Masse Energie - Äquivalenz. im Euklidischen Universum

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1 1 Masse - Energie - Äquivalenz im Euklidischen Universum von Dieter Prochnow, Berlin du.prochnow@t-online.de Keywords: Zulässige Euklidische ysteme, Galilei Zeit, Uhrenzeit, egelmechanismus von Masse und Gravitation, vierdimensionale relativistische Newtonsche Mechanik, Korrespondenzprinzip, Masse Energie - Äquivalenz Alternativ zur AT Einsteins bleibt das Euklidische Universum [1] auch unter Einbeziehung beschleunigter ystembewegungen, und damit unter Gravitation, flach. Im ahmen einer vierdimensionalen Newtonschen Mechanik wird der egelmechanismus von Masse und Gravitation im Euklidischen Universum dargestellt und diskutiert. Bei Bezug auf Galilei Zeit und Uhrenzeit entstehen unterschiedliche Beziehungen, die in Äquivalenzen miteinander verbunden werden. Im Mittelpunkt steht dabei die Masse Energie Äquivalenz im Euklidischen Universum. Zur Wahrung des Korrespondenzprinzips musste dabei Einsteins berühmte Äquivalenz E = m. c korrigiert werden. Im Euklidischen Universum werden relativistische Gesetze der Mechanik ausschlielich mit Bezug auf die Galilei Zeit, hier als Koordinatenzeit der zeitartigen Koordinate, entwickelt. Dabei sind unendlich groe Teilchengeschwindigkeiten zu beachten, die es in der Folge gestatten, zulässige ysteme des Euklidischen Universums mittels Galilei Transformationen zu bilden. Das Gravitationspotenzial der Massenkonzentration kann dadurch mit Hilfe der Poissonschen Gleichung bestimmt werden. Die für das Euklidische Universum hergeleitete Masse Energie Äquivalenz begründet eine Klassifikation der Teilchen nach hyperbolischen, parabolischen und elliptischen Geschwindigkeiten. Inhalt 1. Einführung. Korrespondenzprinzip im Euklidischen Universum 3. Masse, Impuls und Gravitationskraft im vierdimensionalen Euklidischen Universum 4. Masse und Energie im Euklidischen Universum 5. Gravitation im Euklidischen Universum 6. Teilchengeschwindigkeiten im Euklidischen Universum 7. Kosmologische Einordnung Literatur 1. Einführung In seiner Allgemeinen elativitätstheorie (AT) hat Einstein [,3] auf der Grundlage des Äquivalenzprinzips von chwere und Trägheit der Massen eine Verallgemeinerung der T durch Einbeziehung von Trägheits- und Gravitationseffekten vorgenommen.

2 Die Einbeziehung zueinander beschleunigter ysteme, zum Beispiel rotierender ysteme, führt in der T auf Grund der Lorentz - Kontraktion der Längen bei der Transformation raumartiger Ereignisse über den Bereich der euklidischen Geometrie und damit über den ahmen des Minkowski - aumes hinaus. Die Metrik des aumes und die Menge der zulässigen Koordinatentransformationen mussten dementsprechend erweitert werden. Einstein entwickelte dazu die Vorstellung, dass Gravitation eine durch die Krümmung der aumzeit hervorgerufene cheinkraft sein könnte: Die Materie im Universum krümmt der lokalen Massekonzentration entsprechend die aumzeit, und die Krümmung der aumzeit ruft umgekehrt eine Gravitation der Massen als cheinkraft hervor. Darin besteht Einsteins Konzept zur Geometrisierung der Gravitation. Die auf der Grundlage dieser elbstregulation zu bildenden pseudoriemannschen äume beschreiben ein Nichteuklidisches Universum als vierdimensionales aum - Zeit - Kontinuum. Alternativ dazu besteht das Euklidische Universum [1] aus vierdimensionalen euklidischen, also flachen ystemen, in denen es keine Lorentz Kontraktion der Längen von trecken und Körpern gibt. Dadurch führt auch die Einbeziehung zueinander beschleunigter ystembewegungen nicht über den ahmen der Euklidischen Geometrie hinaus. Mit der Lorentz Kontraktion entfällt der wesentliche Grund für eine Veränderung der Metrik des Universums auch wenn man, wie hier, raumzeitabhängige Galilei Transformationen, die raumartige Ereignisse entfernungstreu abbilden, zulässt. Die aumzeit des Euklidischen Universums bleibt also auch unter Einbeziehung von Gravitationseinflüssen ungekrümmt. Wir gehen dementsprechend davon aus, dass Einsteins Interpretation der Gravitation als eine durch aumzeitkrümmung hervorgerufene cheinkraft eine spezielle, aber nicht notwendige Modellvorstellung darstellt. Anstelle raumzeitlicher Krümmungen lässt sich Gravitation im Euklidischen Universum im inne Newtons mit Hilfe eines Gravitationspotenzials φ zur Bestimmung der potenziellen Energie definieren: Im flachen Universum lässt sich ebenfalls ein egelmechanismus von Masse und Gravitation, eine elbstorganisation der Materie also, beobachten. In Abhängigkeit von der Dichteverteilung der Teilchenmasse entwickelt sich dabei ein Gravitationspotenzial φ, und die daraus resultierende konservative Gravitationskraft kann dann sowohl die ichtung als auch den Betrag von Teilchengeschwindigkeiten ändern und damit, den egelkreis schlieend, wiederum die Dichteverteilung der Teilchenmasse modifizieren. Im ahmen dieser egelung setzen wir, wie Einstein [,3], das Äquivalenzprinzip von Beschleunigung und Gravitation voraus, das sich hier in der Annahme der Gleichheit von träger und schwerer Masse sowie in der Konservativität der Gravitationskraft und dem daraus resultierenden Energieerhaltungssatz ausdrückt.. Korrespondenzprinzip im Euklidischen Universum Zeiten in einem Universum sind reelle Parameter, die Elementarereignisse des Universums (nach einem Kriterium) ordnen [1]. peziell im Euklidischen Universum ordnet die Galilei Zeit t die Elementarereignisse in der eihenfolge ihres Geschehens. Dabei ist t Koordinatenzeit der zeitartigen Koordinate x 4 :

