Grundwissen Klasse 10

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1 Grundwissen Klsse 0 I. Funktionen. Potenzfunktionen und gnzrtionle Funktionen (Mthehelfer : S.56-57) - Grphen von Potenzfunktionen mit gnzzhligen Eponenten zeichnen - Grphen von gnzrtionlen Funktionen zeichnen - linere und qudrtische Funktionen (s. GW 8 und GW9 ) - Polynomdivision (Mthehelfer : S.9) - Vorzeichenbetrchtung bei diesen Funktionen Aufgbe : Berechnen Sie lle Lösungen der Gleichung in der Grundmenge G IR und zerlegen Sie den Term so weit wie möglich in Fktoren. Lösung zu : Lösungsschritte: ) T() b) Errten einer Lösung dieser Gleichung : hier ; d.h. T() 0 c) Dividieren des Terms T() durch (-) d) Der Term nch der Division ist qudrtisch evtl. weitere Lösungen mit der qudrtischen Lösungsformel e) Zerlegung des Ausgngsterms T() in möglichst viele Fktoren Durchführung: zu c) ( ) : ( ) + ( ) 5 ( ) + ( + ) zu d) Der qudrtische Term + 0 ht die Lösungen und. zu e) T() ( ) ( + ) Aufgbe : Ermitteln Sie die Nullstellen von f() ( D IR) und skizzieren Sie den ungefähren Verluf des Grphen im Bereich der Nullstellen! Lösung zu : Lösungsschritte ) - e) s. Lösung Lösungen : ; / 5 f() ( + )( 5) Vorzeichenuntersuchung: 5 f() + + bei ht G f einfche Nullstelle (VZW) bei / 5 ht G f doppelte Nullstelle (kein VZW) VZW: Vorzeichenwechsel

2 . Merkmle von Grphen deuten und teilweise rechnerisch nchweisen - Bedeutung von Nullstellen /rechnerischer Anstz (Mthehelfer : S.7) - Steigen bzw. Fllen eines Funktionsgrphen erkennen - Punktsymmetrie zum Ursprung bzw. Achsensymmetrie zur y-achse nchweisen - Schnittpunkte von Grphen ermitteln Aufgbe: Ermitteln Sie für den Funktionsterm f() die mimle Definitionsmenge. Untersuchen Sie G f uf Symmetrie und Nullstellen. Zeichnen Sie G f z.b. mit GeoGebr. Lösung: Nenner drf nicht 0 sein D IR\ {-;} ( ) f ( ) ( ) G f ist punktsymmetrisch zu O. Bruch 0, wenn der Zähler 0 N(0/0). Der Grenzwert von f, wenn ± - Grphische Deutung dieser Grenzwerte - Ermittlung dieser Grenzwerte für gnzrtionle und gebrochen-rtionle Funktionen f () Aufgbe : f( ) ; g() + Bestimmen Sie für die beiden Funktionen jeweils die Grenzwerte für ± Lösung zu : lim ( 5 + ) 5 ( + ) lim lim ( 5 + ) 5 ( + ) lim + lim 8 + lim g( ) (s.o.) lim ( ( 8 + ) )

3 Aufgbe : Zeichnen Sie den Grph einer Funktion f, für den gilt: - die Nullstellen sind bei und bei - lim f ( ) ; lim f() + - Lösung zu : z.b.. Formveränderungen bei Funktionsgrphen Durch lgebrische Umformungen lässt sich die Form des Grphen verändern (Mthehelfer : S.8) - Spiegeln n der -Achse g() - f(), Spiegeln n der y-achse h() f(-) - Verschieben in - Richtung um : k() f(+) - Verschieben in y-richtung um d : m() f() + d - Strecken von der -Achse us mit Fktor c: p() c f() - Strecken von der y-achse us mit Fktor c : q() f( c ) Aufgbe : Gegeben ist der Funktionsterm f(). Beschreiben Sie, wie der Grph der Funktion g() ( +) us dem Grphen von f hervorgeht. Betrchten Sie dbei die Formveränderungen z.b. mit GeoGebr. Lösung : f(). f () f(+) Verschieben des Grphen um in -Richtung. f () f () Strecken von der -Achse us mit dem Streckfktor.. f () f () Spiegeln n der -Achse. f () f () g() Verschieben um in y-richtung

4 5. Eponentilfunktion, Eponentilgleichung und Logrithmen (Mthehelfer : S.59, S. 0-; S. 6-7) - Unterschied zwischen linerem und eponentiellem Wchstum (Abnhme) (bei lineren Funktionen führt eine konstnte Änderung von immer zur gleichen f ( ) Änderung des Funktionswertes f() ; d.h. konstnte Steigung m ; bei Eponentilfunktionen führt eine konstnte Änderung von immer zur gleichen prozentulen Änderung des Funktionswertes) - Kenntnis der wesentlichen Eigenschften der Eponentilfunktion - Lösen von Eponentilgleichungen (mit Eponentenvergleich, ber uch mit Logrithmen) - Umformungen von Logrithmen und Logirhmusgleichungen Aufgbe : Lösen Sie rechnerisch die Gleichung :,5 + 0 oder :,5 + 0,5 8,5 7 8,5 6,5 log,5 ( ) 8,5 8 Aufgbe : Fssen Sie zu einem Logrithmus zusmmen: log + log Lösung : log + log log log + log log log Aufgbe : Ein Kpitl von 5000 Euro wird mit einem Zinsstz von 6% jährlich für 8 Jhre ngelegt und die jeweilig nfllenden Zinsen mitverzinst. Berechnen Sie den Gesmtzins. Lösung : Gesmtkpitel nch 8 Jhren 5 000, Gesmtzins : 86 II. Geometrie 6. Sinus und Kosinus m Einheitskreis (Mthehelfer : S.5-57) - Negtive Winkel, Winkel größer ls 60 - Bogenmß und Grdmß - Sinus und Kosinus m Einheitskreis Aufgbe : Bestimmen Sie m nebenn gezeichneten Einheitskreis sin 7 und cos 5!

