Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie

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1 Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie Matthias Hagner 19. Mai 2003 Zusammenfassung Dieser Vortrag soll eine Einführen in die Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie geben. Dabei sollen zuerst die Unterschiede zur Speziellen Relativitätstheorie dargestellt werden, die auch eine Erweiterung der Theorie notwendig gemacht haben. Hauptsächlich beschäftigt sich der Vortrag dann mit den Grundbegriffen der Riemannschen Geometrie, die für die Allgemeine Relativitätstheorie benötigt wird. 1 Einführung Die Allgemeine Relativitätstheorie entstand als Weiterführung der Speziellen Relativitätstheorie. Hier soll zunächst erläutert werden wieso die Spezielle Relativitätstheorie überhaupt erweitert werden mußte. Der entscheidende Punkt in der Relativitätstheorie stellt das Kovarianzprinzip dar das die Unabhängigkeit der Naturgesetze von der Wahl des Koordinatensystems fordert. Die Naturgesetze sollten also vom Beschreiber unabhängig sein. Diese Unabhängigkeit wurde in der Speziellen Relativitätstheorie für alle mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegte Beobachter (Inertialsysteme) erfüllt. Die Allgemeine Relativitätstheorie erweitert das Prinzip nun auf beliebige Bewegungszustände. Ein weiter Grund für die Erweiterung der Speziellen Relativitätstheorie war die Tatsache, dass die Newtonsche Gravitationstheorie nicht dem speziellen Relativitätsprinzip entsprach. In ihr breiten sich Gravitationswirkungen mit unendlich großer Geschwindigkeit aus. Aus diesem Grund war eine neue und bessere Formulierung der Feldgleichungen des Gravitationsfeldes zu finden, die auch den Einfluß der Gravitation auf andere physikalische Vorgänge umfaßt. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Schwerkraft als Eigenschaft des Raumes aufgefaßt. Sie ist die Theorie des Gravitationsfeldes. Die Sprache der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Differentialgeometrie, mit der wir uns in diesem Vortrag beschäftigen werden. 2 Koordinatensysteme Aus der theoretischen Mechanik kennen wir bereits einige Arten von Koordinatensystemen wie z.b. kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten. Um diese Koordinatensysteme ideal zu kennzeichen, gibt man den Zusammenhang zwischen dem infinitesimalen Abstand ds zweier Punkte und der Differenz der Koordinaten an. Kartesische Koordinaten: Zylinderkoordinaten: Kugelkoordinaten: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (1) ds 2 = dϱ 2 + ϱ 2 dϕ 2 + dz 2 (2) ds 2 = dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 (3) Geht man nun über zu einem beliebigen Koordinatensystem, wird ds 2 wieder eine quadratische Funktion der Koordinatendifferentiale von der Form: ds 2 = g αβ (x ν )dx α dx β ; α, β, ν = 1, 2, 3. (4) Über doppelt auftretende Indizes wird hier und in allen folgenden Formeln summiert, und zwar von 1 bis 3 für einen Massenpunkt im dreidimensionalen Raum. Die Form (4) nennt man metrische Fundamentalform, wobei die Komponenten des metrischen Tensors g αβ auch ortsabhängig sein können. Der metrische Tensor ist symmetrisch: g αβ = g βα. Sein kommt daher, dass mit seiner Hilfe die für geometrische Messungen fundamentalen Größen wie Längen und Winkelel berechnet oder auch definiert werden können. Wir können mit Hilfe des metrischen Tensors also

