Modellieren in der Angewandten Geologie II. Sebastian Bauer
|
|
- Ulrich Arnold
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Modellieren in der Angewandten Geologie II Geohydromodellierung Institut für Geowissenschaften Christian-Albrechts-Universität zu Kiel CAU 3-1
2 Die Finite Elemente Method (FEM) ist eine sehr allgemeine Näherungsmethode. Sie wurde in den 1950 in der Mechanik eingeführt, hat sich seither jedoch mathematisch stark weiterentwickelt und ist auf eine Vielzahl von Problemen angewendet worden, wie z.b. Grundwasserströmung und Stofftransport. Die FEM ist eine Euler sche Methode. Die Grundidee und die grundlegenden Schritte dieser Methode sind: 1) das Modellgebiet in kleine Teilgebiete zu unterteilen (räumliche Diskretisierung durch Elemente) 2) die Ableitung einer integralen Form ( schwache Form ) der zu berechnende partiellen Differentialgleichung 3) die Näherung der gesuchten Lösung durch Testlösungen, die über den Teilelementen aufgelöst sind 4) das Berechnen der im Mittel besten Näherung für das gesamte Modellgebiet CAU 3-2
3 1) Räumliche Diskretisierung des Modellgebiets. Im Gegensatz zur Finite Differenzen Methode benötigt die FEM keine strukturierten Gitter. Die Elemente, in die das Modellgebiet zerlegt wird, können viele Formen und Dimensionen haben. 170 Linienelemente 160 Y 150 Dreieck Viereck X Tetraeder Hexaeder Prisma CAU 3-3
4 Einzige Anforderung an die Elemente ist, dass sie nicht überlappen dürfen und das gesamte Modellgebiet abdecken müssen (keine Lücken). Genau wie bei FD auch, wird nicht das Modellgebiet diskretisiert, sondern die prozess-beschreibende partielle Differentialgleichung. Innerhalb eines Modellgebiets können Elemente unterschiedlicher Art und auch Dimension kombiniert werden, so z.b. für die Berechnung von Kluft-Matrix-Systemen. CAU 3-4
5 Aus diesen Freiheiten bei der Wahl der Elemente resultiert einer der wesentlichen Vorteile der FEM gegenüber der FDM. Insbesondere die Genaue Abbildung von Geometrien und das lokale Verfeinern von Netzen (z.b. um Brunnen herum) bietet große Vorteile. Brunnengalerie Fluss Fluss CAU 3-5
6 2) Integrale Form Für die FEM wird die integrale Form der Erhaltungsgleichung benötigt. Dies ist insbesondere in den Fällen von Vorteil, wo Ableitungen aufgrund von Sprüngen in der Lösung nicht existieren (da kann man FD gar nicht anwenden). Die integrale Form (auch schwache Form ) wird durch die Methode der gewichteten Residuen abgeleitet. Dies ist die allgemeine Form und funktioniert in allen Fällen. Für gewisse Problemklassen können auch Variationsprinzipien herangezogen werden. Es wird dabei angenommen, dass die Lösung u einer partiellen Differentialgleichung L(u) = 0 als Näherung durch eine Testlösung (auch: Näherungslösung) û erhalten werden kann: Dabei sind φ i sog. lineare Basisfunktionen oder Interpolationsfunktionen, C i sind unbekannte Parameter und m ist die Anzahl der Gitterpunkte. CAU 3-6
7 Wenn diese Näherungslösung û in die partielle Differentialgleichung L(u)=0 eingesetzt wird, wird sie diese nicht vollständig erfüllen, d.h. L(û) 0: R nennt man das Residuum ( was übrig ist ). R ist ein Maß für die Genauigkeit der Lösung, d.h. je kleiner R, desto näher ist û bei der exakten Lösung u. CAU 3-7
8 Weil der Fehler nicht (immer) an allen Gitterpunkten gleichzeitig zum Verschwinden gebracht werden kann, müssen die Fehler an den Gitterpunkten aufaddiert und mit (irgend-)einer Gewichtung versehen werden. (Diese Gewichtung kann z.b. 1 für jeden Knoten sein). Dann kann man eine Lösung û finden, welche das Residuum R für das gesamte Modellgebiet minimiert. Unter Verwendung von Gewichtungsfunktionen ω i für das Residuum R:! wobei die Integration über das gesamte Modellgebiet Ω läuft. Die Aufgabe ist nun, die unbekannten Werte der Funktionen C i so zu bestimmen, dass das Residuum minimiert wird. CAU 3-8
