Gleichungen (und Ungleichungen)

Transkript

1 Gleichungen (und Ungleichungen) Äquivalente Umformungen Bruchgleichungen Wurzel-, Logarithmen- und Exponentialgleichungen Betragsgleichungen Gleichungen mit Parametern 1

2 Allgemeines über Gleichungen Gleichungen setzen zwei Terme gleich. Unterschieden werden Identische Gleichungen, die für jede Belegung der vorkommenden Variablen gültig sind; Funktionsgleichungen, die jedem Wert einer (unabhängigen) Variablen einen Wert der anderen (abhängigen) Variablen zuordnen; Bestimmungsgleichungen, die nur für bestimmte Werte der vorkommenden Variablen erfüllt sind. 2

3 Lösen von Gleichungen Wann gibt es eine Lösung? Wieviele Lösungen gibt es? Wie können die Lösungen systematisch bestimmt werden? Strategie zur Lösung von Gleichungen 1. Definitionsmenge ermitteln 2. Gleichung lösen (Lösungen systematisch bestimmen) 1. (Äquivalent) umformen 2. Ggf. Scheinlösungen eleminieren 3

4 Äquivalente Umformungen Gleichungen können durch äquivalente Umformungen in andere Gleichungen überführt werden. Addition/ Subtraktion mit einer reellen Zahl Multiplikation/Division mit einer von Null verschiedenen reellen Zahl 3x + 7 =13!7 " 3x = 6 : 3 " x = 2 4

5 Arten von Gleichungen Algebraische Gleichungen: Ganzrationale Gleichungen Gebrochenrationale Gleichungen Wurzelgleichungen Transzendente Gleichungen: Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Goniometrische Gleichungen 5

6 Ganzrationale Gleichungen Darstellung in Normalform: x n + a n n! = x a x a! 0 Darstellung als Produkt von Linearfaktoren ( x! x )( x! x ) ( x x )( x x ) 0! n n!! =

7 Bruchgleichungen Zu beachten sind Einschränkungen der Definitionsmenge durch die Nennerterme Die Lösungsbestimmung unter Beachtung der Definitionsmenge gelingt mit äquivalenten Umformungen Achtung: Multiplikation mit Teiltermen nur zulässig, wenn deren Wert von Null verschieden ist Elimination von Scheinlösungen 7

8 Wurzel-, Logarithmen-, Exponentialgleichungen Zu beachten sind Einschränkungen der Definitionsmenge Zur Lösungsbestimmung sind i.a. Wurzel-, Logarithmen- Exponentialterme zu isolieren und durch die Anwendung der Umkehroperation aufzulösen Dies sind i.a. keine äquivalenten Umformungen Auftretende Scheinlösungen durch Probe bzw. Vergleich mit der Definitionsmenge eliminieren 8

9 Betragsgleichungen Betragsgleichungen erfordern eine bereits in der Definition des Betrags implizierte Fallunterscheidung Die zu unterscheidenden Fälle werden getrennt betrachtet; ihre Lösungen sind auf Stimmigkeit bzgl. der Grundannahme des jeweils betrachteten Falls zu prüfen Die Lösungsmenge ergibt sich aus der Zusammenfassung der Teillösungen 9

10 Gleichungen mit Parametern Lösungsmenge hängt vom Wert der in der Gleichung enthaltenen Parameter ab und stellt daher meist eine Menge aus Intervallen dar. e ax2!1 =1 10

11 Substitutionsmethode Manche Gleichungen und insbesondere Funktionsgleichungen lassen sich als Verkettung darstellen und können so zweistufig gelöst werden f(x) = h( g(x) ) = 0! h( y) = 0 mit y = g(x)! g(x) = y 0 für alle gef. y 0 11