5 Lösung zu : Aufgbe : Geben Sie α 57 im Bogenmß n! α 57 Lösung zu : 0, Sinus- und Kosinusfunktion (Mthehelfer : S.56) - Grphische Drstellung dieser Funktionen - Formveränderungen bei der Sinusfunktion Aufgbe : Zeichnen Sie den Grphen der Funktion f : sin Lösung:

6 8. Kreis und Kreisteile (Mthehelfer : S.8-9) Wir kennen die Formeln für den Flächeninhlt und den Umfng eines Kreises und können mit Hilfe des Mittelpunktwinkels den Flächeninhlt eines Kreissektors und die Bogenlänge des Sektors berechnen. Aufgbe: Gegeben ist nebenstehende Figur. Die Seitenlänge des Qudrtes ist. ) Welchen Rdius besitzt der große Kreis? b) Berechnen Sie den Inhlt der rechten Seitenfläche A ußerhlb des Qudrtes! (Ergebnis : A ( ) ) c) Ermitteln Sie den gesmten Flächeninhlt der schrffierten Figur. d) Wie viel Prozent der Kreisfläche sind schrffiert? Lösung : zu ) Pythgors : r r + A A zu b) gesmte Außenfläche A Kreis A Qudrt ( ) A ist ein Viertel dieser gesmten Außenfläche A ( ) ( ) r zu c) gesmte schrffierte Fläche A A + (A Qudrt A kleiner Kreis ) ( ) + + A zu d) schrffiert 50% A Kreis

7 9. Kugel (Mthehelfer : S. - 7) - Wiederholen Sie die wesentlichen Formeln für die uns beknnten Körper - Wir kennen die Formeln für den Oberflächeninhlt und ds Volumen einer Kugel. Aufgbe : Ein kugelförmiger Wssertnk ht den Ruminhlt,0 hl. Welchen Oberflächeninhlt besitzt dieser Tnk (Angbe in m )? 00 dm Lösung : V,0 hl 00 dm r r,9 dm O r 06 dm,06 m Aufgbe : Bestimmen Sie ds Volumen und den Oberflächeninhlt des entstehenden Rottionskörpers bei der Drehung der nebenstehenden Figur um die Achse y. Lösung : V Rot V Kege l + V Zylinder V Hlbkugel () 6 + () () O Rot M Kege l + M Zylinder + O Hlbkugel Mntellinie des Kegels m ( ) + (6) 5 Mntelfläche des Kegels M Kegel () 5 8,8 Mntelfläche des Zylinders M Zylinderl () () Oberfläche der Hlbkugel O () O Rot M Kege l + M Zylinder + O Hlbkugel 9,8 III. Stochstik - Wiederholen Sie die Begriffe Zufllseperimente, Bumdigrmme, Pfdregeln - Wir können Vierfeldertfeln erstellen und bedingte Whrscheinlichkeiten deuten - Wir unterscheiden deutlich die Whrscheinlichkeiten P(A B) (in der Vierfeldertfel oder m Ende des Pfdes) und P A (B). Aufgbe : In einer Sportgruppe fhren 70 % der Schüler Ski und 60 % der Schüler Snowbord. Ein Viertel der Schüler fährt weder Ski noch Snowbord. Schüler der Gruppe fhren Ski und Snowbord. ) Stellen Sie die Anteile mittels einer Vierfeldertfel dr. b) Ermittlen Sie, wie viele Schüler insgesmt in der Sportgruppe sind.

8 _ Lösung zu : Wir unterscheiden Ski-Fhren (S) bzw. Nicht-Ski-Fhren ( S ), _ Snowbord-Fhren (B) bzw. Nicht-Snowbord-Fhren ( B ) zu ) S B 55 % 5 % 60 % _ B _ S 5 % 5 % 0 % 70 % 0 % 00% zu b) Schüler mchen einen Anteil von 55 % us. Folglich sind in der Sportgruppe 0 Schüler. Aufgbe : In der Steiermrk (Österreich) ruchen 5 % ller Einwohner über 8 Jhren. 58 % der RucherInnen erreichen ds 70. Lebensjhr, bei den Nichtrucherinnen sind es 8 %. ) Erstellen Sie ein vollständiges Bumdigrmm: b) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss ein über 8-Jähriger ds 70.Lebensjhr erreicht? c) Eine Person ist über 70. Mit welcher Whrscheinlichkeit rucht sie? Lösung zu : Bezeichnungen R: Rucher 0,5 * R 70: Person wird 70 oder älter 0,58 * 0, 0,8 * ) * gegeben 0,75 b) P( Über 8-jähriger wird 70 oder älter ) 0,5 0,58 + 0,75 0,8 75,5 % P(70 R) 0,5 0,58 c) Vorussetzung: Person ist 70 Jhre oder älter. 70 (R) P 9,% P(70) 0,755 (d. h. der Anteil der RucherInnen nimmt strk b!!) _ R 0,9 70