9 Aus dieser Bedingung können Gleichungssysteme hergeleitet werden, welche die Bestimmung dieser Konstanten erlauben. Für stationäre partielle Differentialgleichung werden das algebraische Gleichungen sein, für instationäre PDG ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Die Methode der gewichteten Residuen ist sehr allgemein und beinhaltet weitere speziellere Methoden als Unterfälle, die auch noch von den Elementtypen abhängen. So kann z.b. für rechtwinklige Vierecke die Finite Differenzen- Methode abgeleitet werden. CAU 3-9
10 Unter Verwendung von ergibt sich die integrale Form der Transportgleichung zu: mit den Gewichtungsfunktionen ω und der Näherungslösung Ĉ. Durch Anwendung von partieller Integration auf Terme mit Ableitungen zweiter Ordnung sowie des Gauss schen Integralsatzes erhält man: CAU 3-10
11 3) Approximation der Lösung Die unbekannte Konzentrationsverteilung C (entspricht u) wird durch Testfunktionen (entspricht û) approximiert, die folgende Form haben: Dabei sind φ die Interpolationsfunktionen auf den einzelnen Elementen und m ist die Anzahl der Gitterpunkte im Modellgebiet. Für die Galerkin Finite Elemente Methode werden für die Test~ und die Gewichtungsfunktionen dieselben Funktionen verwendet (φ = ω). CAU 3-11
12 Sortiert man in dieser Gleichung alle Terme mit den unbekannten C i auf die linke Seite, so erhält man: mit: Massen-Matrix Advektion-Matrix Diffusion-Matrix (E ij = F ij = 0 hier) CAU 3-12 Rechte-Seite-Matrix
13 Die partielle Differentialgleichung ist somit in eine gewöhnliche Differentialgleichung umgewandelt worden. Man erkennt, dass die Elementmatrizen nicht mehr von der gesuchten Funktion C j abhängen. Dies gilt für lineare Differentialgleichungen. Diese hängen nur von der Elementgeometrie ab, die sich in den Basisfunktionen widerspiegelt. Zur Berechnung der einzelnen Beiträge (globale Matrizen) müssen die einzelnen Basisfunktionen der Elemente bekannt sein und berechnet werden. CAU 3-13
14 Die unterschiedlichen Integralterme entsprechen jeweils sog. globalen Matrizen. Da das Modellgebiet in einzelne Elemente aufgeteilt ist: Die globalen Matrizen können dann in ihre Beiträge von den einzelnen Elementen zerlegt werden, indem die lokalen Interpolationsfunktionen der Elemente verwendet werden. Diese müssen dabei so gewählt werden, dass sie Polynome innerhalb eines Elements sind und außerhalb dieses Elements den Wert 0 annehmen. Diese lokalen Elementmatrizen können dann in einem transformierten (isoparametrischen) Koordinatensystem ausgewertet werden. Diese stellen die Elementgeometrie dar sowie Kombinationen der Elementgeometrie mit Materialparametern (wie z.b. dem Diffusionskoeffizient). Die globalen Matrizen werden aus den berechneten lokalen Matrizen zusammengestellt. CAU 3-14
15 Damit erhält man einen Satz von algebraischen Gleichungen: Dabei sind C ij und B ij globale Elementmatrizen. Schreibt man: erhält man ein Gleichungssystem vom Typ Ax=b, welches anhand von Standardmethoden aus der numerischen Mathematik gelöst werden kann. (LU-Dekomposition, SOR, CG, ) CAU 3-15
16 Interpolation und Basisfunktionen Die grundlegende Idee der FEM ist, die gesuchte Funktion (=Lösung der PDG) im Modellgebiet als Linear-Kombination von bekannten Element-Basisfunktionen und den Werten der gesuchten Funktion an den Knoten (zeitlich variabel) zu beschreiben. Die Basisfunktionen (auch: Formfunktionen) sind jeweils einem Knoten zugeordnet, Summation ist über alle Knoten im Modellgebiet. Die Basisfunktionen unterliegen folgenden Bedingungen: CAU 3-16
17 Basisfunktionen für das 1D Linienelement Die Abbildung zeigt ein 1D Linienelement mit Basisfunktionen, der exakten Lösung u(x) und der Näherung f(x) CAU 3-17
18 Der einfachste Ansatz zur Näherung der unbekannten Funktion u(x) ist die lineare Interpolation zwischen den Elementenden (=Knoten, Punkte). Die Ansatzfunktion û = ω = φ ist dann: An den Knoten gilt daher: bzw. Diese Beziehung kann nach den Koeffizienten a i aufgelöst werden: Damit wird die Näherungslösung: CAU 3-18
19 Damit sind die lokalen, auf dem Element gültigen Formfunktionen gefunden worden: Bei zwei verbundenen Linienelementen (Achtung: Tausch N 1 N 2 ): Dazu auch Ableitungen: CAU 3-19
