Kodieren Von Graphen
|
|
- Curt Weiner
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kodieren Von Graphen Allgemeine Anwendungen: Routenplaner Netzpläne Elektrische Schaltungen Gebäudeerkennung aus Luftaufnahmen Definitionen:? Graph Ein Graph G besteht aus einem geordneten Paar G = (V,E) mit folgenden Komponenten. V = Knotenmenge = (1,2 V ) Anzahl der Knoten E = Kantenmenge: Kante ist zweielementige Teilmenge von V? Gerichteter Graph Kante ist ein geordnetes Paar <v1,v2>, d.h. verbindet die beiden Knoten v1,v2 in einer bestimmten Richtung. d.h. <v1,v2>? <v2,v1> ( 2 verschiedene Kanten) Bsp: Produktionsplan/ Produktionsschritte Sonderfall: Baum? Ungerichteter Graph Kante ist ein ungeordnetes Paar <v1,v2>, d.h. verbindet die Knoten v1,v2 ohne Richtungsangabe. Bsp : Wegbeschreibung, Verkehrsnetz (ohne Einbahnstraßen) Ungerichtete Graphen sind ein Spezialfall von gerichteten Graphen, weil zu jeder (gerichteten) Kante <v1,v2> eine (gerichtete) Kante <v2,v1> existiert. d.h. <v1,v2> = <v2,v1> ( beides die gleiche Kante)
2
3 Verfahren 1. Adjazenzmatrix Eine Adjazenzmatrix ist eine boolsche (n x n)-matrix A = (aij). Die Einträge aij beschreiben die Kanten von Knoten i zu Knoten j. Besteht eine Verbindung zwischen den Knoten i und j, so ist aij gleich 1, sonst gleich 0. Handelt es sich bei dem Graph um einen ungerichteten Graph, so ist die Matrix symmetrisch. Gewichteter Graph: Um die Kantenbewertungen abzulegen wird oft anstatt der boolschen Matrix eine reelle Matrix verwendet, wo an jeder Stelle aij die Bewertung steht (1 für nicht vorhandene Kante). Diese Matrix wird oft Strukturmatrix genannt. Speicherbedarf: = V? unabhängig von der Anzahl der Kanten? ungünstig für Graphen mit wenig Kanten? Adjazenzmatrix für dichte (hohe Kantenanzahl) Graphen geeignet 2. Inzidenzmatrix Bei einer Inzidenzmatrix A = (aij) wird jeder Knoten durch eine Zeile und jede Kante durch eine Spalte beschrieben. Wenn die Kante j den Knoten i verlässt, ist aij=-1. Wenn die Kante j auf den Knoten i zeigt, ist aij=1. Ansonsten ist aij=0.
4 Speicherbedarf: = V * E? Speicherbedarf hängt sowohl von der Kanten- als auch von der Knotenanzahl ab.? Die Inzidenzmatrix verbraucht somit bei Graphen mit geringer Kantenanzahl ( E < V ) weniger Speicherplatz als die Adjazenzmatrix bei größer Anzahl von Kanten ( E > V ) ist es genau umgekehrt. Im Computer haben Adjazenz- bzw. Inzidenzmatrizen den Vorteil von schnellen Zugriffs- und Berechnungszeiten. Der Vorteil der Matrizendarstellung ist, daß man sofort entscheiden kann ob eine Kante im Graph enthalten ist oder nicht. Sie haben allerdings zwei entscheidende Nachteile. Zum einen ist die Größe des Graphen durch die Festlegung der Matrixgröße begrenzt. Dies kann man nur durch aufwendige Darstellungen einer Matrix beheben. Zum anderen ist eine Adjazenzbzw. Inzidenzmatrix nur für relativ dichte Graphen vorteilhaft, da die meisten Einträge bei lichten Graphen Null sind. Nullen zu speichern nimmt unnötig viel Speicherplatz in Anspruch. Obwohl Adjazenzlisten aufwendiger zu programmieren sind, kann man mit ihnen die beiden erwähnten Nachteile beheben. 3.Adjazenzlisten Die Grundidee einer Adjazenzliste ist, jeden Knoten in einem Graph mit seinen Adjazenzknoten (benachbarten Knoten) direkt zu verbinden. Dazu werden die Knoten in einem Feld abgelegt. Jeder Knoten besitzt einen Verweis auf eine Liste welche alle benachbarten Knoten enthält.