2 Dann gilt: L ẋ ν = mg ανẋ α (10) L x ν = L, ν = m 2 g αβ,νẋ α ẋ β. (11) Aus den Lagrange-Gleichungen 2.Art wird damit g αν ẍ α + g αν,β ẋ α ẋ β 1 2 g αβ,νẋ α ẋ β = 0. (12) Abbildung 1: Längen- und Winkelmessung mit Hilfe des metrischen Tensors. (Entnommen aus [1]) nicht nur den Abstand ds zweier Punkte angeben (4) sonder auch den Winkel ψ zwischen zwei von einem Punkt ausgehenden infinitesimalen Vektoren d (1) x α und d (2) x α cos ψ = g αβ d (1) x α d (2) x β gϱσ d (1) x ϱ d (1) x σ g µν d (2) x µ d (2) x ν. (5) Die Formel (5) folgt aus der Vektorbeziehung a b = a b cos a, b beim Übergang zu infinitessimalen Vektoren. Wie (5) zeigt, stehen die Koordinatenlinien genau dann senkrecht aufeinander, wenn die Matrix des metrischen Tensors diagonal ist. Dies nennt man ein orthogonales Koordinatensystem. Ist die Determinante des metrischen Tensore g αβ von Null verschieden, so existiert eine inverse Matrix g βµ : g αβ g βµ = δ µ α = g µ α. (6) 3 Bewegungsgleichungen Eine Möglichkeit die Bewegungsgleichungen aufzustellen ist über die Lagrange-Funktion L, die für die kräftefreie Bewegung mit der kinetischen Energie des Massenpunktes übereinstimmt: L = m 2 v2 = m 2 g dx α dx β αβ dt dt Die Lagrange-Gleichungen 2.Art lauten: = m 2 g αβẋ α ẋ β. (7) d L dt ẋ ν L = 0. (8) xν Die Lagrange-Gleichungen 2.Art lassen sich leicht aufstellen. Wir verwenden im folgenden als Abkürzung für die partielle Ableitung nach den Koordinaten die symbolische Schreibweise x ν (...) = (...), ν. (9) Der zweite Term dieser Gleichung läßt sich schreiben als g αν,β ẋ α ẋ β = 1 2 (g αν,β + g βν,α )ẋ α ẋ β. (13) Multipliziert man (12) mit g νµ und summiert über µ, erhält man wegen (6) mit der Abkürzung ẍ µ + Γ µ αβẋα ẋ β = 0 (14) Γ µ αβ = 1 2 gµν (g αν,β + g βν,α g αβ,ν ). (15) Die Gleichungen (14) sind die Bewegungsgleichungen eines Massenpunktes. Bei der Abkürzung die durch (15) gegeben ist handelt es sich um die Christoffel-Symbole Γ µ αβ die in der Differentialgeometrie eine große Rolle spielen und auf die wir auch in den folgenden Vorträgen noch des öfteren stoßen werden. Wegen ihrer Symmetrie aus Gleichung (15) Γ µ αβ = Γµ βα (16) gibt es im dreidimensionalen Raum 18, für zweidimensionale Flächen 6 verschiedene Christoffel- Symbole. Die Vermutung, über die Christoffel-Symbole nun einen besonders einfachen Weg zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen gefunden zu haben, ist jedoch leider falsch. Man benutzt die Bewegungsgleichungen, um sich eben diese Christoffel-Symbole zu verschaffen. Der Sinn dieser im ersten Moment umständlich aussehenden Rechnung ergibt sich aus der vielseitigen Verwendung der Christoffel-Symbole. An einem Beispiel soll nun diese Methode veranschaulicht werden. In Kugelkoordinaten (x 1 = r, x 2 = ϑ, x 3 = ϕ) folgen aus der Lagrange-Funktion L = m 2 (ṙ2 + r 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 ) (17) die Lagrange-Gleichungen 2.Art r r ϑ 2 r sin 2 ϑ ϕ 2 = 0, (18) ϑ + 2 r ṙ ϑ sin ϑ cos ϑ ϕ 2 = 0, (19) ϕ + 2 r ṙ ϕ + 2 cot ϑ ϕ ϑ = 0. (20)

3 Ein Vergleich mit (14) zeigt (man beachte, dass wegen der Symmetriebezeichnung (16) gemischte Terme stets zweimal auftreten), dass nur die Christoffel- Symbole Γ 1 22 = r, (21) Γ 1 33 = r sin 2 ϑ, (22) Γ 2 33 = sin ϑ cos ϑ, (23) Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 r, (24) Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 r, (25) Γ 3 23 = Γ 3 32 = cot ϑ (26) von Null verschieden sind. 4 Die Geodätengleichung In einem dreidimensionalen Raum ist die Bahnkurve eines kräftefreien Punktes eine Gerade und gleichzeitig auch die kürzeste Verbindung zwischen zwei auf