3 3 dx 4 = c. dt oder dx 4 = c = const. (1) dt Damit kontrollieren Galilei - Zeiten auch die Alterung der Materie. ie sind als Koordinatenzeiten im Allgemeinen nicht direkt messbar. Die Bezeichung Galilei Zeit wurde in [1] auf Grund der Invarianz der Zeitdauer von Ereignissen in den ystemen des Universums gewählt, die durch die im Euklidischen Universum verwendete Galilei Transformation der ysteme begründet ist. Eingeschränkt auf ein ystem des Universums bezeichnen wir einen reellen Parameter als elativ- oder ystemzeit, wenn er die Elementarereignisse des ystems mit Bezug auf das ystem ordnet. In [1] wurde begründet, dass die durch ds dt ds/c oder c = const km/s () dt bei zeitartigen Ereignissen definierte ystemzeit t im Euklidischen Universum als Uhrenzeit zu identifizieren ist, die hier dann aber keine Koordinatenzeit ist [1]. Im Gegensatz zur Galilei Zeit sind Uhrenzeiten, wie schon aus dem Namen zu entnehmen ist, messbar, ordnen aber Ereignisse hier dann nicht (allenfalls bei kleinen Teilchengeschwindigkeiten) in der eihenfolge ihres Geschehens. Dementsprechend kontrollieren sie auch die Alterung der Materie nicht (siehe Zwillingsparadoxon in [1]). Im Euklidischen Universum sind die Inertialzeiten der Inertialsysteme Galilei Zeiten und, im Gegensatz zur T, keine Uhrenzeiten. Bei zeitartigen Ereignissen beeinflusst die Gravitation die Geschwindigkeiten aller Körper im Universum auch die Lichtgeschwindigkeit. owohl die ichtung als auch der Betrag der raumartigen Geschwindigkeit eines Teilchens können dabei verändert werden. In Gravitationsfeldern führt das zur Beugung von Lichtstrahlen. Mit Beziehung () wird jedoch angenommen, dass die auf die Uhrenzeit bezogene Bahngeschwindigkeit eines Teilchens in der vierdimensionalen aumzeit eines ystems stets ds dt konstant c und damit unabhängig von Gravitationseffekten ist. Damit bleibt, bezogen auf die Uhrenzeit, das Prinzip der Konstanz und Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit auch unter Gravitation erhalten. Das bedeutet, der Betrag der Lichtgeschwindigkeit im flachen euklidischen Universum (in dem keine Krümmung der aumzeit zur Modifikation der Weglängen führt) bleibt bezogen auf die Uhrenzeit auch unter Gravitation systemunabhängig konstant c. Der Zusammenhang von Uhrenzeit und Galilei Zeit wird bei zeitartigen Ereignissen durch die metrische Fundamentalform der euklidischen ysteme des Universums bestimmt, siehe Abschnitt 4 in [1]: μ μ ds d x d x. (3)