20 Die Berechnung der einzelnen Elementmatrizen kann standardisiert werden, indem nicht globale sondern lokale Koordinaten verwendet werden. Die Abbildung zeigt als Beispiel den Übergang von der x-koordinate zur lokalen r-koordinate. Unter der Annahme einer linearen Koordinatentransformation: und der Bedingung: d.h. der Bereich [x 1, x 2 ] wird auf [-1,1] abgebildet. CAU 3-20
21 Globale und lokale Zuweisungen: CAU 3-21
22 Analog zur Ableitung der Formfunktionen ergibt sich: D.H., die Koordinatentransformation kann durch Formfunktionen ausgedrückt werden: Die Koordinatentransformation erlaubt es, die Matrizen lokal in verallgemeinerten Koordinatensystemen auszuwerten. CAU 3-22
23 Als Beispiel die Massenmatrix aus der Transportgleichung: globale Massen-Matrix Mit: lokale Element-Formfunktionen ergeben sich die lokalen Masse-Matrizen zu: Transformation vom x-y-z in das lokale r-s-t System: CAU 3-23
24 Beispiel: FE für Dreieckselemente Lineare Dreieckselemente CAU 3-24
25 Beispiel: FE für Dreieckselemente Knotenflüsse: Beiträge des Elements e zu Knoten i Knotenflüsse: Beiträge der Elemente e1 bis e5 zu Knoten i CAU 3-25
26 Beispiel: FE für Dreieckselemente Flüsse an der Randbedingung Flüsse in der Fläche: Aufteilung der Neubildung gemäß den zu den Knoten gehörigen Teilflächen des Elements CAU 3-26
27 Beispiel: FE für Dreieckselemente Wasserbilanz am Knoten: Beiträge ohne Neubildung Wasserbilanz am Knoten: Beiträge mit NeubildungFlüsse in der Fläche CAU 3-27
28 Koordinatentransformation Beispiel: Kartesische ebene Polarkoordinaten CAU 3-28
Einführung FEM 1D - Beispiel
p. 1/28 Einführung FEM 1D - Beispiel /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/4_fem_intro/deckblatt.tex Seite 1 von 28 p. 2/28 Inhaltsverzeichnis 1D Beispiel - Finite Elemente Methode 1. 1D Aufbau Geometrie
MehrFEM isoparametrisches Konzept
FEM isoparametrisches Konzept /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/deckblatt.tex Seite von 25. p./25 Inhaltsverzeichnis. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente 2. Finite-Element-Typen
MehrFinite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers)
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt Übersicht: Partielle Differentialgleichungen, Approximation der Lösung, Finite Elemente, lineare und höhere Ansatzfunktionen, Dünn
MehrNumerik partieller Differentialgleichungen für Ingenieure
Numerik partieller Differentialgleichungen für Ingenieure Von ir. J. J.I.M. van Kan und ir. A. Segal Technische Universität Delft Aus dem Niederländischen übersetzt von Burkhard Lau, Technische Universität
MehrFinite Element Approximation auf der Basis geometrischer Zellen
Finite Element Approximation auf der Basis geometrischer Zellen Peter Milbradt, Axel Schwöppe Institut für Bauinformatik, Universität Hannover Die Methode der Finiten Elemente ist ein numerisches Verfahren
Mehr5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
MehrSimulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 4. Teil Finite-Volumen-Methode
Mehr4. Das Verfahren von Galerkin
4. Das Verfahren von Galerkin 4.1 Grundlagen 4.2 Methode der finiten Elemente 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-1 4.1 Grundlagen Das Verfahren
MehrEinführung FEM, 1D - Beispiel
Einführung FEM, D - Beispiel home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/deckblatt.tex. p./6 Inhaltsverzeichnis D Beispiel - Finite Elemente Methode. D Aufbau Geometrie 2. Bilanzgleichungen 3. Herleitung der Finiten
MehrFinite Differenzen Methode (FDM)
Finite Differenzen Methode (FDM) /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/deckblatt_fdm.tex Seite 1 von 15. p.1/15 Inhaltsverzeichnis 1. Problemdarstellung 2. Bilanzgleichungen 3. Finite Differenzen-Approximation
MehrEinführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB)
Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB) Prof. R. Leithner, Dipl. Phys. E. Zander Wintersemester 2010/2011 Kapitel 8 Partielle
MehrFinite Elemente Modellierung
Finite Elemente Modellierung Modellerstellung Diskretisierung des Kontinuums Methode der Finite Elemente Anwendungsbeispiele der FEM Zugstab: Kraftmethode Zugstab: Energiemethode Zugstab: Ansatzfunktion
MehrII. Elliptische Probleme