ihr liegenden Punkten. Verallgemeinert man dies und sucht nach der kürzesten Verbindung zweier Punkte in einem drei- oder zweidimensionalen Raum, sucht man nach derjenigen Kurve, deren Bogenlänge s bei vorgegebenem Anfangs- und Endpunkt ein Minimum hat: λ A PE s = ds = Extr. (27) P A Wir können zur Darstellung der Kurve einen freien Parameter λ einführen der für alle Vergleichskurven in den Punkten P E und P A jeweils den gleichen Wert hat. Setzen wir für ds nun die metrische Fundamentalform (4) ein, dann wird aus (27) die Forderung λe ds λe s = = dx g α αβ λ A dx β = Extr. (28) aus der wir die gesuchte kürzeste Verbindung, die Geodäte, in der Form x α (λ) zu bestimmen haben. Diese Variationsaufgabe hat die mathematische Form des Hamilton-Prinzips mit der Lagrange-Funktion Diese Differentialgleichung der Geodäten können wir vereinfachen, indem wir (nur für die Extremalkurve, nicht für die Vergleichsbahnen) den Parameter λ geeignet wählen. Wir könne Proportionalität zwischen λ und der Bogenlänge s fordern was wegen (28) und (29) zur Folge hat, dass F = const ist. Aus Gleichung (30) erhalten wir nun die Differentialgleichung der Geodäten d 2 x µ 2 + dx α dx β Γµ αβ = 0. (31) Die Differentialgleichung der Geodäten ist von der gleichen Form wie die Bewegungsgleichung und ist ihr auch vollständig äquivalent. Dies folgt daraus, dass bei einer kräftefreien Bewegung der Betrag der Geschwindigkeit v = ds/dt konstant sein muß und damit auch die Zeit t einer der in (31) erlaubten, zur Bogenlänge s proportionalen Parameter λ ist. Wählen wir die Bogenlänge s für den Parameter λ können wir unser Ergebnis folgendermaßen zusammenfassen: Ein kräftefreier Massenpunkt bewegt sich auf einer Geodäten d 2 x µ ds 2 + dx α dx β Γµ αβ ds ds = 0. (32) des dreidimensionalen Raumes oder der Fläche, an die er gebunden ist. Damit ist die Bahn der Geodäten immer die kürzeste Verbindund zweier auf ihr liegender Punkte. In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden wir die Bewegungsgleichungen eines Massenpunktes in einem beliebigen Gravitationsfeld aufstellen. Dabei ist diese abgeleitete Form der Bewegungsgleichung für kräftefreie Bewegung ein guter Ausgangspunkt. 5 Riemannscher Raum 5.1 Die Metrik In der Speziellen Relativitätstheorie haben wir als L = g αβ x α x β = geometrischen Hintergrund einen vierdimensionalen F, x α dxα (29) pseudoeuklidischen Raum mir drei raumartigen und einer zeitartigen Koordinate benutzt. Auch bei der und dem Parameter λ anstelle der Zeit t. Dementsprechend muß die Geodäte die zusammengehörige gemeinen Relativitätstheorie zu gelangen, werden wir Verallgemeinerung, die wir durchführen um zur All- Lagrange-Gleichung 2.Art erfüllen: von einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit ausgehen, d.h., wir werden annehmen, dass sich jeder d L L x ν x ν = d ( gαν x α ) 1 F 2 F g αβ,νx α x β Punkt (einschließlich einer kleinen endlichen Umgebung) durch die Angabe der vier Koordinaten x n ein- 1 = 2F F [ df g ανx α + 2F d (g ανx α ) deutig beschreiben läßt. Es muß dabei aber nicht die komplette Raumzeit durch ein Koordinatensystem F g αβ,ν x α x β ] beschrieben werden. Zur Beschreibung der Natur und = 0 (30) ihrer Gesetze müssen wir in dieser Mannigfaltigkeit

