9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Walther Kohler
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1 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1,,, 6 des Experiments werden zur Ergebnismenge Ω ( Ergebnisraum ) zusammengefasst. Ω = { 1,,,, 5, 6 } Anzahl der Elemente von Ω: Ω = 6 Definition: gerade Zahl A = {,, 6 } ungerade Zahl B = { 1,, 5 } Primzahl C = { 1,,, 5 } keine Primzahl D = {, 6 } Zahl E = { 1, } Zahl > F = { 5, 6 } Schnittmenge ( A : Alle Elementarereignisse aus A und B Vereinigungsmenge ( A : Alle Elementarereignisse aus A oder B Definition: Teilmengen von Ω heißen Ereignisse und werden mit A, B, C, abgekürzt. Einelementige Teilmengen heißen Elementarereignisse: ω1, ω, ω, Beispiel (Einmaliges Würfeln): Ungerade Zahl oder Primzahl: B C = { 1,,, 5 } = C Zahl > oder gerade Zahl: F A = {,, 5, 6 } Zahl > und gerade Zahl: F A = { 6 } Gerade Zahl und ungerade Zahl: A B = Ø = { } 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

2 Beispiel (Einmaliges Würfeln): Definition: verbal mengentheoretisch gerade Zahl A = {,, 6 } ungerade Zahl B = { 1,, 5 } Primzahl C = { 1,,, 5 } keine Primzahl D = {, 6 } Zahl E = { 1, } Zahl > F = { 5, 6 } Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Ω = { (1, 1), (1, ), (1, ),, (1, 6), (, 1), (, ),, (6, 6)} Ω = { 1,,,, 5, 6 } { 1,,,, 5, 6 } : Kartesisches Produkt (von Mengen) Ω = 6 6 = 6. Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt (unvereinbar), falls A B = Ø. Beispiel (Einmaliges Würfeln): C und D sind disjunkt. E und F sind disjunkt. Satz: Wird ein Zufallsexperiment mit k Elementarereignissen n-mal wiederholt, dann hat das zusammengesetzte Zufallsexperiment n k Elementarereignisse. Definition: Die Menge A aller Elemente in Ω, die nicht in A liegen, heißt Komplementärereignis zu A. Beispiel (Dreimaliges Würfeln): Ω = {1,,,, 5, 6} {1,,,, 5, 6} {1,,,, 5, 6} Beispiel (Einmaliges Würfeln): B ist Komplementärereignis zu A. C ist Komplementärereignis zu D. E und F sind zwar disjunkt, aber keine Komplementärereignisse Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

3 II. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen Zweimaliges Würfeln Ω = 6 = 6 Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Ereignisse: A : Beide Zahlen sind gleich B : Keine Sechs C : Nur ungerade Zahlen D : Augensumme ist 7 E : Beide Zahlen Gesucht: Definition:,, C), D), E) ( P für Probability = Wahrscheinlichkeit) Falls alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, spricht man von einem Laplace-Experiment. A = { (1,1), (,), (,), (,), (5,5), (6,6) } 6 1 A B = {1,,,, 5} {1,,,, 5} 5 B 5 6 C = {1,, 5} {1,, 5} 9 C 9 C) 6 D = { (1,6), (,5), (,), (,), (5,), (6,1) } D ) E = {,, 5, 6} {,, 5, 6} E ) Satz: Bei einem Laplace-Experiment gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A P ( A. 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

4 Satz: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Ω) = 1 Ø) = 0 1 A A Sind A und B disjunkt ( A B = Ø ), dann gilt: A Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Es war: Gesucht: (iii) B : Keine Sechs D : Augensumme ist 7 E : Beide Zahlen Keine Sechs oder Augensumme ist 7 oder beide Zahlen ) B D {(,5), (5,), (,), (,)} B E {,,5} {,,5} A BC) C) A AC) BC) ABC) A A Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Es war: A : Beide Zahlen sind gleich C : Nur ungerade Zahlen Gesucht: (i) beide Zahlen verschieden) A ) (ii) beide Zahlen gleich oder nur ungerade Zahlen) 5 6 A C) C) AC) D E {(,), (,)} B DE {(,), (,)} B D E) D) E) B D) B E) D E) B D E) Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

