Probestudium der Physik 2011/12

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1 Probestudium der Physik 2011/12 1 Schwingungen und Wellen: Einführung in die mathematischen Grundlagen 1.1 Die Sinus- und die Kosinusfunktion Die Sinusfunktion lässt sich genauso wie die Kosinusfunktion am Einheitskreis veranschaulichen. Der Sinus bzw. Kosinus des Winkels θ ist dann nichts anderes als die x bzw. y-koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis, wie in der obigen Abbildung dargestellt. Aus dieser Definition lassen sich direkt Funktionswerte der Sinusfunktion ablesen. Insbesondere ergibt sich: sin(θ + 2kπ) sin(θ) bzw. cos(θ + 2kπ) cos(θ). (1) Der gesamte Verlauf der Sinus- bzw Kosinusfunktion ist im rechten Teil der Abbildung dargestellt. Die Nullstellen des Sinus sind gegeben durch θ kπ mit k Z. Aus der Darstellung am Einheitskreis und dem Bild der beiden Funktionen ergibt sich ferner die Beziehung ( sin φ + π ) cos(φ) (2) 2 zwischen Sinus- und Kosinusfunktion. Für das weitere Vorgehen ist die Ableitung der trigonometrischen Funktionen von Bedeutung. Die Herleitung der Ableitung kann man mit Hilfe von Additionstheoremen und der Auswertung des Grenzwerts sinx lim x 0 x 1

2 durchführen (siehe Übungen). Hier wollen wir stattdessen die Reihenentwicklung der Sinus- und Kosinusfunktion betrachten: sin(x) cos(x) ( 1) n x 2n+1 ( 1) n x 2n (3) (4) Wenn wir nun die Reihensummen ableiten, ergibt sich: d sin(x) dx d cos(x) dx ( 1) n (2n + 1)x 2n ( 1) n (2n)x 2n 1 ( 1) n x 2n ( 1) n x 2n+1 cos(x) (5) sin(x). (6) Für die Herleitung der Ableitung der Kosinusfunktion haben wir im letzten Schritt eine Indexverschiebung durchgeführt. 1.2 Die Sinusfunktion als Lösung einer Differentialgleichung In diesem Abschnitt betrachten wir die Funktion f (t) sin(ωt). Für die erste und zweite Ableitung der Funktion nach t gilt: d f (t) dt ω cos(ωt) d 2 f (t) dt 2 ω 2 sin(ωt) ω 2 f (t) Die Funktion f (t) erfüllt offenbar die Differentialgleichung d 2 f (t) dt 2 ω 2 f (t). (7) Diese Differentialgleichung wird auch Schwingungsgleichung genannt. Die Schwingungsgleichung beschreibt beispielsweise die Bewegung eines Massenpunktes m, der einer linearen rücktreibenden Kraft kx ausgesetzt ist. In diesem Fall gilt k ω m. Die Lösung der Schwingungsgleichung lässt sich weiter verallgemeinern. Man kann leicht nachrechnen, dass auch f (t) Asin(ωt + φ) eine Lösung der Schwingungsgleichung ist. Die Konstanten A und φ werden durch die Anfangsbedingungen x(0) und dx dt t0 festgelegt. 2