4 räumliche und zeitliche Abstände zwischen benachbarten Punkten messen können. Dies führt uns wieder zur metrischen Fundamentalform, diesmal jedoch im vierdimensionalen ds 2 = g nm (x i )dx n dx m. (33) Über doppelt vorkommende lateinische Indizes wird von 0 bis 3 summiert. Und für die Messung eines Winkels zwischen zwei Richtungen dx n und d x m finden wir cos(dx n, d x m ) = g nmdx n d x m. (34) ds2 d s 2 Der vierdimensionale Raum wird vom metrischen Tensor g nm lokal vollständig gekennzeichnet. Der metrische Tensor ist auch im vierdimensionalen symmetrisch und im allgemeinen ist auch seine Determinante g von Null verschieden. Was zur Folge hat, dass er eine Inverse g in besitzt: g mn = g nm (35) g nm = g 0 (36) g in g nm = δ i m = g i m. (37) Dieser Raum ist eine Verallgemeinerung zum vierdimensionalen flachen Minkowski-Raum, den wir aus der speziellen Relativitätstheorie kennen. Ist ds 2 positiv definit, d.h. ds 2 wird nur für dx i = 0 Null und ist sont positiv, dann nennt man diesen verallgemeinerten vierdimensonalen Raum einen Riemannschen Raum. Da wir wie auch in der speziellen Relativitätstheorie zwischen räumlichen und zeitlichen Abständen unterscheiden wollen, muss die physikalische Raum-Zeit allerdings eine andere Struktur haben. Unser physikalischer Raum ist ein pseudoriemannscher Raum, in dem ds 2 positiv (raumartig), negativ (zeitartig) oder Null (lichtartig) sein kann. Diese Metrik nennt man auch Lorentzsche Metrik. 5.2 Geodäten und Christoffel- Symbole Zur Bestimmung der kürzesten Verbindung zweier Punkte wählen wir als Anstatz wie schon in Abschnitt 4 das Variationsprinzip. Die Lagrange-Gleichungen 2.Art liefern uns dann für die Differentialgleichungen der Geodäten d 2 x m 2 + dx a dx b Γm ab = 0. (38) Geodäten sind durch die Vorgabe eines Anfangspunktes und der Anfangsrichtung oder der Anfangsund des Endpunktes (lokal) eindeutig bestimmt, da das Differentialgleichungssystem aus vier Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die vier Funktionen x m (λ) besteht. Sprechen wir später vom Abstand zweier Punkte, ist immer die Bogenlänge der sie verbindenden Geodäten gemeint. Auch hier sind die Christoffel-Symbole wieder analog zu Gleichung (15) definiert Γ m ab = 1 2 gmn (g an,b + g bn,a g ab,n ). (39) Wegen der Symmetrie des metrischen Tensors g nm = g mn sind auch die Christoffel-Symbole symmetrisch in den unteren Indizes: Γ m ab = Γ m ba. (40) 5.3 Koordinatentransformationen Für die Koordinatentransformation ist wichtig, dass durch sie die physikalische Struktur unserer Raum- Zeit-Mannigfaltigkeit nicht verändert wird, also unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems sein muss. Wir wollen nun untersuchen, wie sich der metrische Tensor und die Christoffel-Symbole unter dieser Voraussetzung bei einer Koordinatentransformaion verhalten. Zugelassen sind alle Koordinatentransformationen, die den alten Koordinaten x n neue Koordinaten x n in eindeutiger Weise zuordnen: x n = x n (x n ) ; x n x n 0. (41) Die neuen Koordinaten werden im Folgenden jeweils mit einem Strich am Index gekennzeichnet. Wir führen hier noch folgende Abkürzung ein: A n n xn x n. (42) Damit erhalten wir aus Gleichung (41) das Transformationsgesetz für Koordinatendifferentiale: dx n = A n n dx n. (43) Führt man zwei Transformationen nacheinander aus, dann gilt für die Differentiale x n = x n (x n ), (44) x n = x n (x n ), (45) dx n = A n n dx n, (46) dx n = A n n dxn, (47) und für die Gesamttransformation folgt dx n = A n n dx n, (48)