II. Elliptische Probleme II.1 Finite Differenzen: Grundidee II.2 Konvergenzaussagen II.3 Allgemeine Randbedingungen II.4 Gekrümmte Ränder Kapitel II (0) 1 Dirichlet Randwerte mit finiten Differenzen Einfachster
MehrAusgleichsproblem. Definition (1.0.3)
Ausgleichsproblem Definition (1.0.3) Gegeben sind n Wertepaare (x i, y i ), i = 1,..., n mit x i x j für i j. Gesucht ist eine stetige Funktion f, die die Wertepaare bestmöglich annähert, d.h. dass möglichst
MehrBerechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik Methode der gewichteten Residuen
Berechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik Methode der gewichteten Residuen Giuseppe Bonfigli IFD, ETH-Zürich 3. Juni 21 Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 1
MehrSpringers Mathematische Formeln
г Lennart Rade Bertil Westergren Springers Mathematische Formeln Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschaftswissenschaftler Übersetzt und bearbeitet von Peter Vachenauer Inhaltsverzeichnis
MehrKapitel 3 Finite Element Methode
Kapitel 3 Finite Element Methode. Grundlagen der Methode der Finiten Elemente (FEM) Dir erste Methode bei der Grundzüge der FEM zu finden sind, wurde vor mehr als 5 Jahre von Schellbach beschrieben um
MehrSpringers Mathematische Formeln
Lennart Rade Bertil Westergren Springers Mathematische Formeln Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler Übersetzt und bearbeitet von Peter Vachenauer Dritte,
MehrNumerische Simulation mit finiten Elementen. O. Rheinbach
Numerische Simulation mit finiten Elementen O. Rheinbach Numerische Simulation mit finiten Elementen INHALT 0.1 Finite Differenzen in 2D 1. Einleitung 1.1 Vorbemerkungen 1.2 Rand- und Anfangswertaufgaben
Mehr5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
MehrFinite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen
Finite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen Michael Pokojovy 8. Oktober 2007 Das Ritzsche Verfahren Sei R n ein beschränktes offenes Gebiet mit abschnittsweise glattem Rand S. Betrachte
MehrInstitut für Strömungsmechanik und Elektron. Rechnen im Bauwesen der Universität Hannover
! H W B - Bibliothek!nv.-Nr. p Institut für Strömungsmechanik und Elektron. Rechnen im Bauwesen der Universität Hannover BERICHT NR. 24/1987 Technische Universität Darmslacit Bibliothek Wasser und Umwelt
MehrD-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski. Serie 9
D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski Serie 9 Best Before: 24.5/25.5, in den Übungsgruppen (2 wochen) Koordinatoren: Alexander Dabrowski, HG G 52.1, alexander.dabrowski@sam.math.ethz.ch
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
MehrMathematik I+II. für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016
Mathematik I+II für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 I. Wiederholung Schulwissen 1.1. Zahlbereiche 1.2. Rechnen mit reellen Zahlen 1.2.1. Bruchrechnung 1.2.2. Betrag 1.2.3. Potenzen 1.2.4. Wurzeln
MehrNumerische Methoden I FEM/REM
Numerische Methoden I FEM/REM Dr.-Ing. Markus Kästner ZEU 353 Tel.: 035 463 32656 E-Mail: Markus.Kaestner@tu-dresden.de Dresden, 06.0.206 Zusammenfassung 8. Vorlesung. Schiefwinklige Scheibenelemente Numerischer
MehrDiscontinuous-Galerkin-Verfahren
Discontinuous-Galerkin-Verfahren Dr. Gregor Gassner Institut für Aerodynamik und Gasdynamik der Universität Stuttgart. Stuttgart, 2013 Variationsformulierung 1 Ziel dieser Vorlesung ist es, das DG Verfahren
MehrWS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE
2.5 ANFANGSRANDWERTPROBLEM DER ELASTOMECHANIK Charakterisierung Die Zusammenfassung der in den vorangehenden Folien entwickelten Grundgleichungen des dreidimensionalen Kontinuums bildet das Anfangsrandwertproblem
Mehr4 Gewöhnliche Differentialgleichungen
4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4.1 Einleitung Definition 4.1 Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten
Mehry hom (x) = C e p(x) dx
Gewöhnliche Differentialgleichungen F (x, y, y,..., y n ) = 0 Gleichung, die die Veränderliche x sowie die Funktion y = y(x) und ihre Ableitungen y,..., y n beinhaltet. Klassifiaktion: implizit F (...)
