Musterlösung: Partikelbewegung im Fluid

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Waldemar Ackermann
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1 Musterlösung: Partikelbewegung im Fluid 0. Januar 016 Wiederholung Ein Ausschnitt notwendiger Grundlagen für die Berechnung stationärer Sinkgeschwindigkeiten von Partikeln im Fluid. Annahmen: Partikel starr, glatt und kugelförmig keine Wirkung anderer Partikel auf das betrachtete Partikel umgebendes Fluid turbulenzfrei abgesehen von den Verwirbelungen durch das Partikel Das Kräftegleichgewicht auf das Partikel resultiert aus der Gewichtskraft F G, der Auftriebskraft F A und der Wiederstandskraft F W mit F G F A F W = 0, (1) wie in Abbildung 1 dargestellt. Dabei resultieren die Gewichts- und die Auftriebskraft aus dem Partikelvolumen V p, dem vorliegenden Beschleunigungsfeld a und der jeweiligen Dichte des Fluids ρ f bzw. des Partikels ρ s, so dass gilt. Die Widerstandskraft kann über F G = m p a = V p ρ s a = πd3 pρ s a 6 F A = m p a = V p ρ f a = πd3 pρ f a 6 () (3) F W = ρ f v sa pro c w = ρ f 8 v sπd pc w (4) 1

Wiederholung Partikelbewegung v s F A F G F W Abbildung 1: Kräftegleichgewicht am Partikel bei stationärer Umströmung beschrieben werden, mit der Anströmfläche des Partikels A pro, der stationären

2 Wiederholung Partikelbewegung v s F A F G F W Abbildung 1: Kräftegleichgewicht am Partikel bei stationärer Umströmung beschrieben werden, mit der Anströmfläche des Partikels A pro, der stationären Sinkgeschwindkeit v s und dem von der Reynolds-Zahl abhängigen Widerstandsbeiwert c w. Das Einsetzen von Gl. (), (3), (4) in Gl. (1) und Umstellen nach v s ergibt v s = 4d p (ρ s ρ f ) a 3c w ρ f, () eine Formel für die stationäre Sinkgeschwindigkeit, die für ein Partikel mit gegebenem Durchmesser d p, gegebener Dichte ρ s und einem Fluid der Dichte ρ f nur noch von dem Wiederstandsbeiwert c w abhängig ist. Dieser ist wiederum von der Art der Partikelumströmung und somit von der Partikel-Reynolds-Zahl Re = vd pρ f η abhängig, mit der Dynamischen Viskosität η. Da die Reynolds-Zahl von der Sinkgeschwindigkeit und damit wiederum von sich selbst abhängig ist, empfiehlt es sich häufig die Umströmung über die Archimedes-Zahl zu charakterisieren. Die kinematische Viskosität lässt sich hierfür über Ar = 3 4 Re c w = d3 pa(ρ s ρ f ) ν ρ f (7) (6) ν = η ρ f (8) bestimmen. Der Wiederstandsbeiwert kann für verschiedene Reynolds-Zahl-Bereiche durch folgende Gleichungen angenähert werden: Für den Stokes-Bereich bei Re < 0, respektive Ar < 9 durch c w = 4 Re, (9)

3 Wiederholung wodurch sich für die stationäre Sinkgeschwindigkeit nach Gl. () v s = d pa (ρ s ρ f ) 18η (10) ergibt. Für den Newton-Bereich 10 3 < Re < 10 bzw < Ar < 10 9 kann der c w -Wert mit c w 0,44 (11) angenähert werden. Damit resultiert für die Sinkgeschwindigkeit v s 3dp g (ρ s ρ f ) ρ f. (1) Für Reynolds-Zahl-Bereich 0 < Re < 10 und somit auch für den Übergangsbereich 0, < Re < 10 3 bzw. 9 < Ar < 3 10 kann der Wiederstandsbeiwert über c w = 4 Re + 4 Re + 0,4 (13) nach Kaskas [1] zitiert nach [, S.106] angenähert werden. Da durch Einsetzen von Gl. (13) in Gl. () keine algebraisch nach v s auflösbare Gleichung entsteht, werden nachfolgend drei Lösungswege empfohlen. Iteratives Vorgehen Die stationäre Sinkgeschwindigkeit wird abgeschätzt, z. B. über die stationäre Sinkgeschwindigkeit im Stokes-Bereich nach Gl. (10). Anschließend werden iterativ folgende Schritte ausgeführt, bis die gewünschte Genauigkeit für v s erreicht ist: 1. Berechne Re über Gl. (6). Berechne c w für den Übergangsbereich über Gl. (13) 3. Berechne v s über Gl. () Sukzessive wird durch diese Iteration die Sinkgeschwindigkeit angenähert. Grafisches Vorgehen Bei Kenntnis der Archimedes-Zahl lässt sich die Ljaŝĉenko-Zahl aus Abbildung ablesen. Aus der Ljaŝĉenko-Zahl Lj = 4 Re = v3 s 3 c w νa ρ f ρ s ρ f (14) lässt sich durch Umstellen und Einsetzen von Gl. (8) die stationäre Sinkgeschwindigkeit bestimmen. v s = ηlj(ρ 3 s ρ f )a (1) ρ f 3