5 mit A n n = A n n An n. (49) Die Transformationsvorschrift für die Komponenten des metrischen Tensors erhalten wir aus der Forderung, dass sich Längen und Winkel bei einer Koordinatentransformation nicht änder dürfen, also ds 2 = const (Invariante): ds 2 = ds 2, (50) g n m dxn dx m = g nm dx n dx m = g nm A n n Am m dxn dx m.(51) Dies muss für beliebege Koordinatentransformationen in neue Koordinaten dx n gelten, woraus sich die Transformationsforschrift g n m = g nma n n Am m (52) für die Komponenten des metrischen Tensors ergeben. Um das Transformationsverhalten der Christoffel- Symbole zu erhalten benutzen wir die Geodätengleichung (38). Diese sollte auch in den neuen Koordinaten die Form (38) haben, da die Eigenschaft einer Kurve die kürzeste Verbindung zweier Punkte zu sein ja nicht von der Wahl der Koordinaten abhängen darf: d 2 x m 2 + Γ m dx a dx b a b = 0. (53) Setzen wir in die Geodätengleichung der neuen Koordinaten (53) die aus dem Transformationsgesetz für Koordinatendifferentiale (43) und folgende Gleichung dx m d 2 x m 2 = A m m = Am m d 2 x m 2 = A m m Γ m ab dx m + dx b Am m,b dx a dx m dx b + Am a,b dx b (54) dx a (55) ein und transformieren alles auf die gestrichenen Koordinaten, so erhalten wir schließlich Γ m a b = Am m A a a Ab b Γm ab A m a,ba a a Ab b. (56) An dieser Gleichung sieht man, dass die neuen Christoffel-Symbole keine homogenen linearen Funktionen der alten sind. Dadurch ist es möglich, dass die Christoffel-Symbole in einem Koordinatensystem nicht null sind, während sie in einem anderen Koordinatensystem identisch verschwinden. Zum Beispiel sind im dreidimensionalen Raum die Christoffel- Symbole in kartesischen Koordinaten identisch Null, während sie in Kugelkoordinaten nicht null sind. 5.4 Spezielle Koordinatensysteme Da die physikalischen Eigenschaft von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig sein muß, sind alle Koordinatensysteme gleichwertig und ihre Wahl ist eine reine Zweckmäßigkeitsfrage. Da das lösen von Problemen der Allgemeinen Relativitätstheorie oftmals mit großen mathematischen Schwierigkeiten verbunden ist, liegt oftmals der Schlüssel zum Erfolg in der richtig Wahl des Koordinatensystems. Hier sollen nun zwei spezielle Koordinatensysteme angesprochen werden. Orthogonale Koordinaten: Ein Koordinatensystem nennt man orthogonal, wenn die Matrix g ab nur Diagonalglieder besitzt ds 2 = g 11 (dx 1 ) 2 + g 22 (dx 2 ) 2 + g 33 (dx 3 ) 2 + g 44 (dx 4 ) 2. (57) Genau dann bilden die Koordinatenlinien einen rechten Winkel miteinander. Im dreidimensionalen euklidischen Raum benutzt man fast ausschließlich orthogonale Koordinaten, z.b. Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten. Im vierdimensionalen Riemannschen Raum sind im allgemeinen die Koordinatensysteme nicht orthogonal. Man wird aber zur Vereinfachung der Rechnung ein orthogonales Koordinatensystem wählen. Zeitorthogonale Koordinaten: zeitorthogonale Koordinaten liegen bei g 0α = 0, α = 1, 2, 3. Sie lassen sich immer einführen und besitzen die metrische Fundamentalform ds 2 = g 00 (dx 0 ) 2 + g αβ dx α dx β. (58) Hat ausserdem g 00 noch den Betrag 1, handelt es sich um Gaußsche Koordinaten (synchrone Koordinaten). Zeitorthogonale Koordinaten verwendet man bevorzugt bei statischer metrik, ähnlich wie man im dreidimensionalen Raum bei Kugelsymmetrie des Problems auch Kugelkoordinaten verwendet. 6 Tensoralgebra In der Speziellen Relativitätstheorie ist die Lorentz- Transformation x a = Λ a a x a (59) eine lineare Transformation der Koordinaten mit ortsunabhängigen Koeffizienten Λ a a. In der Allgemeinen Relativitätstheorie haben wir nun eine lineare Transformation der Koordinatendifferentiale dx a = xa x a dxa = A a a dx a (60) mit ortsabhängigen Koeffizienten A a a.