5 Speicherbedarf: Für gerichtete Graphen = V + E Für ungerichtete Graphen = V +2 E?Die Kodierungslänge steigt mit wachsender Kantenanzahl stark an. Bereits ab ca. 18% der möglichen Kantenanzahl werden mehr Bits als für die Adjazenzmatrix benötigt.
6 Adjazenz-Listen können leicht angepasst werden um gewichtete Graphen darzustellen. Bei einem gewichteten Graph hat jede Kante ein Gewicht. Dieses Gewicht lässt sich beim Knoten v in der Liste ADJ[v] abspeichern. Diese Darstellung ist einfach und robust. Der einzige Nachteil ist, dass man nicht schnell so leicht feststellen kann, ob Kante (v1,v2) im Graph enthalten ist. Man muss dann die Liste Adj[v1] durchsuchen. Diese Datenstruktur ist viel komplexer als eine Matrix. Sie ist aber für lichte Graphen, wie sie im Verkehrswesen zum überwiegenden Teil auftreten, sehr gut geeignet. 4. Inzidenzlisten Kanten und Knoten werden in separate Listen gespeichert. Jeder Kanteneintrag beinhaltet eine Referenz zum Quellknoten und Zielknoten. Speicherbedarf: = V + E? bei ungerichteten Graphen kann einfach eine andere Interpretation der Kantenliste erfolgen wodurch der Speicherbedarf nicht vergrößert wird, ansonsten steigt der Speicherbedarf wie bei Adj-Listen auf V +2 E an. Prüfung auf Enthaltensein einer Kante <v1,v2> jedoch sehr schwierig da evtl. die gesamte Kantenliste durchlaufen werden muss.
7 5. Permutationsreihe Ein anderer Ansatz zur kompakten Codierung von Graphen wurde von Cook und Holder im Rahmen einer Forschungsarbeit im Bereich des maschinellen Lernens vorgestellt. Cook und Holder nutzen dieses Stringcodierschema nun zur Codierung der Adjazenzmatrizen von Graphen. Dabei wird jede Zeile eines Graphen als Bitstring aufgefasst, und es werden für jede Zeile die Anzahl der Einsen sowie die Nummer der Permutation codiert. Die maximale Anzahl von Einsen pro Zeile ist durch den maximalen Knotengrad des Graphen beschränkt. Deshalb wird nach der Codierung der Knotenanzahl des Graphen zunächst der maximale Knotengrad codiert. Bsp:
8
Relationen und Graphentheorie
Seite Graphentheorie- Relationen und Graphentheorie Grundbegriffe. Relationen- und Graphentheorie gehören zu den wichtigsten Hilfsmitteln der Informatik, die aus der diskretenmathematik stammen. Ein Graph
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen SS09. Foliensatz 16. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik
Foliensatz 16 Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 2009 TU Ilmenau Seite 1 / 45 Graphen TU Ilmenau Seite 2 / 45 Graphen 1 2 3 4 5 6 7 8
Mehr15. Elementare Graphalgorithmen
Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen
MehrKürzeste Wege in Graphen. Orte mit Straßenverbindungen. Coma I Rolf Möhring
Kürzeste Wege in Graphen Orte mit Straßenverbindungen Orte als Knoten eines Graphen Straßenverbindungen als Kanten eines Graphen Ungerichteter Graph G = (V,E) Kanten Knoten Knotenmenge V = {,,n} oder {,,n
MehrEinführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Bäume & Graphen Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr, o.n.v. Sommersemester
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche
MehrVorlesung Datenstrukturen
Vorlesung Datenstrukturen Graphen (1) Darstellung Traversierung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 441 Generalisierung von Bäumen Verallgemeinerung (von Listen zu Graphen)
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 24-6. Sitzung Marcus Georgi tutorium@marcusgeorgi.de 04.12.2009 1 Repräsentation von Graphen im Rechner Adjazenzlisten Adjazenzmatrizen Wegematrizen 2 Erreichbarkeitsrelationen
MehrGraphen. Graphen und ihre Darstellungen
Graphen Graphen und ihre Darstellungen Ein Graph beschreibt Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge von Objekten. Die Objekte werden als Knoten des Graphen bezeichnet; besteht zwischen zwei Knoten
MehrGraphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke
Graphen Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke 2 Was ist ein Graph? Ein Graph ist in der Graphentheorie eine abstrakte Struktur,
MehrProgrammiertechnik II
Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind
MehrProgrammiertechnik II
Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind
Mehr3. Die Datenstruktur Graph
3. Die Datenstruktur Graph 3.1 Einleitung: Das Königsberger Brückenproblem Das Königsberger Brückenproblem ist eine mathematische Fragestellung des frühen 18. Jahrhunderts, die anhand von sieben Brücken
MehrEinheit 11 - Graphen
Einheit - Graphen Bevor wir in medias res (eigentlich heißt es medias in res) gehen, eine Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Notationen für Graphen. Graphen bestehen aus Knoten (vertex, vertices)
MehrTheoretische Informatik 1 WS 2007/2008. Prof. Dr. Rainer Lütticke
Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008 Prof. Dr. Rainer Lütticke Inhalt der Vorlesung Grundlagen - Mengen, Relationen, Abbildungen/Funktionen - Datenstrukturen - Aussagenlogik Automatentheorie Formale
MehrGrundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen
Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 2010
MehrKonzepte der Informatik
Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens
MehrVorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (20 Graphen) T. Lauer
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (20 Graphen) T. Lauer 1 Motivation Wie komme ich am besten von Freiburg nach Ulm? Was ist die kürzeste Rundreise durch eine gegebene Menge von Städten?
MehrKapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung
Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen
Mehr2. Repräsentationen von Graphen in Computern
2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen
Mehr= n (n 1) 2 dies beruht auf der Auswahl einer zweielementigen Teilmenge aus V = n. Als Folge ergibt sich, dass ein einfacher Graph maximal ( n E = 2
1 Graphen Definition: Ein Graph G = (V,E) setzt sich aus einer Knotenmenge V und einer (Multi)Menge E V V, die als Kantenmenge bezeichnet wird, zusammen. Falls E symmetrisch ist, d.h.( u,v V)[(u,v) E (v,u)
MehrRouting A lgorithmen Algorithmen Begriffe, Definitionen Wegewahl Verkehrslenkung
Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über
MehrMotivation Kap. 6: Graphen
Motivation Kap. 6: Graphen Warum soll ich heute hier bleiben? Graphen sind wichtig und machen Spaß! Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS Fakultät für Informatik, TU Dortmund Was gibt es
MehrDefinition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.
Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.
MehrGraphen und Bäume. A.1 Graphen
Algorithmen und Datenstrukturen 96 A Graphen und Bäume A.1 Graphen Ein gerichteter Graph (auch Digraph) G ist ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge und E eine Relation auf V ist, d.h. E V V. V heißt
MehrRouting Algorithmen. Begriffe, Definitionen
Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über
Mehr1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie
Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar -
Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Dominic Rose Bioinformatics Group, University of Leipzig Sommersemster 2010 Outline 1. Übungsserie: 3 Aufgaben, insgesamt 30 28 Punkte A1 Spannbäume (10 8
MehrVorlesung Datenstrukturen
Vorlesung Datenstrukturen Graphdarstellungen Maike Buchin 0.6.017 Graphen Motivation: Graphen treten häufig als Abstraktion von Objekten (Knoten) und ihren Beziehungen (Kanten) auf. Beispiele: soziale
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/42 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon an vielen Stellen
MehrGraphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011
Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon
MehrEin Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist.
Graphen Definition: Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Begriffe: Gerichteter Graph: Alle Kanten haben eine Richtung vom Anfangsknoten
MehrKap. 5: Graphen. Carsten Gutwenger Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund. 17. VO DAP2 SS
Kap. 5: Graphen Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 17. VO DAP2 SS 2009 23. Juni 2008 1 Motivation Warum soll ich heute hier bleiben? Graphen sind wichtig und
MehrGrundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen
. Graphen viele praktische (Optimierungs-)Probleme sind als graphentheoretische Probleme formulierbar z.b. in Produktionsplanung, Personaleinsatzplanung,.... Grundlagen gerichteter, ungerichteter und gewichteter
MehrTutorium 23 Grundbegriffe der Informatik (7. Sitzung)
Tutorium 3 Grundbegriffe der Informatik (7. Sitzung) Tutor: Felix Stahlberg SOFTWARE DESIGN AND QUALITY GROUP Source: pixelio.de KIT The cooperation of Forschungszentrum Karlsruhe GmbH and Universität
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Graphen 9/1 Begriffsdefinitionen Ein Graph besteht aus Knoten und Kanten. Ein Knoten(Ecke) ist ein benanntes Objekt. Eine Kante verbindet zwei Knoten. Kanten haben ein Gewicht
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
MehrVerteilen von Bällen auf Urnen
Verteilen von Bällen auf Urnen Szenario: Wir verteilen n Bälle auf m Urnen, d.h. f : B U mit B = {b 1,..., b n } und U = {u 1,..., u m }. Dabei unterscheiden wir alle Kombinationen der folgenden Fälle
MehrGraph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten
Graphentheorie Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten gerichteter Graph (DiGraph (directed graph) E: Teilmenge E
MehrEcken des Zuordnungsproblems
Total unimodulare Matrizen Ecken des Zuordnungsproblems Definition.6 Ein Zuordnungsproblem mit den Vorzeichenbedingungen 0 apple x ij apple für i, j =,...,n statt x ij 2{0, } heißt relaxiertes Zuordnungproblem.
