Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen

Transkript

1 Prof. Dr. F. Otto Fachbereich Elektrotechnik/Informatik Universität Kassel Klausur zur Vorlesung Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen SS 2011 Name: Vorname: Matrikelnummer: Hinweise: Tragen Sie zunächst Namen und Matrikelnummer oben ein. Die Klausur besteht aus 6 Aufgaben, bei denen jeweils 10 Punkte erreichbar sind. Die Bearbeitungszeit beträgt zwei Stunden. Lesen Sie sich die jeweilige Aufgabenstellung genau durch, ehe Sie mit der Bearbeitung anfangen. Schreiben Sie deutlich und gut leserlich, da unleserliche Antworten leider nicht gewertet werden können! Achten Sie ferner auf die korrekte formale Schreibweise und vergessen Sie nicht den entsprechenden Antwortsatz! Bearbeiten Sie die Aufgaben auf dem jeweiligen Blatt. Sollte der Platz nicht ausreichen, so können Sie auf dem freien Blatt gegenüber und auf den freien Blättern am Ende fortfahren. Im letzteren Fall bitte unbedingt einen entsprechenden Hinweis auf der Aufgabenseite angeben. Lose Blätter sind nicht erlaubt! Insbesondere werden sie bei der Korrektur nicht berücksichtigt. Ferner sind keine Hilfsmittel außer einem handschriftlich beschriebenen Blatt zugelassen. Die Ergebnisse finden Sie im Online-Prüfungsverwaltungssystem der Informatik. Der Ort und die Zeit für die Einsichtnahme in die Klausur werden durch Aushang und auf der WWW-Seite für die Klausur angekündigt. VIEL ERFOLG! Punktzahl (von 60): Note:

2 AUFGABE 1. Gegeben ist die Turingmaschine M = ( {z 0, z 1, z 2, z 3, z 4, z e }, {0, 1}, {0, 1, }, δ, z 0,, {z e } ), wobei δ durch den folgenden Graphen gegeben ist: 0/0,N /0,N /,N 0/,R 1/,R z 0 1/,R z 1 1/,R z 2 0/,R 1/,R z 3 /1,N z e 0/,R z 4 0/,R 1/,R /0,N Die von M berechnete Funktion ist f : N N. a) Simulieren Sie M auf den Eingaben 1, 2 und 4. Geben Sie dazu für jede Eingabe die Rechnung und den von M berechneten Funktionswert an. b) Geben Sie die von M berechnete Funktion f explizit an. c) Lässt sich f primitiv-rekursiv darstellen? Begründen Sie! d) Geben Sie mindestens drei weitere Berechenbarkeitsmodelle an, in denen f dargestellt werden kann. 1

3 2

4 AUFGABE 2. Zeigen Sie, dass die Sprache H 42 = { w M w hält bei Eingabe 42 mit Ausgabe 24 an } unentscheidbar ist. Hierbei bezeichnet M w die Turing-Maschine, die durch das Wort w kodiert wird. Hinweis: Zeigen Sie, dass sich eine bereits als unentscheidbar bekannte Sprache auf H 42 reduzieren lässt. 3

5 4

6 AUFGABE 3. a) Stellen Sie die folgenden Funktionen primitiv-rekursiv dar. Alle in der Veranstaltung als primitiv-rekursiv nachgewiesenen Funktionen dürfen verwendet werden. (i) f(n) = n 3 + 2n 2 + 2n + 1 (ii) g(n) = n (i + 3) i=0 b) Gegeben ist die µ-rekursive Darstellung der Funktion h : N N: h(n) = µf(m, n) mit f(m, n) = (m 2 n) + (n m 2 ). Berechnen Sie h(4) und h(8). Geben Sie nun h explizit an. 5