6 eines Vektors transformieren: T a b c d = T a bc d......a a a A b b Ac c Ad d... (66) Abbildung 2: Ko- und kontravariante Komponenten eines Tensors T. (Entnommen aus [1]) 6.1 Skalare, Vektoren und Tensoren Skalare (Invarianten). Ein Skalar ändert sich nicht bei einer Koordinatentransformation: ϕ = ϕ. (61) Der Zahlenwert in einem Punkt bleibt erhalten, auch wenn sich die Koordinaten des Punktes ändern. Beispiel: Abstand ds zweier Punkte. Vektoren. Die vier Größen T n sind genau dann die kontravarianten Komponenten eines Vektors, wenn sie sich wie die Koordinatendifferentiale transformieren: Nach der Vorschrift T n = T n A n n. (62) T a = g an T n (63) T n = g na T a (64) kann man den kontravarianten Komponenten T n (Index oben) die kovarianten Komponenten T a (Index unten) zuordnen. Für die kovarianten Komponenten ergibt sich die Transformationsvorschrift T a = A a a T a. (65) Ein Vektor lässt sich sowohl in ko- als auch in kontravarianten Komponenten ausdrücken. Sie stellen dann beide den gleichen Vektor auf eine unterschiedliche Art und Weise dar die typisch für schiefwinklige Koordinaten ist. In der Abbildung 4 sieht man der Unterschied zwischen ko- und kontravarianten Vektoren. Die kontravarianten Komponenten entspechen einer Parallelprojektion, die kovarianten dem Lot auf die Koordinatenachsen eines schiefwinkligen kartesischen Systems. Tensoren. Die Größen T a bc d sind die Komponenten eines Tensors, wenn sie sich bezüglich jedes oberen (kontravarianten) Index wie die kontravarianten und bezüglich jedes unteren (kovarianten) Index wie die kovarianten Komponenten Die Stufe eines Tensors ist gleich der Zahl seiner Indizes. Auch bei Tensoren können wir nach der gleichen Regel wie bei Vektoren ko- in kontravariante Indizes umwandeln: T abcd = g an g dm T n bc m (67) 6.2 Rechenregeln für Tensoren In der Tensoralgebra sind nur Operationen zugelassen, die aus Tensoren wieder Tensoren erzeugen. Wegen der ortsabhängigen Transformationsmatrizen darf man im allgemeinen nur Tensoren im gleichen Punkt miteinander verknüpfen. Die folgenden Rechenregeln sind nur gültig für Tensoren die im gleichen Punkt definiert sind. Addition. Zwei Tensoren gleicher Stufe und gleichen Indexbildes werden addiert, indem man ihre Komponenten addiert: T ab + S ab = R ab. (68) Es ist darauf zu achten, dass sowohl die gleiche Stufe als auch das gleiche Indexbild Voraussetzungen für die Addition sind. Multiplikation. Multipliziert man einen Tensor n-ter Stufe mit einem der Stufe m, so erhält man einen Tensor der Stufe n + m: S a b c T np q = N acnp bq. (69) Verjüngung. Durch die Summation über einen ko- und einen kontravarianten Index entsteht aus einem Tensor wieder ein Tensor, dessen Stufe aber um 2 verringert ist: T ab nm T ab am = S b m (70) Ein Beispiel für eine Verjüngung eines Tensors zweiter Stufe ist die Bildung der Spur: Sp T = T a a Überschieben. Das Überschieben ist eine Multiplikation zweier Tensoren mit anschließender Verfüngung über Indizes beider Faktoren: T na ps rp = N nar. (71) Eine wichtige Anwendung für diese Operation ist das Indexziehen (Indexheben oder -senken): T n = g na T a T nr pq = g pm g rs T n s m q. (72)

7 7 Kovariante Ableitung und Parallelverschiebung Abbildung 3: Tangentialebene an einer gekrümmten Fläche. (Entnommen aus [1]) Beim Indexziehen werden durch Überschieben mit dem metrischen Tensor ko- und kontravariante Komponenten ineinander umgewandelt. 