4 4 Das Euklidische Universum umfasst unter Einbeziehung von Gravitationseffekten alle ysteme, die mit der Metrik (1-3) ausgestattet sind. Zeitartige Ereignisse verlaufen in allen diesen ystemen zueinander zeitartig entfernungsinvariant ( Invarianz der Galilei - Zeitdauer von Ereignissen gegenüber der raumzeitbezogenen Galilei Transformation, siehe (59),(6) in [1]. Derartige ysteme werden als zulässig für das Euklidische Universum bezeichnet. Neben Inertialsystemen sind mit diesen Eigenschaften auch ysteme unter Gravitation, zueinander beschleunigte ysteme, beispielsweise rotierende ysteme, oder auch ysteme, in denen sich Körper in Beschleunigung befinden können, zugelassen. Anmerkung: Annahme () fand in unseren weiteren Untersuchungen Begründung und echtfertigung, könnte aber ohne wesentliche chwierigkeiten mit Hilfe des Ansatzes c = c r (). c und ds = c. dt (4) verallgemeinert werden. Dabei symbolisiert das Gravitationspotenzial die Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit c von der Gravitation. Die relative Lichtgeschwindigkeit c r ist dementsprechend als Funktion des Gravitationspotenzials zu betrachten. peziell würde aus Annahme () hier dann aber folgen. c r () = 1 (5) Aus der metrischen Fundamentalform (1-3) ergibt sich unmittelbar das Prinzip kugelförmiger Ausbreitung des Lichts: u = dx dt α α dx c oder d s dt α α dx dx. (6) In einem zulässigen ystem des Universums sind die Beziehungen zwischen der Uhrenzeit t und der Galilei - Zeit t von den Teilchengeschwindigkeiten abhängig. Es ergibt sich dt 1/ (7) dt mit 1 u /c, 1 u/c und = 1. (8) Zwischen den raumartigen Geschwindigkeiten u = (u 1, u, u 3 ) mit α dx u α und dt α u 1 3 (u, u,u) mit α dx u bestehen auf Grund von (7) und (8) die Beziehungen u = u / und u = u /, (9) und aus der metrischen Fundamentalform (1-3) ergibt sich mit (7) und (8) auch umgekehrt das Prinzip der kugelförmigen Lichtausbreitung: und damit u c. (1)

5 Aus (9) folgt darüber hinaus die für das euklidische Universum wesentliche Aussage: 5 u = c u = +. (11) Bezogen auf die Galilei - Zeit t können Teilchengeschwindigkeiten demzufolge unendlich gro werden! Von einer unendlich groen Lichtgeschwindigkeit ausgehend, besteht keine Notwendigkeit, die Galilei Transformation der euklidischen ysteme durch eine Lorentz Transformation zu ersetzen oder den Charakter der euklidischen Metrik des Universums zu verändern. Das Universum bleibt also flach, und Gravitationseffekte können im ahmen einer vierdimensionalen, dem Wesen nach Newtonschen Gravitationstheorie beschrieben werden. Dementsprechend wird das Gravitationspotenzial der Gravitationskraft im Euklidischen Universum mit Hilfe der Poissonschen Gleichung berechnet, siehe [6]. Äquivalenz (11) bildet also eine wesentliche Grundlage zur Entwicklung einer Allgemeinen elativitätstheorie des Euklidischen Universums. Die Gesetze der Newtonschen Mechanik, die ursprünglich für absolute dreidimensionale äume in einer absoluten Zeit formuliert wurden, werden dazu auf vierdimensionale euklidische ysteme der aumzeit übertragen. Die Newton Zeit wird dabei zur Galilei Zeit, die hier aber auch von anderen ystemparametern abhängen kann, also keinen absoluten Charakter tragen muss. Die Trennung von Newton Zeit und Uhrenzeit, die Newton noch nicht beobachten konnte, wird dabei mit einem Korrespondenzprinzip abgeschwächt. Die im Euklidischen Universum geltenden raumzeitartigen, raumartigen und zeitartigen Gesetze der Mechanik bezeichnen wir künftig als relativistische Gesetze. Die speziell auf die Galilei Zeit bezogenen Gesetze können dementsprechend relativistische Newtonsche Gesetze der Mechanik genannt werden. Das Korrespondenzprinzip im Euklidischen Universum beruht im Wesentlichen auf den Beziehungen (7) und (8), die zeigen, dass Uhrenzeit und Galilei Zeit bei kleinen Teilchengeschwindigkeiten näherungsweise gleich sind. Dementsprechend können wir für das Euklidische Universum folgende Forderung formulieren: Korrespondenzprinzip Bei im Vergleich mit der Lichtgeschwindigkeit kleinen Teilchengeschwindigkeiten müssen die auf die Uhrenzeit bezogenen relativistischen Gesetze näherungsweise mit den korrespondierenden Newtonschen Gesetzen der Mechanik, die im Euklidischen Universum auf die Galilei Zeit bezogen sind, übereinstimmen Wir bezeichnen im folgenden raumartige dreidimensionale Variable mit kleinen fetten Buchstaben (z.b. x = (x 1, x, x 3 ), u = (u 1, u, u 3 ) ), Variable der aumzeit dagegen mit groen fetten Buchstaben, beispielsweise X = (x 1, x, x 3, c t ) oder U = (u, c) = (u 1, u, u 3, c)