7 6

8 AUFGABE 4. a) Kreuzen Sie für jede der folgenden Fragen entweder wahr oder falsch an. Jede richtige Antwort ergibt 0,5 Punkte, für jede falsche Antwort werden 0,5 Punkte abgezogen. Hinweis: Für die folgenden Fragen bezeichnet: REG die Menge der regulären Sprachen, DCFL die Menge der deterministisch kontextfreien Sprachen, CFL die Menge der kontextfreien Sprachen, CSL die Menge der kontextsensitiven Sprachen, L 0 die Menge der Typ 0-Sprachen, RE die Menge der rekursiv-aufzählbaren (semi-entscheidbaren) Sprachen, REC die Menge der rekursiven (entscheidbaren) Sprachen. wahr falsch 1. { w w {a, b} } REG\ 2. { w#w R w {a, b} } CFL\DCFL 3. { w#w R #w w {a, b} } CSL\CFL 4. { w#w R #w#w R w {a, b} } L 0 \CSL 5. Jede Teilmenge einer abzählbaren Sprache ist wieder abzählbar. 6. Die Menge aller Teilmengen einer abzählbaren Sprache ist abzählbar. 7. Die Funktion g(n) = µf(m, n) mit f(m, n) = 0 ist berechenbar aber nicht total 8. Jede totale und berechenbare Funktion ist primitiv-rekursiv. 9. Mehrband-Turingmaschinen können mehr Sprachen akzeptieren als Einband-Turingmaschinen. 10. Die Ackermann-Funktion ist nicht primitiv-rekursiv, weil ihr Funktionswert auf bestimmten Eingaben nicht definiert ist. 11. Man kann entscheiden, ob eine Turingmaschine M auf einer Eingabe n nach t Schritten anhält. 12. Es gilt: abzählbare Sprachen REC RE 7

9 b) Beantworten Sie die folgenden Fragen kurz. 1. Vervollständigen Sie: Sei L Σ mit L RE und L RE, dann gilt Geben Sie eine Sprache an, die nicht in L 0 liegt Geben Sie eine nicht berechenbare Funktion an Geben Sie eine Lösung folgender Instanz des PCP an: ( ( 0101), ( 1 0), ( 00 0 ) )

10 AUFGABE 5. (Reguläre Ausdrücke) a) Zeigen Sie, dass eine Sprache L Σ genau dann durch einen regulären Ausdruck ohne -Symbol beschrieben werden kann, wenn L endlich ist. Hinweis: Folgende zwei Aussagen sind also zu zeigen: (i) Wenn L endlich ist, dann lässt sich L durch einen regulären Ausdruck ohne -Symbol beschreiben. (ii) Für jeden regulären Ausdruch r gilt: Wenn r kein -Symbol enthält, dann ist L(r) endlich. b) Sei r ein regulärer Ausdruck, in dem das -Symbol vorkommt. Ist die Sprache L(r), die von r beschrieben wird, dann notwendigerweise unendlich? (Beweis oder Gegenbeispiel) c) Die erweiterten regulären Ausdrücke ERA sind wie folgt definiert: ist ein ERA mit L( ) =. ε ist ein ERA mit L(ε) = {ε}. Für alle Buchstaben a Σ ist a ein ERA mit L(a) = {a}. Seien r 1 und r 2 ERA. Dann ist (r 1 r 2 ) ein ERA mit L(r 1 r 2 ) = L(r 1 )L(r 2 ), es ist (r 1 r 2 ) ein ERA mit L(r 1 r 2 ) = L(r 1 ) L(r 2 ), es ist (r 1 ) ein ERA mit L((r 1 ) ) = (L(r 1 )), es ist (r 1 r 2 ) ein ERA mit L(r 1 r 2 ) = L(r 1 ) L(r 2 ), es ist (r 1 ) c ein ERA mit L((r 1 ) c ) = Σ L(r 1 ). Welche Sprachklasse wird von den ERA charakterisiert? Begründen Sie kurz. 9

11 10

12 AUFGABE 6. (Lineare Sprachen) Eine lineare Grammatik ist eine Grammatik der Form (V, Σ, P, S), bei der jede Produktion (l r) P folgende Bedingungen erfüllt: (i) l V und (ii) r (Σ V Σ ) Σ. Mit LIN bezeichnen wir die Klasse der linearen Sprachen, d.h., die Klasse der Sprache, die von linearen Grammatiken erzeugt werden können. a) Zeigen Sie, dass LIN eine echte Obermenge der Klasse REG der regulären Sprachen ist. b) Warum ist LIN eine Teilmenge von CFL (Klasse der kontextfreien Sprachen)? c) Zeigen Sie, dass die Klasse LIN unter Vereinigung abgeschlossen ist. d) Zeigen Sie, dass die Klasse LIN weder unter Durchschnitt noch unter Komplementbildung abgeschlossen ist. 11

13 12

14 13

15 14

16 15

17 16

18 17