6.3 Tetraden Als Tetraden bezeichnen wir ein System von 4 linear unabhängigen Vektoren h (r) a. Den Index (r) nennt man Tetradenindex, er nummeriert die Vektoren von 0 bis 3. Ein solches System aus vier linear unabhängigen Vektoren läßt sich in jedem Punkt des Raumes einführen. Soweit es die lineare Unabhängigkeit zulässt, dürfen diese Vektoren auch beliebige Winkel miteinander bilden und können beliebige Längen haben. Man kann damit jeden beliebigen Vektor als Linearkombination der vier Tetradenvektoren schreiben, und auch jeden Tensor mit ihrer Hilfe darstellen. Die Tetraden spannen also einen vierdimensionalen Raum auf. Der Unterschied zu den Koordinatenachsen besteht darin, dass die Tetradenvektoren nicht an den gekrümmten Raum gebunden sind. Das zweidimensionalen Beispiel (Abb.6.3) soll den Unterschied verdeutlichen. Die Tetraden bilden eine Basis des Tangentialraums und liegen somit nicht in der Mannigfaltigkeit, wärend die Koordinatenachsen in der gekrümmte Fläche liegen, also auch selber gekrümmt sind. Ein Vorteil ist die Möglichkeit die Tetradenvektoren mit den Basisvektoren eines kartesischen Koordinatensystems im lokalen Minkowski-System des betrachteten Punktes zu identifizieren. Die vier Tetradenvektoren bilden dann ein orthonormiertes System aus drei raumartigen und einem zeitartigen Vektor. Mit den Vorteilen, die ein lokal ebenes Minkowski- System bietet, werden wir uns im nächsten Vortrag intensiver beschäftigen. 7.1 Parielle und kovariante Ableitung Viele physikalischen Gesetze haben die Form von Differentialgleichungen. Um ausserdem die Unabhängigkeit vom Koordinatensystem zu gewährleisten, sollten sie ausserdem die Gestalt von Tensorgleichungen haben. Deshalb muss man einen Weg finden, Tensoren so zu differenzieren, dass das Ergebnis wieder ein Tensor ist. Parielle Ableitung. Die gewöhnliche patielle Ableitung eines ortsabhängigen Tensors bezeichnen wir durch ein Komma: T ab c x i = T ab c......,i. (73) Die Komponenten T ab c......,i sind aber nicht die Komponenten eines Tensors, wie wir am Beispiel der Ableitung eines Vektors zeigen wollen. Es gilt nämlich T n,i = ( xn x i x n T n ) = xi x i x i (An n T n ) = A i i An n T n,i + A i i n,it n (74) An d.h., die T n,i transformieren sich nur dann wie die Komponenten eines Tensors, wenn die Transformationsmatrizen A n n ortsunabhängig sind (dies ist z.b. bei den Lorentz-Transformationen des Minkowski- Raums erfüllt). Der Grund dafür, dass die partielle Ableitung eines Tensors keinen Tensor bilden, erkennt man, wenn man in der Ebene ein konstantes Vektorfeld in Polarkoordinaten darstellt (Abb.4). Die Vektorkomponenten dieses konstanten Vektorfeldes werden ortsabhängig, weil sich die Richtung der Koordinatenlinien von Punkt zu Punkt ändert; nur in kartesischen Koordinatensystemen ist die partielle Ableitung der Vektorkomponenten ein Maß für die wirkliche Ortsabhängigkeit des Vektors. Kovariante Ableitung. Um dieses Poroblem zu lösen definieren wir zunächst die kovariante Ableitung und werden dann zeigen, dass sie die Anforderung erfüllt, einen Tensor wieder in einen Tensor zu überführen. Die kovariante Ableitung der kontravarianten bzw. der kovarianten Komponenten eines Vektors sind nach der Vorschrift T a ;n = T a,n + Γ a nmt m, T a;n = T a,n Γ m ant m (75) zu berechnen. Die kontravariante Ableitung eines beliebigen Tensors ist zu bilden, indem man die Vorschrift (75) auf jeden kontra- bzw. kovarianten Index

8 Abbildung 5: Parallelität von Vektoren auf Flächen. (Entnommen aus [1]) len wollen. Die kovariante Ableitung kann man, wie auch die partielle, als Grenzwert eines Differenzenquotienten auffassen. Man bildet dabei jedoch nicht einfach die Differenz der Werte der Tensorkomponenten in den Punkten x i und x i + dx i : Abbildung 4: Komponenten eines konstanten Vektorfeldes in Polarkoordinaten. (Entnommen aus [1]) anwendet, z.b. T a bc;d = T a bc,d + Γ a dmt m bc Γ m bdt a mc Γ m cdt a bm. (76) Im lokal geodätischen System verschwinden alle Christoffel-Symbole, so dass dort kovariante und partielle Ableitung wieder übereinstimmen. Die Vorschrift (75) erzeugt auch wirklich einen Tensor, obwohl die beiden Anteile auf der rechten Seite jeder für sich keine Tensoren sind. Es gilt nämlich und wegen a T T a ;n = x n + Γ a n m m T = A a a A n n T a,n + A n n a,nt a Aa +A a a A n n Am m Γa nma m b T b A a n,ma n n Am m Am b T b = A a a A n n (T a,n + Γ a nmt m ) A a a,n = 2 x a x n x a = +A n n (Aa a,n A a n,a)t a, (77) 2 x a x a x n = Aa n,a (78) erhalten wir endgültig das behauptete Transformationsgesetz eines Tensors: T a ;n = Aa a A n n T a ;n. (79) Analog hätten wir (76) nachzuprüfen. 