5 Situation (): Ein Unternehmen hat 50 Beschäftigte, davon sind 08 weiblich. 6 der Beschäftigten fahren nicht mit dem Auto zur Arbeit, davon 156 weiblich. Sie gehen über den Flur des Firmengebäudes und hören hinter der nächsten Ecke Schritte. (Es ist Kernarbeitszeit, d.h. alle Beschäftigten sind anwesend, und die Wahrscheinlichkeit, um diese Ecke zu kommen, ist für jeden Beschäftigten gleich Laplace-Firma) Gesucht: Wahrscheinlichkeit, in der Firma einem männlichen PKW-Fahrer zu begegnen. Bezeichnung der Ereignisse: W : Weibliche Angestellte A : Autofahrer/-in 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 1 -

6 Lösung zur Situation (): Bezeichnung der Ereignisse: Bekannt: W : Weibliche Angestellte A : Autofahrer/-in 08 6 W ) 0, 0, W 0, 50 Einfache Lösung zur Situation (): W W A W W A ) A W W A ) W ) W ) 1 Gesucht: W W ) 1 W ) 10, 0,6 W W 0,55 0, W W 0,5 W ) W W 0,6 W 0,5 W 0,5 W W A 0,1 0,5 0,5 A 0, 0,5 0,55 0, 0, Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

7 III. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhängige Ereignisse Beispiel (Zweimaliges Würfeln): A : 11 mindestens eine 6 = 6 Bekannte Vorinformation: B : Augensumme ist höchstens 7 Definition: B 1 A 1 A A heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B, falls > 0. Situation (): Angenommen, Sie erkennen am Klang der Schritte, dass die Person, die gleich um die Ecke kommt, eine Frau ist. Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Autofahrerin handelt, also A W ) A W ) W ) 0,1 0,5 0, 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

8 Definition: Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, falls A. Satz: A A [ B ] Situation (): Frage: Sind Geschlecht und Beförderungsmittel unabhängig? Bekannt: W ) 0, A ) 0, 55 W ) 0, 0,55 0, Antwort: Nein. und W 0, Beispiel: Situation: In einer Schachtel befinden sich 6 Akkus, davon sind zwei leer. Jetzt werden zwei Akkus für die Digitalkamera gebraucht. Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden entnommenen Akkus voll sind. A : Der erste Akku ist voll. B : Der zweite Akku ist voll. Bemerkung: Gesucht: P ( A Gründe für die Bedeutsamkeit der stochastischen Unabhängigkeit: Der Nachweis, dass zwei Ereignisse abhängig sind, führt oft zur Suche nach dem kausalen Zusammenhang. Ermöglicht die Überprüfung, ob eine modellmäßige Annahme der Unabhängigkeit mit konkret vorliegenden Beobachtungen verträglich ist. A ) 6 B 5 A B 0, Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9 Beispiel: Alternative Lösung über Wahrscheinlichkeitsbaum Situation: Aus einem Kartenspiel mit Karten werden nacheinander Karten gezogen. Gesucht: Wahrscheinlichkeit, im dritten Zug zu ziehen. Ai : Im i-ten Zug wird gezogen Gesucht: ( A ) P A 1 ) ( A A ) P 1 A A1 ) A 1 ) ( A A ) P 1 7 ( A A ) usw. P 1. Zug 1. Zug. Zug k. Zug 1. Zug k 7. Zug k Günstige Kombinationen A 1A A A 1A A A 1A A A 1A A Wahrscheinlichkeiten 7 disjunkte Ereignisse 70 0, Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Zug. Zug k Die jeweiligen Wege zum Ziel. Zug sind disjunkt. Deshalb ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten:. Zug ) =. Zug 7. Zug k. Zug 7. Zug k 7. Zug 0,15 6. Zug k 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 1 -

10 IV. Lotto (Auszüge der Kombinatorik) Situation: Beim Lotto werden aus 9 durchnummerierten Kugeln (zufällig) 6 Kugeln nacheinander durch Ziehen ohne Zurücklegen ausgewählt. Dabei spielt die Reihenfolge der gezogenen Zahlen keine Rolle. (Hier: Ohne Zusatzzahl) Von Interesse: A : 6 Richtige Jede Kombination der 6 gezogenen Zahlen ist gleich wahrscheinlich Laplace-Experiment A A ) Offensichtlich: A = 1 Gesucht: Ω Ω : Anzahl aller Möglichkeiten, aus 9 Kugeln 6 Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen. Satz: Sei k n, dann gibt es n! n k!( n k)! k Möglichkeiten, k-elementige Teilmengen aus einer n-elementigen Menge zu bilden. 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 1 -

11 Beim Lotto: Platz für Notizen 9 9! !! Damit ist die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige 1 A ) 0, (also ca. 1:1 Millionen) Noch ein Lotto-Beispiel: B : Richtige beim Lotto (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl) Gesucht: B ) B 6 B B , Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 1 -

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