4 Aufgabe 1 Lj Re Abbildung : Kennlinie Ljaŝĉenko- über Archimedes-Zahl für kugelförmige Partikel im Fluid [3, Fol. 4.7] Ar Wahl der richtigen Approximation Zur Berechnung der stat. Sinkgeschwindigkeit im Übergangsbereich bei höherer geforderter Genauigkeit existieren verschiedene Approximationen der Form c w = are α, mit denen die Sinkgeschwindigkeit für verschiedene Umströmungsarten leicht algebraisch bestimmt werden kann. Eine Auflistung solcher Funktionen mit zugehörigen Reynolds- und Archimes-Zahlbereichen befindet sich im Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik [, S. 10, Tab. 3-1]. Aufgabe 1 Aufgabenstellung: Berechnen Sie die stationären Sink- bzw. Wandergeschwindigkeiten zweier kugelförmiger Kalksteinpartikel a) im Schwerefeld der Erde und b) im Zentrifugalfeld (z = 00g). Gegeben: Gesucht: d 1 = 1 µm g = 9,81 m/s v s (d 1,g) v s (d 1,z) d = 40 µm z = 00g v s (d,g) v s (d,z) ρ s =,6 g/cm 3 ρ f = 0,998 g/cm 3 η = 1 mpa s 4

5 Aufgabe Lösung: Für jede Partikel-Beschleunigungsfeld-Kombination wird die Archimedes-Zahl nach Gl. (7) ermittelt, um den Umströmungsbereich zu bestimmen. Anschließend wird mit der jeweiligen Vorgehensweise die stationäre Sinkgeschwindigkeit bestimmt. 1a) Ar = 1,6 10 < 9 Stokes-Bereich Berechnung von v s durch Gl. (10): v s = m s = 3, mm h 1b) Ar = 3, < 9 Stokes-Bereich v s = 1, m s = 0,6 m h a) Ar = 1,04 < 9 Stokes-Bereich v s = 1, m s =, m h b) Ar = 07 9 < 07 < 3 10 Übergangsbereich Durch das Ablesen im Diagramm in Abb., kann eine Ljaŝĉenko-Zahl Lj 1,4 ermittelt werden. Durch Gl. (1) erhält man die stationäre Sinkgeschwindigkeit mit v s 0,17 m s. Aufgabe Aufgabenstellung: Berechnen Sie die stationäre Sinkgeschwindigkeit des d 0 3 eines Quarzhaufwerks mit einer RRSB-Größenverteilung (d 63 3 = 0,3 mm, n = 1,). Gegeben: ( ( Q 3 (d) = 1 exp d RRSB-Verteilung: n = 1, ρ s = 3,1 g cm 3 d 63 3 = 0,3 mm ρ f = 0,998 g cm 3 η f = 0,9 mpa s d 63 3 ) n ) Gesucht: v s (d 0 3 ) Lösung: Durch Umstellen der Formel für die RRSB-Verteilung nach d und Einsetzen von Q 3 (d 0 3 ) = 0, lässt sich der d 0 3 bestimmen. n d = d 63 3 ln(1 Q 3 (d)). (16) Es ergibt sich d 0 3 = 0,76 mm =, m. Anschließend lässt sich die Archimedes-Zahl sowie die stationäre Sinkgeschwindigkeit bestimmen. Ar = 47 9 < 47 < 3 10 Übergangsbereich Lj,3 v s 0,047 m s

6 Literatur Literatur 1. Kaskas, A. A. Schwarmgeschwindigkeiten in Mehrkornsuspensionen am Beispeil der Sedimentation Diss. (TU Berlin, 1970).. Schubert, H. Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik (John Wiley & Sons, 01). 3. Tomas, J. Folien MVT 4 < VO_MVT/Folien_MVT_4.pdf> (01). 6

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