MehrMathematische Grundlagen
Mathematische rundlagen raphen und Operationen auf raphen Karin Haenelt 1 raphen Definitionen Operationen auf raphen raph-repräsentationen 2 Vorbemerkung Wenn hier von Knoten und Kanten gesprochen wird,
Mehr8 Diskrete Optimierung
8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von
MehrEinführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Bäume & Graphen Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz http://www.inf.uni-konstanz.de/algo/lehre/ss08/info2 Sommersemester 2008 Sven Kosub
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?
Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V
MehrKapitel 5: Graphen und Graphalgorithmen
LUDWIG- MAXIMILIANS- UNIVERSITY MUNICH DEPARTMENT INSTITUTE FOR INFORMATICS DATABASE Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 5: Graphen und Graphalgorithmen Skript zur Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen
MehrTechnische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen
Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Mehrf h c 7 a 1 b 1 g 2 2 d
) Man bestimme mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus einen kürzesten Weg von a nach h: c 7 a b f 5 h 3 4 5 i e 6 g 2 2 d Beim Dijkstra-Algorithmus wird in jedem Schritt von den noch unmarkierten Knoten jener
Mehr(a, b)-bäume / 1. Datenmenge ist so groß, dass sie auf der Festplatte abgespeichert werden muss.
(a, b)-bäume / 1. Szenario: Datenmenge ist so groß, dass sie auf der Festplatte abgespeichert werden muss. Konsequenz: Kommunikation zwischen Hauptspeicher und Festplatte - geschieht nicht Byte für Byte,
MehrProgrammierkurs Python
Programmierkurs Python Stefan Thater Michaela Regneri 2010-0-29 Heute Ein wenig Graph-Theorie (in aller Kürze) Datenstrukturen für Graphen Tiefen- und Breitensuche Nächste Woche: mehr Algorithmen 2 Was
MehrProgrammierkurs Python II
Programmierkurs Python II Stefan Thater & Michaela Regneri FR.7 Allgemeine Linguistik (Computerlinguistik) Universität des Saarlandes Sommersemester 011 Heute Ein wenig Graph-Theorie (in aller Kürze) Datenstrukturen
MehrGraphenalgorithmen I
enalgorithmen I Tobias Pröger 21. Dezember 2016 Erklärung: Diese Mitschrift ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Wir erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit. Wir sind froh über
MehrGraphdurchmusterung, Breiten- und Tiefensuche
Prof. Thomas Richter 18. Mai 2017 Institut für Analysis und Numerik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg thomas.richter@ovgu.de Material zur Vorlesung Algorithmische Mathematik II am 18.05.2017 Graphdurchmusterung,
MehrInformatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen
Fachschaft Informatik Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Michael Steinhuber König-Karlmann-Gymnasium Altötting 15. Januar 2016 Folie 1/77 Inhaltsverzeichnis I 1 Datenstruktur Schlange
Mehr5. Bäume und Minimalgerüste
5. Bäume und Minimalgerüste Charakterisierung von Minimalgerüsten 5. Bäume und Minimalgerüste Definition 5.1. Es ein G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. H = (V,E ) heißt Gerüst von G gdw. wenn H ein
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrKapitel 3. Kombinatorische Optimierung. 3.1 Begriffe aus der Graphentheorie
Kapitel 3 Kombinatorische Optimierung 3 Begriffe aus der Graphentheorie Zur Beschreibung vieler Optimierungsprobleme eignet sich besonders die Sprache der Graphentheorie Das erste graphentheoretisch beschriebene
MehrAufgabe 24 Die Wahrheitswerte von A A B und B sind immer gleich:
Lösungen zu den Aufgaben von Anfang August Aufgabe 24 Die Wahrheitswerte von A A B und B sind immer gleich: Der Wahrheitswert von A A ist immer wahr, da immer entweder A oder A den Wahrheitswert wahr hat.