3 1.3 Die trigonometrischen Funktionen in Abhängigkeit mehrerer Variablen Wir betrachten die Funktion f (x,t) sin(kx + ωt). Die Funktion hängt sowohl von der räumlichen Koordinate x als auch von der Zeit t ab. Wir nehmen nun an, dass eine vollständige Oszillation die Dauer T habe. Die Periodenlänge T wird durch die Kreisfrequenz ω bestimmt, da offensichtlich T ω 2π gelten muss. In ähnlicher Weise wird die Wellenlänge λ durch die Wellenzahl k bestimmt. Für λ und k gilt die Beziehung λ 2π k. Die Funktion f (x,t) hängt von den beiden Variablen x,t ab. Die sog. partiellen Ableitungen beschreiben die Änderung des Funktionswerts, wenn nur eine Variable geändert wird und die übrigen Variablen festgehalten werden. Für die partielle Ableitung von f (x,t) nach x gilt: x sin(kx + ωt) x sin(kx + ωt) k cos(kx + ωt). Analog erhalten wir für die partielle Ableitung von f (x,t) nach t: t sin(kx + ωt) t sin(kx + ωt) ω cos(kx + ωt). Bei der partiellen Ableitung behandeln wir also die zweite Variable wie einen Parameter. Dieses Prinzip wollen wir noch an dem Beispiel f (x,y) 12xy+3x 2 erläutern. Für diese Funktion gilt: x f (x,y) 12y + 6x und y f (x,y) 12x. 1.4 Die eindimensionale Wellengleichung Die Wellengleichung beschreibt die zeitliche und räumliche Entwicklung von Wellen. In einer Dimension hat sie die Form 2 x 2 u(x,t) 1 2 v 2 u(x,t). (8) t2 Die Anwendungen der Wellengleichung sind vielfältig. Die Funktion u(x,t) kann beispielsweise die Auslenkung einer schwingenden Saite oder Dichteschwankungen bei Schallwellen beschreiben. Die physikalischen Phänomene, die durch die Wellengleichung beschrieben werden, werden wir im Rahmen des Probestudiums noch eingehend diskutieren. In dieser Vorlesung wollen wir zunächst eine spezielle Lösung der Wellengleichung betrachten. Wir machen dazu den Ansatz: u(x,t) Asin(kx + ωt + φ). Dann gilt für die jeweiligen zweiten partiellen Ableitungen: 2 u(x,t) x 2 k 2 Asin(kx + ωt + φ) k 2 u(x,t) 2 u(x,t) t 2 ω 2 Asin(kx + ωt + φ) ω 2 u(x,t) 3

4 Wenn wir dieses Ergebnis in die Wellengleichung (8) einsetzen, erhalten wir k 2 u(x,t) ω2 v 2 u(x,t). Damit erfüllt unser Ansatz die Wellengleichung, falls die Beziehung k ω v erfüllt ist, wobei v die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle bezeichnet. Eine solche Beziehung zwischen Wellenzahl und Kreisfrequenz wird Dispersionsrelation genannt. In unserem Fall sind die beiden Größen einfach direkt proportional. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Bei der Ausbreitung von Licht in einem Medium gilt beispielsweise k n(ω) ω c 0 mit dem frequenzabhängigen und materialspezifischen Brechungsindex n(ω) 1 und der Ausbreitungsgeschwindigkeit c 0 von Licht im Vakuum. Zum Abschluss dieser mathematischen Einführung betrachten wir die allgemeine Lösung der eindimensionalen Wellengleichung u(x,t) f (x vt)+g(x+vt). Wir nehmen dabei an, dass die Funktionen zweimal stetig differenzierbar sind. Nach der Kettenregel gilt für die Funktion f (x vt): f (w) x f (w) w w x f (w) ; mit: w x vt w Wenn wir diese Ergebnisse für die partiellen Ableitungen in die Wellengleichung einsetzen, sehen wir, dass u(x,t) f (x vt) + g(x + vt) für beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktionen f (x vt) und g(x + vt) die eindimensionale Wellengleichung erfüllt. 4

5 1.5 Übungsaufgaben Aufgabe 1: Geben Sie die Zahl der Nullstellen für die Sinusfunktion f (x) sin(kx) mit k Z im Intervall [0,2π[ an. Aufgabe 2: Was ist der Grenzwert von sinx lim x 0 x Tipp: Benutzen Sie die Reihendarstellung der Sinusfunktion. Aufgabe 3: Lösen Sie die Schwingungsgleichung mit den Anfangsbedingungen? f (0) 0; d f (t) dt v 0 Aufgabe 4: Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen f (x,y) ; x 2 f (x,y) x y ; 2 f (x,y) y 2 ; der Funktion f (x) 2x 3 y 2 + y 3. Aufgabe 5: Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Maximum der Lösung der Wellengleichung u(x,t) Asin(kx ωt + φ)? 5