7.2 Kovariantes Differential und Parallelität im Kleinen Es gibt eine anschauliche geometrische Deutung der kovarianten Ableitung, die wir im folgenden darstel- dt a = T a (x i + dx i ) T a (x i ) = T a,idx i (80) (dies würde der partiellen Ableitung entsprechen), sondern benutzt DT a = dt a + Γ a nmt n dx m = (T a,m + Γ a nmt n )dx m. (81) Der Grund für diese komplizierte Vorschrift liegt darin, dass Tensoren in zwei verschiedenen Punkten x i und x i + dx i verschiedenes Transformationsverhalten haben, ihre Differenz also keinen Tensor gibt. Man muss deshalb vor der Differenzbildung den Tensor vom Punkt x i + dx i erst in geeigneter Weise (unter Beibehaltung der Tensoreigentschaft) in den Punkt x i transportieren, natürlich ohne ihn beim Transport zu verändern. Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum würden wir darunter verstehen, dass wir ihn parallel zu sich selbst verschieben. Im nichteuklidischen Raum sind allerdings die Begriffe Parallelität und Paralleltransport nicht selbstverständlich. Drei einfache Beispiele mögen dies erläutern (Abb.5). a) Sind zwei Vektoren in einem Ebenenstück auch noch nach Verbiegung der Ebene parallel? b) Sind die beiden Vektoren, die im dreidimensionalen Raum parallel sind, dies auch in der gekrümmten Fläche? (Offensichtlich nicht, denn Vektoren in der Fläche können nur 2 Komponenten haben, der Vektor (2) regt aber aus der Fläche heraus und hat drei Komponenten) c) Welcher der beiden Vektoren im Punkt Q der Kugel der Abb.5c ist dem im Punkt P parallel? Beide wurden anschaulich parallel transportiert, der eine auf dem Äquator stets senkrecht und der andere über den Pol stets parallel zur Verbindungskurve von P nach Q. In einem gekrümmten Raum muss man also definieren, was man unter Parallelität und Parallelverschiebung versteht. Die bei der Bildung der kovarianten Ableitung benutzte Definition lautet: Zwei Vekto-

9 ren in infinitesimal banachberten Punkten sind genau dann parallel, wenn DT a = dt a + Γ a nmt n dx m = 0 (82) gilt, also ihr kovariantes Differential verschwindet. Ein Vektorfeld ist in der Umgebung eines Punktes parallel, wenn dort seine kovariante Ableitung Null ist: T a ;n = T a,n + Γ a nmt m = 0. (83) Natürlich sind die Definitionen (82) und (83) gerade so eingerichtet, dass sie im lokalen geodätischen System auf die übliche Parallelverschiebung im Minkowski-Raum führt. 7.3 Parallelverschiebung längs einer Kurve In unserem Riemannschen Raum sei eine beliebige Kurve in der Parameterdarstellung x n = x n (λ) gegeben. Es ist dann stets möglich, aus der Forderung, dass das kovariante Differential eines Vektors längs dieser Kurve verschwindet, also aus DT a Dλ T a ;ndx n = dt a + Γa nmt m dxn = 0, (84) ein längs dieser Kurve paralleles Vektorfeld zu konstruieren. Man kann ja den Wert der Vektorkomponente T a in einem Anfangspunkt λ = λ beliebig vorgeben und aus dem Differentialgleichungssystem (84) den Vektor in einem beliebigen anderen Punkt λ der Kurve eindeutig bestimmen. Ein Beispiel einer solchen Gleichung, die den Paralleltransport eines Vektors zum Ausdruck bringt, ist offensichtlich die Geodätengleichung d 2 x a 2 + dx n dx m Γa nm = D dx a = 0. (85) Dλ Sie sagt aus, dass der Tangentenvektor t a = dx a / einer Geodäten parallel zu sich selbst bleibt. Die Geodäte ist also nicht nur die kürzeste, sondern auch die geradeste Verbindung zweier Punkte. Auch die Gerade im Euklidischen Raum hat diese beiden Eigenschaften. Literatur [1] Hans Stephani. Allgemeine Relativitätstheorie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988 [2] Ray d Inverno Einführung in die Relativitätstheorie, VCH Verlagsgemeinschaft, Weinheim 1995