6 3. Masse, Impuls und Gravitationskraft im vierdimensionalen Euklidischen Universum 6 In einem zulässigen euklidischen ystem = ( N 4, (δ i,j ) ) des Universums ist jedes Element X N 4 ein Elementarereignis, das den Ort X = (x 1, x, x 3, c. t) eines Teilchens in der vierdimensionalen aumzeit von beschreibt. Die Geschwindigkeit eines Teilchens in der aumzeit U = (u 1, u, u 3, c) mit u µ = dx µ /dt (1.1) beschreibt die Änderung des Ortes des Teilchens nach der Galilei Zeit t: U = Bezogen auf die Uhrenzeit t hat die Teilchengeschwindigkeit das Aussehen d X. U = d X = ( 1 3 u, u, u, c. )) mit µ u = dx µ /dt. (1.) Der Zusammenhang zwischen den Teilchengeschwindigkeiten U und U lässt sich auf Grund von (7) als Geschwindigkeiten - Äquivalenz formulieren. U. dt = U. dt oder U = U / und U = U/. (1.3) Aus der metrischen Fundamentalform (1-3) folgt für den Betrag der Geschwindigkeiten: U = ds u c c β c/ β und U = d s = c. (13) In ahmen der relativistischen Newtonschen Mechanik ist der Impuls, den ein Teilchen in der aumzeit empfängt, gleich dem Produkt aus seiner uhemasse m o und seiner auf die Galilei Zeit bezogenen raumzeitartigen Geschwindigkeit U: P = m o U. (14.1) Mit (1.3) ergibt sich aus (14.1) unmittelbar eine auf die Uhrenzeit bezogene Definition für den Impuls: die durch P = m. U, (14.) P = P (14.3) begründet ist. Dabei bezeichnet die Impulsmasse des Teilchens. m = m o / (14.4)

7 7 Für den Betrag des Impulses erhalten wir: und wegen (13) P = m o U = m c (14.5) P = p + mit dem raumartigen Impuls p (15.1) p = m o u = m u (15.) und dem konstanten zeitartigen Impuls p o = m o c. (15.3) Für u =, also bei raumartiger uhe, empfängt das Teilchen immer noch den zeitartigen Impuls p o, den wir auf Grund der raumartigen uhe auch als uheimpuls bezeichnen können. Die Kraft, die bei dem Teilchen den Impuls P erzeugt, ist dann wegen (14.1) K = d P = m d U U d m. (16) Wir gehen im folgenden davon aus, dass die uhemasse m o eines Teilchens während der Lebensdauer des Teilchens erhalten und unabhängig von der Galilei Zeit konstant bleibt: m o = const < +, dm =. (17) dt Analog zur Newtonschen Theorie ist die Kraft dann gleich dem Produkt aus Masse, hier aus der uhemasse m o, und Beschleunigung U = d U : K und dabei gilt betragsmäig m U, (18.1) K m u bei K α α m u, K 4 =. (18.) Bezogen auf die Uhrenzeit hat die Kraft das Aussehen: K = d P d (m U = ) d P, (18.3) und damit, sowie mit (7) und (16), ergibt sich die Kräfte-Äquivalenz K. dt = K. dt oder K = K / und K= K /. (18.4) Konservative Kräfte besitzen mit der potenziellen Energie E pot ein Potenzial:

8 8 1 K = - E pot, = (, ) = (, ). (19.1) 4 x c t Aus dem relativistischen Newtonschen Kraftgesetz (18.1) ergibt sich mit (19.1): m U, (19.) E pot komponentenweise m E α pot u und α x E pot t. (19.3) Im Falle der konservativen Gravitationskraft lässt sich die potenzielle Energie als negatives Produkt aus uhemasse und einem Gravitationspotenzial darstellen: E pot = - m.. () Man erhält damit sofort das Gravitationsgesetz sowie K = m (1.1) U (1.) und, da u 4 gilt, die raumartigen Bewegungsgleichungen u u φ oder u u φ. () t 4. Masse und Energie im Euklidischen Universum Die zeitliche Änderung der Arbeit, die sich entlang eines Teilchenweges ergibt, ist definiert als vektorielles kalarprodukt von Geschwindigkeit U und Kraft K: U K. (3.1) Bezogen auf die Uhrenzeit erhält man für die Arbeit A analog zu (3.1): Wir berechnen: U K. (3.) U K d = U (m U) = U d m d U 1/ m. Daraus erhalten wir auf Grund von (13) in Übereinstimmung mit der T Einsteins [3] hier für das Euklidische Universum:

9 9 d = (m c ) (4.1) und A = E,kin = m c m c (4.) Die Arbeit A wird in (4.) als Differenz zweier kinetischer Energien dargestellt und kann dementsprechend selber als kinetische Energie E,kin identifiziert werden. E,kin ist die auf die Uhrenzeit bezogene raumartige kinetische Energie eines Teilchens im Euklidischen Universum. Für kleine Teilchengeschwindigkeiten stimmt kinetischen Energie kin E,kin mit der raumartigen Newtonschen E = ½. m u (4.3) überein und erfüllt damit auch im Euklidischen Universum das Korrespondenzprinzip. Die raumzeitartige kinetische Energie E,kin und die raumartige uheenergie E,o sind durch (4.) allerdings nur bis auf eine additive Konstante C eindeutig bestimmt. Wir können (4.) auch in der Form E = (m c C) (m c C), (4.4),kin schreiben und erhalten: E,kin = m c C und E,o = m C. (4.5) c In der T Einsteins wird Gravitation und damit die potenzielle Energie E, pot zunächst vernachlässigt, und man kann die auf die Uhrenzeit bezogene Gesamtenergie E mit der raumzeitartige kinetischen Energie E, kin identifizieren: E = E, kin (4.6) Einstein ist dabei von C = ausgegangen und hat damit seine berühmte Masse Energie - Äquivalenz mit der uheenergie begründet. E,Ein = m c (4.7) E,o = m o c (4.8) Aus den Äquivalenzen (1.3) und (18.4) ergibt sich zwischen A un der Zusammenhang:

