Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180. Herleitung bzw. experimentelle Begründung in der Schule: Durch Punktspiegelung. Bedeutung+Winkelsumme 1

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1 edeutung+winkelsumme 1 Winkelsumme Kpitel 5: Dreiekslehre 5.1 edeutung der Dreieke Durh Tringultion lssen sih Vieleke in Dreieke zerlegen ( n Ek in n- Dreieke) eweis von Sätzen mittels Sätzen üer Dreieke (z.. Winkelsumme, Fläheninhlt, Kongruenz) 5. Winkelsumme im Dreiek Die Winkelsumme im Dreiek eträgt 180. Herleitung zw. experimentelle egründung in der Shule: Durh Prkettierung experimentell Durh Punktspiegelung Durh Winkel n Prllelen Stz 5.1 Die Winkelsumme im n-ek eträgt (n-) 180. n = (n ) 180 (n ) 180

2 esondere Punkte im Dreiek esondere Punkte im Dreiek esondere Linien und Punkte im Dreiek Stz 5. (Stz vom Mittendreiek) Verindet mn die Seitenmitten eines Dreieks, so liegen die Seiten des entstehenden Dreieks prllel zu Seiten des usgngsdreieks und sind hl so lng. eweis trivil mit Hilfe der Strhlensätze ( Üungen) eweis ohne Strhlensätze (Shule): usgngsdreiek, Mittendreiek. Spiegle ds Mittendreiek n seinen Seitenmitten M, M, M.. ei Punktspiegelung gilt: ildstreke Originlstreke. Hinweis: Eigentlih wird so nur ewiesen, dss mn, usgehend von ein Dreiek erhält, dessen Mittendreiek ist. Es wäre zu zeigen, dss mn - usgehend von und dessen Mittendreiek - durh diese Spiegelung wieder zu gelngt. ' M' ' M' M' ' Stz 5.3 (esondere Linien im Dreiek) In einem Dreiek shneiden sih ) die Mittelsenkrehten im Umkreismittelpunkt U; Dreiek spitzwinklig: U innerhl des Dreieks Dreiek rehtwinklig: U uf der längsten Dreieksseite Dreiek stumpfwinklig: U ußerhl des Dreieks ) die Winkelhlierenden im Inkreismittelpunkt; ) die Seitenhlierenden im Shwerpunkt S; dieser teilt die Seitenhlierenden im Verhältnis :1; d) die Höhen im Höhenshnittpunkt.

3 Umkreismittelpunkt Inkreismittelpunkt Umkreismittelpunkt Wo liegen die Mittelpunkte ller Kreise, die durh und gehen? Wo liegen die Mittelpunkte ller Kreise, die durh und gehen? Mittelsenkrehte von M Mittelsenkrehte von M Der Mittelpunkt des Kreises, der durh lle Ekpunkte geht, ist der Shnittpunkt der Mittelsenkrehten. Inkreismittelpunkt Wo liegen die Mittelpunkte ller Kreise, die die Seiten und erühren? Wo liegen die Mittelpunkte ller Kreise, die die Seiten und erühren? Winkelhlierende Winkelhlierende Der Mittelpunkt des Kreises, der lle Seiten erührt, ist der Shnittpunkt der Winkelhlierenden.

4 Höhenshnittpunkt Shwerpunkt Höhenshnittpunkt Mittelsenkrehte H h Die Mittelsenkrehten von Dreiek gehen durh einen Punkt h h Mittelsenkrehte Die Höhen von Dreiek gehen durh einen Punkt Mittelsenkrehte Shwerpunkt M M M M s s M M M M M M S S s s M M Die Prllelen hen lle gleihen stnd teilt die rote Linie im Verhältnis :1. Eenso die lue. M

5 Euler-Gerde Kongruenzsätze 1 Euler-Gerde Umkreismittelpunkt U, Shwerpunkt S und Höhen-Shnittpunkt H liegen uf einer Gerden. Diese heißt Euler-Gerde. Es ist SH = US. F M H S F U M geht durh Strekung mit Zentrum S und Strekfktor ½ in M M M üer. Die Höhen von gehen dei in die Höhen M M M üer. F M Diese sind die Mittelsenkrehten von. Dmit geht H durh Strekung mit Zentrum S und Strekfktor -½ in U üer. 5.4 Kongruenzsätze Die Kongruenzsätze hen wir zu eginn ls xiome in der folgenden Form vorusgesetzt: Stimmen zwei Dreieke in den drei Seiten (sss), den zwei n eine Seite nliegenden Winkeln (wsw), zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel (sws), zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel (Ssw), üerein, dnn stimmen sie in llen Mßen üerein.

6 Kongruenzsätze Ähnlihe Figuren 1 Wir hen in den vorngehenden Kpiteln gezeigt: Je zwei in llen estimmungsstüken üereinstimmenden Dreieke können durh genu eine Kongruenzildung ufeinnder geildet werden. Dmit wird der Shverhlt ls rihtiger Kongruenzstz formuliert: Stimmen zwei Dreieke in den drei Seiten (sss), den zwei n eine Seite nliegenden Winkeln (wsw), zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel (sws), zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel (Ssw), üerein, dnn können sie durh eine Kongruenzildung ufeinnder geildet werden. 5.5 Ähnlihe Figuren und Ähnlihkeitssätze Definition 5.1 Zwei Figuren heißen ähnlih es git eine Ähnlihkeitsildung, die die Figuren ufeinnder ildet. Stz 5.4 Ähnlihe Figuren stimmen in llen einnder entsprehenden Winkeln und in den Längenverhältnissen ller einnder entsprehenden Linien üerein. eweis: Winkel: trivil Längenverhältnisse: ei einer zentrishen Strekung, werden lle Streken mit dem gleihen Fktor k multipliziert, die Kongruenzildung erhält die Strekenlängen