Mehr3 Das Programm 3. 4 Dateien 4. 5 Aufgaben 4. 6 Ausblick 5
Contents 1 Ziele dieser Uebung 1 2 Finite-Differenzen-Methode 1 3 Das Programm 3 4 Dateien 4 5 Aufgaben 4 6 Ausblick 5 1 Ziele dieser Uebung 1.1 Einleitung Wir erweitern das Problem aus der letzten Uebung
MehrPartielle Differenzialgleichungen FE-Methode. Finite Elemente. Fakultät Grundlagen. April 2011
Finite Elemente Fakultät Grundlagen April 2011 Fakultät Grundlagen Finite Elemente Übersicht 1 Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung 2 Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 2 Lösungsmethoden
MehrPolynominterpolation
Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses
MehrDie Finite-Elemente-Methode. Anwendungsbereiche Soft- und Hardwarevoraussetzungen Programmierbarkeit
Die Finite-Elemente-Methode Anwendungsbereiche Soft- und Hardwarevoraussetzungen Programmierbarkeit Inhalt Die Finite-Elemente-Methode Was ist das und wofür? Die Idee mit den Elementen Anwendung der FEM
Mehr3.6. Zweidimensionale Wellenleiter
3.6. Zweidimensionale Wellenleiter Zweidimensionale Wellenleiter sind nur in speziellen Fällen z.b. bei Zlindersmmetrie analtisch eakt lösbar. Für die in Halbleiterlasern verwendeten Wellenleiter eistieren
MehrGlättung durch iterative Verfahren
Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Glättung durch iterative Verfahren Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Numerische Methoden in der
Mehr4. Der Berechnungsprozess
Idealisierung Bauteil / Entwurf Preprocessor Mathematisches Modell Diskretisierung Finite-Elemente- Modell Solver Rechnung Ergebnisse Postprocessor Bewertung Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.4-1
MehrFinite Elemente. Klaus Knothe Heribert Wessels. Eine Einführung für Ingenieure. Springer-Verlag
Klaus Knothe Heribert Wessels Finite Elemente Eine Einführung für Ingenieure Mit 283 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest Inhaltsverzeichnis
MehrNumerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan :00-14:00 (120 min)
Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Montanuniversität Leoben 70 004 Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan. 207 2:00-4:00 (20 min) Name Matrikelnummer Mündliche Prüfung: Bitte markieren
Mehr5. Gitter, Gradienten, Interpolation Gitter. (Rezk-Salama, o.j.)
5. Gitter, Gradienten, Interpolation 5.1. Gitter (Rezk-Salama, o.j.) Gitterklassifikation: (Bartz 2005) (Rezk-Salama, o.j.) (Bartz 2005) (Rezk-Salama, o.j.) Allgemeine Gitterstrukturen: (Rezk-Salama, o.j.)
Mehr6 Gewöhnliche Differentialgleichungen
6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Gleichungen in denen nicht nur eine Funktion selbst sondern auch ihre Ableitungen vorkommen. Im einfachsten Fall gibt es eine unabhängige
MehrAlgorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen
Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Interpolation multivariater Daten Ulrich Rüde Lehrstuhl für Systemsimulation Sommersemester
MehrEine Welt aus Zahlen. Wie funktionieren Computersimulationen?