10 1 U K /, also = /. (5.1) Unter Nutzung von (4.1) und (5.1) erhalten wir daraus zunächst: und dann = m. o c d /. (1/ ) d = (1/ Mc ) oder d = (1/ Mc ). (5.) Dabei ist M = m o / = m. o = m / (5.3) eine relativistischen Masse, die wir als Energiemasse bezeichnen. Durch Integration von (5.) erhalten wir: A = E kin = 1/ M c - 1/ m c. (5.4) Dabei können wir E kin = ½ M c = ½ m o U (5.5) als kinetische Energie der aumzeit und E o = ½. m c (5.6) als raumartige uheenergie identifizieren. Wir erhalten also: E kin = ½ m o U = E kin + E o = 1 m u + 1 m c. (5.7) Im Euklidischen Universum ergeben sich für die raumzeitbezogenen kinetischen Energien dann die Masse kinetische Energie - Äquivalenzen und E kin = ½ M c bei Bezug auf die Galilei Zeit t (6.1) E, kin = m. c - C bei Bezug auf die Uhrenzeit t. (6.) Für C = erfüllt die kinetische Energie E, kin, siehe (6.), dabei nicht das Korrespondenzprinzips, denn man erhält für kleine Teilchengeschwindigkeiten E kin = ½. E, kin / bei C = (7.1)

11 11 Damit erhebt sich die Forderung: Einsteins Masse Energie Äquivalenz E = m. c muss in Hinsicht auf die Korrespondenz der raumzeitartigen Gesamtenergien korrigiert werden! Das betrifft vornehmlich die Verwendung der uheenergien. Damit die kinetische Energie E, kin das Korrespondenzprinzip erfüllen kann, darf die uheenergie E,o nicht verschieden von E o sein. Dementsprechend und unter Berücksichtigung von (5.7) muss die Konstante C in (6.) die Form C = E, = E o = ½ m o haben. Für die Gesamtenergie ergibt sich damit wobei E,kin = ½ M c (7.) c, (7.3) M =. m m o (7.4) eine relativistische Masse, wie M eine Energiemasse, ist, die hier aber auf die Uhrenzeit bezogen wird. Die Impulsmasse lässt sich dabei auch als arithmetisches Mittel aus Energiemasse und uhemasse berechnen: m = ½ (M + m o ). (7.5) Zwischen den Energiemassen M und M besteht auf Grund von (5.3) und (7.4) eine Äquivalenz der Energiemassen M. dt = ( - ). M. dt oder M = M 1 und M = M, (7.6) aus der bereits die Übereinstimmung von E,kin mit dem Korrespondenzprinzip abzulesen ist. Explizit ergibt sich zwischen E kin und E,kin aus (7.3) unter Verwendung von (6.1) und (7.6) der Zusammenhang: 1 E,kin =. E kin = ½ (. 1). m o c. (7.7) Da für kleine raumartige Geschwindigkeiten << c in Näherung = 1 + ½. u /c gilt, erhalten wir wegen (8) sofort E,kin E kin.

12 1 Die raumzeitbezogene kinetische Energie (7.3) ist also in Übereinstimmung mit dem Korrespondenzprinzip! Bei kleinen Teilchengeschwindigkeiten und vernachlässigbarer Gravitation gilt dementsprechend auch E = ½ M c E = ½ M c. (7.8) Abb. 1 vergleicht bei fehlender Gravitation die Einsteinsche Gesamtenergie E,Ein = m. c, siehe (4.7), mit der korrigierten Gesamtenergie E = ½. M. c, siehe (7.3), und zeigt die Übereinstimmung bei kleinen Teilchengeschwindigkeiten - und damit die Korrespondenz - von E mit E = ½. M. c, siehe (7.8). Die korrigierte Gesamtenergie E = ½ M c ist damit im Gegensatz zur Einsteinschen Gesamtenergie E = m. c mit dem Korrespondenzprinzip in Übereinstimmung! Unter Berücksichtigung der Gravitation stellt die Gesamtenergie eine umme aus kinetischer Energie, uheenergie und potenzieller Energie dar: und E = E kin + E pot = E = E, kin + E, pot = E kin + E o + E pot bezogen auf t (8.1) E,kin + E o + E, pot bezogen auf t. (8.) Dabei wird nun bei beiden Gesamtenergien, E und E, dieselbe raumartige uheenergie E o summiert. Die in (8.) definierte Gesamtenergie E sollte dabei auch unter Gravitationseinfluss das Korrespondenzprinzip erfüllen. Wir gehen daher davon aus, dass (7.7) auch weiterhin in der Form

