Binormalenvektor Die Kurve γ : I R 3 sei mittels der Bogenlänge s parametrisiert. Definition Sei s I mit κ(s) 0. Dann heißt der Einheitsvektor B(s) = T (s) N(s) Binormalenvektor der Kurve γ bei γ(s). Die Gerade r = γ(s) + λb(s), λ R, durch γ(s) mit Richtungsvektor B(s) heißt Binormale der Kurve γ bei γ(s).

24 G. Matthies Ingenieurmathematik 24/30 Begleitendes Dreibein Definition Das orthogonale Vektortripel {T (s), N(s), B(s)} heißt begleitendes oder Frenetsches Dreibein der Kurve γ im Punkt γ(s). Schmiegebene: aufgespannt von T (s), N(s), Normale B(s) ( r γ(s) ) B(s) = 0, r = γ(s) + λt (s) + µn(s), λ, µ R Normalebene: aufgespannt von N(s), B(s), Normale T (s) ( r γ(s) ) T (s) = 0, r = γ(s) + λn(s) + µb(s), λ, µ R Streckebene: aufgespannt von T (s), B(s), Normale N(s) ( r γ(s) ) N(s) = 0, r = γ(s) + λt (s) + µb(s), λ, µ R

25 G. Matthies Ingenieurmathematik 25/30 Windung Die Kurve γ : I R 3 sei mittels der Bogenlänge s parametrisiert. Definition Sei γ (s) 0 für alle s I. Dann heißt die Funktion τ : I R, τ(s) = N(s) B (s) Torsion oder Windung der Kurve γ. Bemerkung Die Torsion gibt an, wie stark sich die Kurve aus der Schmiegebene herauswindet. Satz Eine Kurve γ : I R 3 mit γ(s) 0 für alle s I ist genau dann eine ebene Kurve, wenn die Torsion identisch verschwindet.

26 G. Matthies Ingenieurmathematik 26/30 Krümmung und Torsion bei beliebiger Parametrisierung Satz Sei γ : I R 3 eine Kurve, deren Krümmung für keinen Parameter t I verschwindet. Dann gilt T (t) = γ(t) γ(t), N(t) = T (t) T (t), B(t) = T (t) N(t), κ(t) = T (t) γ(t) γ(t) = γ(t) γ(t) ( 3 )... B(t) N(t) γ(t) γ(t) γ (t) τ(t) = = γ(t) γ(t) γ(t) 2

27 G. Matthies Ingenieurmathematik 27/30 Krümmungskreis Definition Seien γ : I R 3 eine Kurve und t I mit κ(t) 0. Dann heißt der Kreis mit Mittelpunkt γ(t) + 1 κ(t) N(t) und Radius 1 κ(t) der Krümmungskreis der Kurve γ im Punkt γ(t). Bemerkung Der Krümmungskreis liegt in der Schmiegebene. Die Orientierung des Krümmungskreises als Kurve kann so gewählt werden, dass das begleitende Dreibein des Krümmungskreises mit dem begleitenden Dreibein der Kurve übereinstimmt. Es liegt also eine Berührung zweiter Ordnung vor.

28 G. Matthies Ingenieurmathematik 28/30 Sektorformel Fläche, die vom Strahl Ursprung-Kurvenpunkt überstrichen wird x 2 γ(b) γ(a) x 1 Inhalt der Fläche F = 1 2 b a ( γ1 (t) γ 2 (t) γ 2 (t) γ 1 (t) ) dt

29 G. Matthies Ingenieurmathematik 29/30 Zykloiden y x gewöhnliche (gespitzte) Zykloide, verlängerte (verschlungene) Zykloide, verkürzte (gestreckte) Zykloide

30 G. Matthies Ingenieurmathematik 30/30 Epizykloiden 5 y x 5