Eine Welt aus Zahlen. Wie funktionieren Computersimulationen? Steffen Börm Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Night of the Profs 2016 S. Börm (CAU Kiel) Computersimulationen 18. November 2016 1 /
Mehr5. Numerische Differentiation. und Integration
5. Numerische Differentiation und Integration 1 Numerische Differentiation Problemstellung: Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f : [a,b] R und x (a,b). Gesucht sind Näherungen für die Ableitungen
MehrLineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen
Kompaktkurs Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen M. Bebendorf, O. Steinbach O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs 24. 27.4.26 / 6 Numerische Simulation stationäre und instationäre
MehrSimulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 6. Teil Die Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes
MehrModellierung und Simulation von Mischvorgängen in einem Rührer - Bachelorarbeit -
Modellierung und Simulation von Mischvorgängen in einem Rührer - Bachelorarbeit - Dies Mathematicus 211 25. November 211 Gliederung 1 Motivation: Mischvorgänge in einem Rührer 2 Mathematische Modellierung
Mehr18.2 Implizit definierte Funktionen
18.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen g(x) = 0 mit g : D R m, D R n, d.h. betrachte m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n, d.h. wir
MehrA2.3 Lineare Gleichungssysteme
A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen
MehrParareal. Ein paralleler Lösungsalgorithmus für gewöhnliche Differentialgleichungen. Johannes Reinhardt. Parareal 1 Johannes Reinhardt
Ein paralleler Lösungsalgorithmus für gewöhnliche Differentialgleichungen Johannes Reinhardt 1 Johannes Reinhardt Übersicht Grundlagen Gewöhnliche Differentialgleichungen Numerische Methoden Der Algorithmus
Mehr7 Differential- und Integralrechung für Funktionen
Differential- und Integralrechung für Funktionen mehrer Veränderlicher 7 7 Differential- und Integralrechung für Funktionen mehrer Veränderlicher Die Differential- und Integralrechung für Funktionen mehrer
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Sei f : R R gegeben durch f(x 1, x ) = x 3
Mehr- 1 - angeführt. Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes x nach der Zeit, und das Gesetz lässt sich damit als 2.
- 1 - Gewöhnliche Differentialgleichungen Teil I: Überblick Ein großer Teil der Grundgesetze der Phsik ist in Form von Gleichungen formuliert, in denen Ableitungen phsikalischer Größen vorkommen. Als Beispiel
Mehr38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme 38.1 Motivation Viele praktische Probleme führen auf sehr große lineare Gleichungssysteme, bei denen die Systemmatrix dünn besetzt ist, d. h. nur wenige
MehrLösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 2016
Institut für Analysis Prof Dr Michael Plum Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 0 0090 Aufgabe Punkte: Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = 0 und b
Mehrein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
MehrGrundlagen Kondition Demo. Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
MehrDifferentialgleichungen sind überall!
Differentialgleichungen sind überall! Helmut Abels Fakultät für Mathematik Universität Regensburg Folien und Co.: http://www.uni-r.de/fakultaeten/nat Fak I/abels/Aktuelles.html Tag der Mathematik am Albrecht-Altdorfer-Gymnasium
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung
MehrLineare Iterationsverfahren: Definitionen
Lineare Iterationsverfahren: Definitionen 1. Ein Lösungsverfahren zur Berechnung von Ax = b heißt iterativ, falls ausgehend von einem Startwert x eine Folge x k von Iterierten bestimmt wird. 2. Ein Iterationsverfahren
Mehr1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung 1.1 Grundlagen 1.2 Euler-Vorwärts-Verfahren 1.3 Runge-Kutta-Verfahren 1.4 Stabilität 1.5 Euler-Rückwärts-Verfahren 1.6 Differentialgleichungssysteme Prof. Dr. Wandinger
MehrKlausurlösung Einführung in Numerische Methoden und FEM Universität Siegen, Department Maschinenbau,
Universität Siegen, Department Maschinenbau, 7.7. Aufgabe y 3 l 3 3 F l l x Das dargestellte Fachwerk soll statisch mit Hilfe der FEM untersucht werden. Die Knoten und Elemente sind in der Abbildung nummeriert.