MehrGraphen: Datenstrukturen und Algorithmen
Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.
Mehr4. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Eckengraden und der Anzahl der Kanten eines ungerichteten Graphen?
Kapitel 7 Graphentheorie Verständnisfragen Sachfragen 1. Was ist ein ungerichteter Graph? 2. Erläutern Sie den Begriff Adjazenz! 3. Erläutern Sie den Eckengrad in einem Graphen! 4. Welchen Zusammenhang
MehrBeziehungsmatrix. Jürgen Lerner
Beziehungsmatrix Jürgen Lerner Zusammenfassung Ausser durch Graphen lassen sich Netzwerke auch durch Matrizen repräsentieren. Zunächst einmal ist diese Art der Darstellung nicht ausdrucksstärker als die
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen II
Algorithmen und Datenstrukturen II D. Rösner Institut für Wissens- und Sprachverarbeitung Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Sommer 2009, 9. April 2009, c 2009 D.Rösner D.
MehrBemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1)
Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) 2 Kanten. Bew: Abzählen! Definition 111. Graphen mit n paarweise zyklisch verbundenen Kanten heißen Kreise (vom Grad n) und werden mit C n bezeichnet. Beispiel
MehrEinführung in die Informatik I
Einführung in die Informatik I Graphen und Bäume Prof. Dr. Nikolaus Wulff Weitere Datentypen Als wichtige abstrakte Datentypen (ADT) kennen wir bis lang die Liste, den Stapel und die Warteschlange. Diese
MehrIsomorphie von Bäumen
Isomorphie von Bäumen Alexandra Weinberger 23. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einige Grundlagen und Definitionen 2 1.1 Bäume................................. 3 1.2 Isomorphie..............................
MehrDatenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen
MehrVorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (18 Bäume: Grundlagen und natürliche Suchbäume) Prof. Dr. Susanne Albers Bäume (1) Bäume sind verallgemeinerte Listen (jedes Knoten-Element kann mehr
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Kapitel 16: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für
MehrAngewandte Informatik
Angewandte Informatik Analyse des Graphs G zur Bestimmung von Parallel- undreihenschaltung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Gewichteter Multigraph Die Adjazenzmatrix eines Graphen eignet sich auch zur Analyse
MehrDatenstrukturen. einfach verkettete Liste
einfach verkettete Liste speichert Daten in einer linearen Liste, in der jedes Element auf das nächste Element zeigt Jeder Knoten der Liste enthält beliebige Daten und einen Zeiger auf den nächsten Knoten
Mehr9 Minimum Spanning Trees
Im Folgenden wollen wir uns genauer mit dem Minimum Spanning Tree -Problem auseinandersetzen. 9.1 MST-Problem Gegeben ein ungerichteter Graph G = (V,E) und eine Gewichtsfunktion w w : E R Man berechne
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University
Mehr7. Transitive Hülle. Kante des Graphen. Zusatz-Kante der transitiven Hülle
In Anwendungen ist es oft interessant zu wissen, ob man überhaupt von einem Knoten v zu einem Knoten w gelangen kann, ganz gleich wie lang der Weg auch ist. Gegeben sei dabei ein gerichteter Graph G =
MehrDiskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie
Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 6: Graphentheorie Lang 6 Beutelspacher 8.1-8.5 Meinel 11 zur Vertiefung: Aigner 6, 7 (7.4: Algorithmus von Dijkstra) Matousek
MehrBäume. 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1
Bäume 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1 Inhalt Grundbegriffe: Baum, Binärbaum Binäre Suchbäume (Definition) Typische Aufgaben Suchaufwand Löschen allgemein, Methode Schlüsseltransfer
MehrLernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen
Folie 1 von 20 Lernmodul 2 Graphen Folie 2 von 20 Graphen Übersicht Motivation Ungerichteter Graph Gerichteter Graph Inzidenz, Adjazenz, Grad Pfad, Zyklus Zusammenhang, Trennende Kante, Trennender Knoten
MehrMatchings (Paarungen) in Graphen. PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr
Matchings (Paarungen) in Graphen PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr 1 Gliederung 1) Definitionen und Beispiele 2) Algorithmus des maximalen Matchings 3) Das Personal-Zuteilungsproblem Ungarischer
Mehr2. November Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37
2. November 2011 Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37 Satz von Erdős und Gallai Eine Partition einer natürlichen Zahl ist genau dann die Gradfolge
MehrVerkettete Datenstrukturen: Bäume
Verkettete Datenstrukturen: Bäume 1 Graphen Gerichteter Graph: Menge von Knoten (= Elementen) + Menge von Kanten. Kante: Verbindung zwischen zwei Knoten k 1 k 2 = Paar von Knoten (k 1, k 2 ). Menge aller
MehrMassive Parallelität : Neuronale Netze
Massive Parallelität : Neuronale Netze PI2 Sommer-Semester 2005 Hans-Dieter Burkhard Massive Parallelität : Neuronale Netze Knoten: Neuronen Neuronen können erregt ( aktiviert ) sein Kanten: Übertragung
MehrBerechnung von Abständen
3. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 3.4. Es sei G = (V, E) ein Graph. Der Abstand d(v, w) zweier Knoten v, w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w.