7 Ähnlihe Figuren Ähnlihe Figuren 3 emerkung: Die Gleihheit von Längenverhältnissen gilt niht nur für Längen von Streken sondern uh für die Längen niht gerdliniger Linien (z.. Kreisögen usw.) α k α k Um die Ähnlihkeit von Dreieken nhzuweisen enutzt mn häufig die Ähnlihkeitssätze für Dreieke. Mn gewinnt sie unmittelr us den entsprehenden Kongruenzsätzen für Dreieke. Ähnlihkeitsstz entsprehender Kongruenzstz Zwei Dreieke sind zueinnder ähnlih, wenn sie üereinstimmen in Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie üereinstimmen in den Verhältnissen der drei Seiten zwei Winkeln den Verhältnissen von zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel den Verhältnissen von zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel den drei Seiten (sss) einer Seite und den nliegenden Winkeln (wsw) zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel (sws) zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel (Ssw)

8 Geometrishe Orte 1 Geometrishe Orte 5.6 Geometrishe Orte Gegeen: Dreiek. Die Seite wird festgehlten. wird so ewegt, dss der Fläheninhlt, der Umfng, der Winkel γ unverändert leit. uf welher Linie läuft? n welhem Ort efindet sih? Mn nennt diese Kurven (Punktmengen) den geometrishen Ort der Punkte mit einer gewissen Eigenshft. ufge Definieren Sie die folgenden Kurven jeweils ls geometrishen Ort : Der Kreis mit Mittelpunkt M und Rdius r. Die Mittelsenkrehte der Streke. Die Winkelhlierende des Winkels h f, h g h f, h g ls Shenkel. mit den Hlgerden Die Seitenhlierende s zur Seite im Dreiek. Welhe Definition einer Ellipse ls Ortslinie ergit sih us der. Eigenshft der eispiele der vorngehenden Seite?

9 Winkelsätze 1 Winkelsätze 5.7 Winkelsätze: Umfngwinkelstz Stz 5.5 ) Die Umfngswinkel ( Peripherie-Winkel ) uf einem Kreisogen sind lle gleih groß (und ½ so groß wie der zugehörende Mittelpunktswinkel) ) Die Sheitel ller Dreieke mit gleihem Winkel π ei üer einer Streke liegen uf einem Kreisogen, der durh und verläuft. Kurz: Der geometrishe Ort ller Punkte, für die die Streke unter dem gleihen Winkel π ersheint, ist ein Kreisogen durh die Punkte und. Sonderfll: Stz des Thles ) Der Winkel zwishen der Sehne und der Tngente in (Sehnen-Tngenten-Winkel) ist eenso groß wie der Peripheriewinkel π (und ½ so groß wie der zugehörende Mittelpunktswinkel). 5.7 Winkelsätze: Umfngwinkelstz zu (): Umfngswinkel = π = α + β Mittelpunktswinkel = λ α α π γ β λ δ λ/ β π α+γ = 180 β+δ = 180 λ = γ - δ = (180 -α) - (180 -β) = α + β Umfngswinkel = 1/ λ konstnt! ndere Lgen des Punktes? Zu () Sei K der Kreis üer zum Winkel π us (). Für Punkte ußerhl des Kreises K ist der Winkel ei kleiner ls π, für innerhl von K größer ls π. egründung?

10 Flähensätze 5.8 Flähensätze: Stzgruppe des Pythgors Stz 5.6 Im rehtwinkligen Dreiek ist ein Kthetenqudrt so groß wie ds Rehtek us Hypotenuse und nliegendem Hypotenusenshnitt, ist ds Hypotenusenqudrt so groß wie die Summe der Kthetenqudrte, ist ds Qudrt üer der Höhe so groß wie ds Rehtek us den eiden Hypotenusenshnitten. Der klssishe eweis des Kthetenstzes D Ds Qudrt üer der Kthete wird durh Sherung in eine flähengleihes Prllelogrmm üerführt. Grundseite des Prllelogrmms ist D,die Höhe ist eenso lng wie die Seite. D q Ds Prllelogrmm wird um 90 um die Eke gedreht. q Ds Prllelogrmm knn wieder durh Sherung in ds flähengleihe Rehtek mit den Seitenlängen q und üerführt werden. D q eweis Kthetenstz

11 Der klssishe eweis des Stzes des Pythgors us dem Kthetenstz Der Stz des Pythgors folgt unmittelr us der nwendung des Kthetenstzes uf die eiden Kthetenqudrte. eweis Pythgors eweis des Höhenstzes us dem Stz des Pythgors h = p h = q h = + p q = ( p + q) p q = p + q + pq p q = pq h = pq eweis Höhenstz

12 nwendung des Höhenstzes: Umwndlung eines Rehteks in ein flähengleihes Qudrt mit Zirkel und Linel. ufge Gegeen ist ein elieiges Rehtek mit den Seitenlängen und. Gesuht ist ein flähengleihes Qudrt. Zur Streke mit der Länge + wird der Thleskreis K konstruiert und ds Lot h in F errihtet. h Der Shnittpunkt von K mit H ist die Eke eines rehtwinkligen Dreieks mit der Höhe h. Es gilt h = zw. h = F nwendung Höhenstz