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 213 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra Kapitel 7.5: Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik
MehrModellreduktion für Grundwasserströmungen
Eine Anwendung der Reduzierte-Basis-Methode für Finite Volumen Verfahren Institut für Numerische und Angewandte Mathematik Universität Münster 7. Februar 29 Gliederung Grundwasserströmungen Grundwasserströmungen
MehrNumerische Mathematik I: Grundlagen
Numerische Mathematik I: Grundlagen 09.10.2017 Inhalt der Lehrveranstaltung Inhaltlich sollen Sie in der Lehrveranstaltung Numerische Mathematik I insbesondere vertraut gemacht werden mit der Numerik linearer
MehrKurze Einführung in die Finite-Elemente-Methode
Kurze Einführung in die Finite-Elemente-Methode Stefan Girke Wissenschaftliches Rechnen 23 Die Finite-Elemente-Methode In diesem Skript soll eine kurze Einführung in die Finite-Elemente-Methode gegeben
MehrStochastische FEM mit elementaren Zufallselementen
Stochastische FEM mit elementaren Zufallselementen Hans-Jörg Starkloff Westsächsische Hochschule Zwickau 13. Südostdeutsches Kolloquium zur Numerischen Mathematik 2007 Freiberg, 27. April 2007 Einführung
MehrMathematisches Proseminar - Rotationssymmetrisches Wirbelstromproblem
Mathematisches Proseminar - Rotationssymmetrisches Wirbelstromproblem Daniel Leumann 9. Oktober 3 Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung 3 Methoden 4. Schwache Lösung... 4. DasGalerkin-Verfahren... 4.3 FiniteElementeMethode...
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrAusblick. 1. Lineare dynamische Analysen 2. Nichtlineare Analysen 3. Weitere Anwendungen. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-1
Ausblick 1. Lineare dynamische Analysen 2. Nichtlineare Analysen 3. Weitere Anwendungen Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-1 1. Lineare dynamische Analysen Beschleunigungen: Bei linearen dynamischen
MehrSimulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 6. Teil Die Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes
MehrAufgabe 3: Lösung der Poissongleichung
Universität Hamburg Übungsblatt 3 zum Praktikum Fachbereich Informatik Paralleles Programmieren für Wissenschaftliches Rechnen Geowissenschaftler im SS 2014 Prof. T. Ludwig, H. Lenhart, N. Hübbe Abgabe:
MehrTeil XIII. Simulation mit PDEs: Wärmeleitungsgleichung
Teil XIII Simulation mit PDEs: Wärmeleitungsgleichung IN8008, Wintersemester 2011/2012 284 ODE vs. PDE Differentialgleichungen bei der Molekulardynamik: nur eine unabhängige Variable: Zeit gewöhnliche
MehrKLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.
MATHEMATISCHES INSTITUT PROF. DR. ACHIM SCHÄDLE 9.8.7 KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen Aufgabe : ( Punkte) [ wahr falsch ]. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s. [ ]. Der Clenshaw
MehrInhaltsverzeichnis. 2 Anwendungsfelder und Software Problemklassen Kommerzielle Software 12
Bernd Klein FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 8., verbesserte und erweiterte Auflage Mit 230 Abbildungen, 12 Fallstudien und 20 Übungsaufgaben STUDIUM
MehrKapitel 1 Einführung. 1.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente
1 Kapitel 1 Einführung 1.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente Die Methode der finiten Elemente (FEM) ist eines der praktisch wichtigsten Näherungsverfahren zur Lösung von Variationsproblemen,
MehrFinite Elemente. bzw. F + E K = 1. (1)
Dr. S.-J. Kimmerle Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Wintertrimester 25 Finite Elemente Übung 2 Aufgabe 6 (Eulerscher Polyedersatz für Triangulierung)
MehrMathematik für Bauingenieure
Mathematik für Bauingenieure von Kerstin Rjasanowa 1. Auflage Mathematik für Bauingenieure Rjasanowa schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Hanser München 2006 Verlag C.H.
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Diplom VP Numerik 13. September 004 Aufgabe 1 10 0 40 Gegeben sei die Matrix A = 80 10 10. 10 5 5 (6 Punkte) a) Skalieren (Zeilenäquilibrierung)
Mehr(a) Lösen Sie die Differentialgleichung unter Verwendung der Mathematica-Funktion DSolve.