13 13 1 E =. E = ½ (. 1). m o c (9.1) gültig bleibt. Für das Gravitationspotenzial folgt daraus unmittelbar: 1 E,pot =. E pot, also E,pot = - M. φ, (9.) wobei φ das auf die Uhrenzeit bezogene Gravitationspotenzial ist, das durch die Gravitationsäquivalenz. beziehungsweise = / und = / =. dt oder / c = / U (9.3) mit dem Gravitationspotenzial in Verbindung steht. (9.4) Auf Grund von () und (7.) erhalten wir im Euklidischen Universum aus (6.), (8.) und (9.) die Masse Energie Äquivalenzen und E = ½ M c - m o. = ½ M. (c -. ) (3.1) E = ½ M. (c -. ), (3.) In euklidischen ystemen ändert sich auf Grund von (5.), (5.7) und (6.1) die Arbeit A zeitlich mit der kinetische Energie E : kin d E kin. (31.1) Aus (19.1) und (3.1) folgt U K Wir erhalten dementsprechend: d d E E E d E pot U E pot. kin pot. (31.) Bei Wirkung konservativer Kräfte gilt also auch in der aumzeit des euklidischen Universum das Gesetz der Energieerhaltung E = E kin + E pot = ½. m o. U m o. φ = const. (31.3)

14 Auf Grund von (14.1) und (5.7) können wir darüber hinaus in Analogie zur Newtonschen Theorie den relativistischen Energie Impuls atz 14 formulieren. P =. m o. E kin (31.4) 5. Gravitation im Euklidischen Universum Das Gravitationspotenzial, das sich auf die Galilei Zeit t bezieht, bildet ein Ma für die Intensität der Gravitation und kann in den ystemen des Euklidischen Universums auf Grund der Unendlichkeit der auf t bezogenen Lichtgeschwindigkeit als Newtonsches Potenzial [6] identifiziert werden: = φ ρ( y, t) ( x, t) 4 π γ dy. (3.1) x y G Das Potenzial bestimmt die Gravitationsintensität hier unter Berücksichtigung der Teilchenbewegung. Dieser Zusammenhang wird durch den Gravitationsparameter γ hergestellt, der dadurch, bezogen auf die Galilei Zeit, keine Konstante ist. Auf Grund der Gravitationsäquivalenz (9.4) können wir mit Hilfe des auf die Uhrenzeit bezogenen Potenzials bestimmen: =.. Wir erhalten = φ ( x, t ρ( y, t) ) 4 π γ dy, (3.) x y G wobei nun als Newtonsche Gravitationskonstante = / = 6, km 3 /kg/s (3.3) angesehen werden kann, die sich mit Hilfe der Poissonschen Gleichung (versehen mit geeigneten andbedingungen) berechnen lässt: Δφ 4 π γ ρ. (3.4) Dabei setzen wir voraus, dass die Dichte im wesentlichen beschränkt und integrierbar ist (atz von Poisson). Für den speziellen Fall kugelförmiger Gebiete G erhält man γ (x) =.5 γ m m / r / (3 r / ),, r r, (3.5) wobei der adius von G, m o = G dy die in G befindliche Masse und r der Abstand zum Mittelpunkt der Kugel sind.

15 Die Teilchendichte in (3.4) unterliegt der Massenerhaltung, siehe auch (17): dρ ρ t u k 15 ρ ρˆ t. (33) Dabei beschreibt ρˆ t eine Dichtequelle (oder senke), mit der auch Urknallerscheinungen zu erfassen wären, siehe Abschnitt 7. Auf Grund der so zu einem Zeitpunkt entstehenden Verteilung der Teilchenmasse wird dann im Universum ein Potenzialfeld und damit eine Gravitationskraft erzeugt, die eine weitere Ausbreitung der Teilchenmasse auslöst. 6. Teilchengeschwindigkeiten im Euklidischen Universum In Übereinstimmung mit der Newtonschen Theorie nennen wir die raumartige Geschwindigkeit u eines Teilchens - hyperbolisch, wenn u φ - parabolisch, wenn u φ (34.1) - elliptisch, wenn u φ gilt. Bezogen auf Uhrenzeiten ist eine Teilchengeschwindigkeit u dementsprechend genau dann - hyperbolisch, wenn u φ - parabolisch, wenn u φ (34.) - elliptisch, wenn u φ ist. Da sich die Masse Energie Äquivalenz (3.1) wegen (5.6) und (5.7) auch in der Form E - E o = ½. m. o ( u φ ) = ½. M. ( u φ ) (34.3) darstellen lässt, sind Teilchengeschwindigkeiten genau dann gilt. -hyperbolisch, wenn E > E o - parabolisch, wenn E = E o (34.4) - elliptisch, wenn E < E o Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen (Photonen mit =. Damit ist die uheenergie dann eben- uhemasse m und den Lorentz Faktor falls gleich Null : u c ), haben eine E. (35.1)