MehrGraphentheorie (Teschl/Teschl 15-17)
Graphentheorie (Teschl/Teschl 15-17) Ein Graph besteht aus Knoten, die durch Kanten miteinander verbunden sind. graphen.pdf, Seite 1 Anwendungen Netzwerke (Verkehr, Daten,...) Datenstrukturen Suchbäume
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens aw@awilkens.com Überblick Grundlagen Definitionen Elementare Datenstrukturen Rekursionen Bäume 2 1 Datenstruktur Baum Definition eines Baumes
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Martin Lercher Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Teil 10 Suche in Graphen Version vom 13. Dezember 2016 1 / 2 Vorlesung 2016 / 2017 2 /
MehrAnmerkungen zur Übergangsprüfung
DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung
Mehr3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme
3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i
MehrDigraphen, DAGs und Wurzelbäume
Digraphen (gerichtete Graphen) Slide 1 Digraphen, DAGs und Wurzelbäume Digraphen (gerichtete Graphen) Slide 2 Eingangs- und Ausgangsgrad Bei einer gerichteten Kante e = (u,v) E heißt u Startknoten von
Mehr1. Einleitung wichtige Begriffe
1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und
Mehr4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen
4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 4.4. Es sei G = (V,E) ein Graph. Der Abstand d(v,w) zweier Knoten v,w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w. Falls
MehrKürzeste Wege in einem gewichteten Graphen. Anwendungen
Kürzeste Wege in einem gewichteten Graphen Dazu werden die Gewichte als Weglängen interpretiert. Der kürzeste Weg zwischen zwei Knoten in einem zusammenhängenden Graphen ist derjenige, bei dem die Summe
Mehr2.7 Felder (Arrays) Das englische Wort array hatte ursprünglich militärische Bedeutung: Aufstellung zur Schlacht : Titel der Zeichnung links:
2.7 Felder (Arrays) Felder (Arrays) bilden eine Zusammenfassung von Elementen gleichen Typs, deren Anzahl bei der Programmierung noch nicht notwendigerweise feststeht. Das englische Wort array hatte ursprünglich
MehrMatrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
MehrLaufzeit einer DTM, Klasse DTIME
Laufzeit einer DTM, Klasse DTIME Definition Laufzeit einer DTM Sei M eine DTM mit Eingabealphabet Σ, die bei jeder Eingabe hält. Sei T M (w) die Anzahl der Rechenschritte d.h. Bewegungen des Lesekopfes
MehrKapitel 9: Lineare Programmierung Gliederung
Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen
MehrWintersemester 2004/ Februar 2005
Lehrstuhl für Praktische Informatik III Norman May B6, 29, Raum C0.05 68131 Mannheim Telefon: (0621) 181 2517 Email: norman@pi3.informatik.uni-mannheim.de Matthias Brantner B6, 29, Raum C0.05 68131 Mannheim
MehrGrundlagen: Begriffe zu Graphen
l o a UNIVERSITÄT KONSTANZ September 18 LEHRSTUHL FÜR PRAKTISCHE INFORMATIK Prof Dr D Wagner / Annegret Liebers Grundlagen: Begriffe zu Graphen Das erste Lehrbuch zur Graphentheorie war [K ön6 (Der Nachdruck
MehrKlausur Informatik B April Teil I: Informatik 3
Informatik 3 Seite 1 von 8 Klausur Informatik B April 1998 Teil I: Informatik 3 Informatik 3 Seite 2 von 8 Aufgabe 1: Fragekatalog (gesamt 5 ) Beantworten Sie folgende Fragen kurz in ein oder zwei Sätzen.
Mehr