Institut für Physikalische Chemie Methodenkurs Anwendungen von Mathematica und Matlab in der Physikalischen Chemie im WS 205/206 Prof Dr Stefan Weber, Dr Till Biskup Aufgabenblatt zum Teil (Mathematica)
MehrEinleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7
Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3
MehrMathematik für Biologen und Chemiker Prof. Scheltho - Übungen Mathe 2
Mathematik für Biologen und Chemiker Prof. Scheltho - Übungen Mathe 2 Fortsetzung der komlexen Zahlen : 9. Radizieren und Potenzen a) Berechnen Sie (1+i) 20 und geben Sie das Resultat als Polarkoordinaten
MehrÜbungen zu Splines Lösungen zu Übung 20
Übungen zu Splines Lösungen zu Übung 20 20.1 Gegeben seien in der (x, y)-ebene die 1 Punkte: x i 6 5 4 2 1 0 1 2 4 5 6 y i 1 1 1 1 1 + 5 1 + 8 4 1 + 8 1 + 5 1 1 1 1 (a) Skizzieren Sie diese Punkte. (b)
MehrLagrange-Formalismus
KAPITEL II Lagrange-Formalismus Die im letzten Kapitel dargelegte Formulierung der Mechanik nach Newton ist zwar sehr intuitiv: man zählt alle auf das zu studierende System wirkenden Kräfte auf, schreibt
MehrInhaltsverzeichnis. Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen. Kapitel 2: Umformen von Ausdrücken. Kapitel 3: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme
Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen 1.1 Rechnen mit reellen Zahlen 1.2 Berechnen von Summen und Produkten 1.3 Primfaktorzerlegung 1.4 Größter gemeinsamer Teiler 1.5 Kleinstes gemeinsames Vielfaches 1.6 n-te
Mehrl p h (x) δw(x) dx für alle δw(x).
1.3 Potentielle Energie 5 In der modernen Statik benutzen wir statt dessen einen schwächeren Gleichheitsbegriff. Wir verlangen nur, dass die beiden Streckenlasten bei jeder virtuellen Verrückung dieselbe
MehrEinführung in die Gitterfreien Methoden
Einführung in die Gitterfreien Methoden Domenik Beres October 22, 2013 Domenik Beres Einführung in die Gitterfreien Methoden October 22, 2013 1 / 40 Inhaltsverzeichnis 1 Was versteht man unter Datenapproximation?
MehrComputergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2!
Coputergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2! 1 2 3 4 5 6 7 8 Historie, Überblick, Beispiele Begriffe und Grundlagen Objekttransforationen Objektrepräsentation und -Modellierung Sichttransforationen
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 3 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 3. Übungsblatt:
MehrAngewandte Strömungssimulation
Angewandte Strömungssimulation 4. Vorlesung Stefan Hickel Gittergenerierung weiterführende Literatur: J.D. Anderson, Computational Fluid Dynamics Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung
MehrMathematik für die ersten Semester
Mathematik für die ersten Semester von Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim 2., verbesserte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis I Grundlagen 1 1 Logik 3 2 Mengen 7 3 Relationen 15 3.1 Abbildungen
MehrFinite Elemente I Konvergenzaussagen
Finite Elemente I 195 5 onvergenzaussagen 5 onvergenzaussagen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006 Finite Elemente I 196 5.1 Interpolation in Sobolev-Räumen Wesentlicher Baustein der FE-onvergenzanalyse
MehrNUMERISCHE VERFAHREN für Naturwissenschaftler und Ingenieure
NUMERISCHE VERFAHREN für Naturwissenschaftler und Ingenieure Eine computerorientierte Einführung Von Prof. Dr. sc. nat. HUBERT SCHWETLICK Prof. Dr. sc. nat. HORST KRETZSCHMAR Mit 74 Bildern und 34 Tabellen
MehrP AP 1 = D. A k = P 1 D k P. = D k. mit P 0 3
Matrixpotenzen In Anwendungen müssen oft hohe Potenzen einer quadratischen Matrix berechnet werden Ist die Matrix diagonalisierbar, dann kann diese Berechnung wie folgt vereinfacht werden Sei A eine diagonalisierbare
MehrAngewandte Mathematik mit Mathcad
JosefTrölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 1 Einführung in Mathcad Dritte, aktualisierte Auflage SpringerWienNewYork 1. Beschreibung der Oberfläche und Bearbeitung eines Arbeitsblattes
MehrProf. Dr.-Ing. Christopher Bode. Finite-Elemente-Methode
Prof. Dr.-Ing. Christopher Bode Finite-Elemente-Methode Kapitel 1: Einleitung BEUTH Hochschule für Technik Berlin Prof. Dr.-Ing. C. Bode 2 Was ist FEM? Die FEM ist ein mathematisches Verfahren zur Lösung
MehrViele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung
Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele
Mehr16. FUNKTIONEN VON MEHREREN VARIABLEN
16. FUNKTIONEN VON MEHREREN VARIABLEN 1 Reelle Funktionen auf dem R 2 Wir betrachten Funktionen f(x 1, x 2 ) von zwei reellen Variablen x 1, x 2, z.b. f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2, g(x 1, x 2 ) = x 2 1
Mehr