16 16 Die Gesamtenergie E* eines Photons ergibt sich dementsprechend aus (34.3): E* = ½. M* (c φ ) (35.) Dabei kann M* einen von Null verschiedenen, endlichen Wert annehmen: < M* = m / < +. Die Lichtgeschwindigkeit ist dann gilt. -hyperbolisch, wenn c φ ( E > ) - parabolisch, wenn c φ ( E = ) (35.3) - elliptisch, wenn c φ ( E < ) Dabei können die Lichtstrahlen gebeugt oder umgelenkt werden ohne ihre Geschwindigkeit einzubüen. 7. Kosmologische Einordnung Das euklidische, also flache Universum fasst das ursprünglich räumlich-dreidimensionale Universum Newtons mit seiner ordnenden absoluten Zeit zu einer vierdimensionalen aumzeit zusammen. Dabei wird die Absolutheit von aum und Zeit des Newtonschen Universums relativiert. Die vierdimensionalen ysteme des Euklidischen Universums haben drei raumartige und eine zeitartige Koordinate. Wir gehen davon aus, dass die zeitartige Koordinate eines Universums (hier x 4 ) Ereignisse stets in der eihenfolge ihres Geschehens ordnet und damit auch die Alterung der Materie kontrolliert. Gesetze der Physik müssen sich daher in ihrer zeitabhängigen Formulierung auf die zeitartige Koordinate beziehen. Aus der metrischen Fundamentalform folgend, ist im Euklidischen Universum im Gegensatz zur T Einsteins nicht die Uhrenzeit sondern die Galilei Zeit (bei Einstein als Eigenzeit betrachtet) Koordinatenzeit der zeitartigen Koordinate. Die Galilei Zeit und nicht die Uhrenzeit ordnet dementsprechend die Ereignisse im Euklidischen Universum in der eihenfolge ihres Geschehens und kontrolliert auch die Alterung der Materie. Das Prinzip der Konstanz und Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit bleibt im Euklidischen Universum, allerdings bezogen auf die Uhrenzeit, erhalten. Daraus folgt auf Grund von Äquivalenz (11) dann, dass die Vakuumlichtgeschwindigkeit bei Bezug auf die Galilei Zeit im Euklidischen Universum unendlich gro sein muss. Dadurch können Galilei Transformationen nunmehr berechtigt auf euklidische ysteme angewendet und das Gravitationspotenzial mit Hilfe der Poissonschen Gleichung (3.4), siehe auch [6], und der Gravitationsäquivalenz (9.3) bestimmt werden. Anmerkung: Die Verwendung der Lorentz Transformation anstelle der Galilei Transformation löste in der T das klassische elativitätsprinzip der Newtonschen Physik ab und ermöglichte damit einerseits, das Prinzip der Konstanz und Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit sowie das Kovarianzprinzip der T zu realisieren,

17 17 führte andererseits aber weit (wir meinen, übermäig weit) über den ahmen der Newtonschen Physik hinaus [1}. Das durch absolute Eigenschaften gekennzeichnete Newtonsche Universum wurde damit zu einem Universum, in dem wesentliche Erscheinungen nur noch bedingt und systemabhängig, also relativ, gelten. o ist die Gleichzeitigkeit von Ereignissen dort keine Invariante der ysteme mehr. Die Alterung der Materie läuft widersprüchlich ab (Zwillingsparadoxon, [1]). Die Inertialzeit muss sich dehnen lassen, und die raumartige Gröe von Körpern unterliegt der Lorentz Kontraktion [1]. Im Euklidischen Universum treten diese Probleme nicht auf. Wesentliche Erscheinungen bleiben hier systemunabhängig und gelten teilweise sogar absolut [8]. Die Newtonschen Gesetze der Mechanik werden bei kleinen Teilchengeschwindigkeiten unstrittig als gültig angesehen. In dieser Arbeit haben wir Gesetze der Mechanik in kanonischer Weise auf die vierdimensionale aumzeit des Euklidischen Universums übertragen und damit eine Erweiterung ihres Gültigkeitsbereiches angestrebt. Nach unserer Auffassung können die so hergeleiteten relativistischen Gesetze auf Grund der Art ihrer Übertragung auch bei groen Teilchengeschwindigkeiten in der vierdimensionalen aumzeit gelten. Davon sind wir bereits bei der Formulierung des Korrespondenzprinzips für das Euklidische Universum ausgegangen. Obwohl die Galilei Zeitdauer von Ereignissen im Euklidischen Universum selber im Allgemeinen nicht direkt messbar ist, kann sie doch mit Hilfe von Uhrenzeitmesswerten, beispielsweise basierend auf (7) bis (9), berechnet werden. o lassen sich auch die relativistischen Newtonschen Gesetze der Mechanik, die ursprünglich auf die Galilei Zeit bezogen sind, äquivalent mit Hilfe von uhrenzeitbezogenen Variablen formulieren, und können dann in dieser Form angewendet werden, siehe dazu (1.3), (1.3), (18.4), (7.6), (3.1) und (34.3). Aus messtechnischen Gründen kann es darüber hinaus erforderlich werden, auf uhrenzeitbezogene Beziehungen, auch anderer Theorien, zurückzugreifen. Dabei ist zu beachten, dass für diese Beziehungen das Korrespondenzprinzip gelten sollte, und Äquivalenzbeziehungen der Art (7.6) gebraucht werden. Anmerkung: Bei groen Teilchengeschwindigkeiten können sich mit Bezug auf die Uhrenzeit hergeleitete Gesetze von den Gesetzen, die sich auf die Galilei Zeit beziehen, erheblich untescheiden. Beispielsweise wächst die Energiemase M, siehe (7.6), im Bereich groer Teilchengeschwindigkeiten wesentlich schneller als die Energiemasse M 1/.. M (im Bereich kleiner Teilchengeschwindikeiten gilt M M m o ), siehe dazu (7.6), (7.8) und Abb 1. Im Euklidischen Universum spielt das dialektische Verhältnis von Endlichkeit und Unendlichkeit, das hier über Äquivalenzbeziehungen, siehe (11), beherrschbar gemacht werden konnte, eine besondere olle. Das betrifft insbesondere Teilchengeschwindigkeiten, die Gravitation, speziell das Gravitationspotenzial und, damit verbunden, Kräfte und Energien. Im Einsteinschen inne werden aum und Zeit erst mit einem Urknall gebildet. In der Newtonschen Physik dagegen sind aum und Zeit a priori vorhanden. Wir haben uns in Hinsicht auf das Euklidische Universum der Newtonschen Auffassung angeschlossen: Jedes ystem des Euklidischen Universums können wir uns als Teilsystem des euklidischen Punktraumes 4 denken, in dem sich eine - möglicherweise durch Urknall gebildete - Masse befindet. Der Urknall bildet hier nicht den aum, sondern erzeugt an einem (oder mehreren) aumzeitpunkten X o 4 eine Urmasse, die sich dann mit wachsender zeitartiger Koordinate x 4 im 4 ausbreiten kann.

18 18 Im Universum so entstehende oder bereits vorhandene Massen unterliegen dann der Gravitation, können sich also in Abhängigkeit von ihrer lokalen Konzentration gegenseitig anziehen. Genauer ausgedrückt entsteht ein egelmechanismus, eine Art elbstorganisation der Materie also, in dem die lokale Dichte der Massen in einem euklidischen ystem zu einem Zeitpunkt t das Gravitationspotenzial erzeugt (Gleichung (3.)). Der damit entstehende Gradient von bildet dann eine konservative Kraft, die Gravitationskraft (Gleichung (1.1)), die nun ihrerseits eine elativbewegung der Massen zueinander auslöst (Gleichung ()) und damit ihre Dichteverteilung ändert (Gleichung (33)). peziell bei zentral verteilter Masse ist die Gravitationskraft auf Grund des Flächensatzes auf den Masseschwerpunkt gerichtet und vermittelt damit den Eindruck einer Masseanziehung. Gravitationsgebiete in euklidischen ystemen des Universums können auf Grund dieses egelmechanismus bei unendlich groen Übertragungsgeschwindigkeiten und damit auch bei unendlich groen Gravitationspotenzialen ohne Zeitverzögerung Einfluss auf Körper ausüben, die sich an möglicherweise weit entfernten anderen Orten in der aumzeit des ystems befinden. Literatur 1. Prochnow, D.: Euklidisches Universum alternative elativitätstheorie. General cience Journal Nr. 364 (11). Einstein, A.: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Ann. Phys. 17, (195) 3. Einstein, A.: Über die spezielle und die allgemeine elativitätstheorie. pringer Verlag, Berlin Heidelberg 9 (4. Auflage) 4. tephani, H.: Allgemeine elativitätstheorie. Dt. Verlag der Wissenschaften, Berlin Lenk,., Macheleit, G., Möbius, P.: tatistische Physik, elativitätstheorie, Elementarteilchen. tudienbücherei, Bd. 1, Dt. Verlag d. Wiss. Berlin Günter, N.M.: Die Potentialtheorie und ihre Anwendung auf Grundaufgaben der math. Physik. Teubner Verlagsges., Leipzig Michelson, A.A., Morley, E.W.: On the relative motion of the earth anhe luminiferous ether. Am. J. of cience (3.eries) 34(3), (1887) 8. Prochnow, D.: Absolutheit derr Gleichzeitigkeit im Euklidisches Universum. General cience Journal Nr. 43 (1)

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