Praktikum Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/2011 Blatt 2 Lösungen
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- Kornelius Leopold Kirchner
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1 Praktikum Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/2011 Blatt 2 Lösungen 27. bis 29. Oktober 2010 (1) Lösung von Aufgabe (1) : ad (a) : Die Aussage 2n + 1 < 2 n wird durch Induktion über n für alle n gezeigt. Induktionsanfang : Die Aussage gilt für n =, denn es ist = 7 < 8 = 2. Induktionsschluß : Es sei n eine beliebige Zahl, für welche die Aussage gilt, das heißt es sei 2n + 1 < 2 n. Dann ist auch n+1 eine Zahl, für welche die Aussage gilt. Aus der Annahme über n folgt nämlich 2(n+1) + 1 = (2n + 1) + 2 < 2 n + 2. Wegen n ist 2 = 2 1 < 2 2 n, also 2 < 2 n und damit 2(n+1) + 1 < 2 n + 2 < 2 n + 2 n = 2 n 2 = 2 n+1, also 2(n+1) + 1 < 2 n+1. Damit ist gezeigt: Die Aussage 2n + 1 < 2 n gilt für n =. Ist n und gilt die Aussage 2n + 1 < 2 n für n, so gilt sie auch für n+1. Also gilt die Aussage 2n + 1 < 2 n für alle natürlichen Zahlen n. Für n = 0, 1, 2 ist die Aussage falsch, denn es ist = 1 1 = = 2 = = 5 4 = 2 2. ad (b) : Die Aussage n 2 < 2 n wird durch Induktion über n für alle n 5 gezeigt. Induktionsanfang : Die Aussage gilt für n = 5, denn es ist 5 2 = 25 < 2 = 2 5. Induktionsschluß : Es sei n 5 eine beliebige Zahl, für welche die Aussage gilt, das heißt es sei n 2 < 2 n. Dann ist auch n+1 eine Zahl, für welche die Aussage gilt. Aus der Annahme über n folgt nämlich (n+1) 2 = n 2 + 2n + 1 < 2 n + 2n + 1. Wegen n 5 und wegen (a) ist 2n + 1 < 2 n und damit (n+1) 2 < 2 n + 2n + 1 < 2 n + 2 n = 2 n 2 = 2 n+1. Damit ist gezeigt: Die Aussage n 2 < 2 n gilt für n = 5. Ist n 5 und gilt die Aussage n 2 < 2 n für n, so gilt sie auch für n+1.
2 Also gilt die Aussage n 2 < 2 n für alle natürlichen Zahlen n 5. Für 0 n < 5 ist die Aussage n 2 < 2 n nicht immer wahr, denn es ist 0 2 = 0 < 1 = 2 0 = 1 < 2 = = 4 4 = = 9 8 = = = 2 4. (14) Lösung von Aufgabe (14) : ad (a) : 4 (2i)(2j +1) = = (2 (2j+1)) + (4 (2j+1)) + (6 (2j+1)) + (8 (2j+1)) = = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = = 180 ad (b) : 4 (2i)(2j +1) = = 4 (2i 1) + 4 (2i ) + 4 (2i 5) = = ( ) + ( ) + ( ) = = = 180 ad (c) : (i,j) {1,2,,4} {0,1,2} (2i)(2j + 1) ist die Summe der 4 = 12 Zahlen 2 1 = 2, 2 = 6, 2 5 = 10, 4 1 = 4, 4 = 12, 4 5 = 20, 6 1 = 6, 6 = 18, 6 5 = 0, 8 1 = 8, 8 = 24, 8 5 = 40, summiert in einer beliebigen Reihenfolge. Der Wert dieses Ausdrucks ist 180. ad (d) : ( 4 ) ( ) 2i (2j + 1) = ( )( ) = 20 9 = 180
3 Daß die Summen (a) bis (d) denselben Wert haben, folgt aus dem allgemeinen Assoziativgesetz, dem allgemeinen Kommutativgesetz und dem allgemeinen Distributivgesetz. (15) Lösung von Aufgabe (15) : In (a), (b) und (d) werden alle Elemente der Matrix A summiert. Dabei erfolgt die Summation in (a) zeilenweise, in (b) spaltenweise und in (d) in beliebiger Reihenfolge, denn (a) ist die Summe (A 11 + A 12 + A 1 + A 14 + A 15 ) + (A 21 + A 22 + A 2 + A 24 + A 25 ) + (A 1 + A 2 + A + A 4 + A 5 ) + (A 41 + A 42 + A 4 + A 44 + A 45 ) + (A 51 + A 52 + A 5 + A 54 + A 55 ) und (b) ist die Summe (A 11 + A 21 + A 1 + A 41 + A 51 ) + (A 12 + A 22 + A 2 + A 42 + A 52 ) + (A 1 + A 2 + A + A 4 + A 5 ) + (A 14 + A 24 + A 4 + A 44 + A 54 ) + (A 15 + A 25 + A 5 + A 45 + A 55 ). In (c) und (l) werden die Elemente A 11, A 22, A, A 44, A 55, also die Elemente der Diagonale der Matrix A summiert, und zwar in (c) in natürlicher Reihenfolge und in (l) in beliebiger Reihenfolge. In (e) werden die Elemente A 12, A 14, A 2, A 4, A 52, A 54 Reihenfolge summiert. der Matrix A in beliebiger In (f), (g) und (h) werden alle Elemente der Matrix A in der Diagonale und oberhalb der Diagonale summiert. Dabei erfolgt die Summation in (f) zeilenweise, in (g) spaltenweise und in (h) in beliebiger Reihenfolge, denn (f) ist die Summe (A 11 + A 12 + A 1 + A 14 + A 15 ) + (A 22 + A 2 + A 24 + A 25 ) + + (A + A 4 + A 5 ) + (A 44 + A 45 ) + A 55 und (g) ist die Summe A 11 + (A 12 + A 22 ) + (A 1 + A 2 + A ) + + (A 14 + A 24 + A 4 + A 44 ) + (A 15 + A 25 + A 5 + A 45 + A 55 ). In (i), (j) und (k) werden alle Elemente der Matrix A oberhalb der Diagonale summiert. Dabei erfolgt die Summation in (j) zeilenweise, in (k) spaltenweise und in (i) in beliebiger Reihenfolge, denn (j) ist die Summe (A 12 + A 1 + A 14 + A 15 ) + (A 2 + A 24 + A 25 ) + (A 4 + A 5 ) + A 45 und (k) ist die Summe A 12 + (A 1 + A 2 ) + (A 14 + A 24 + A 4 ) + (A 15 + A 25 + A 5 + A 45 ). In der Summe (j) treten für i = 1, 2,, 4, 5 die Teilsummen 5 j=i+1 auf, für i = 5 also die Summe 5 j=6 A 5j. Da es keinen Index j mit 6 j 5 gibt, ist das die leere Summe, welche per definitionem den Wert 0 hat. In analoger Weise tritt in der Summe (k) für j =1 die Teilsumme 0 A i1 auf. Auch das ist die leere Summe mit dem Wert 0.
4 (16) Lösung von Aufgabe (16) : Die angesprochenen Summen lassen sich der Reihe nach in folgender Weise darstellen: j=1 A 2j A i 1 i,j 5 i j, 1 j i 5 i j=1 j=1 i=j 1 j<i 5 i 1 j=1 j=1 i=j+1 (17) Lösung von Aufgabe (17) : Für die angegebenen Matrizen gilt: A Q 1, B Q 1, C Q 2, D Q 2, E Q 2 2, F Q. Nach Definition des Matrizenproduktes existieren somit folgende Produktmatrizen: AB Q 1 1, AD Q 1 2, AF Q 1, BA Q, CB Q 2 1, CD Q 2 2, CF Q 2, DC Q, DE Q 2, EC Q 2, EE Q 2 2, F B Q 1, F D Q 2, F F Q. Es ist AB = ( ), AD = ( 9 6 ), AF = ( ), BA = 1/2 1 /2, 1/ 2/ 1 ( ) ( ) ( ) CB =, CD =, CF =, DC =, / 16/ ( ) ( ) DE = 4/ 2/ , EC =, EE =, / 64/ F B =, F D = 9 6, F F =. 1 1/ 1/2 1/ 4/ 8/9 1/2 0 /2 1/ 0 1 (18) Lösung von Aufgabe (18) : 1 8 P A = 4 5 6, AP = , QA = 7 8 9,
5 AQ = 4 6 5, RA = , AR = P resp. Q resp. R ist eine Elementarmatrix vom Typ 1 resp. Typ 2 resp. Typ. Ist I die ( )-Einheitsmatrix über Q, dann ist P 1 = I 1 P 2 = I 2 P = 2 I 2 + I P 1 = I 1 P 2 = I I P = I Q 1 = I 1 Q 2 = I Q = I 2 Q 1 = I 1 Q 2 = I Q = I 2 R 1 = I 1 R 2 = I 2 R = I R 1 = I 1 R 2 = I 2 R = I. Für eine beliebige Matrix X Q und für 1 i, j sei dabei wie üblich X i die i-te Zeile und X j die j-te Spalte von X. In analoger Weise ist (P A) 1 = A 1 (P A) 2 = A 2 (P A) = 2 A 2 + A (AP ) 1 = A 1 (AP ) 2 = A A (AP ) = A (QA) 1 = A 1 (QA) 2 = A (QA) = A 2 (AQ) 1 = A 1 (AQ) 2 = A (AQ) = A 2 (RA) 1 = A 1 (RA) 2 = A 2 (RA) = A (AR) 1 = A 1 (AR) 2 = A 2 (AR) = A. Also kann man sagen : Die Matrix P A resp. QA resp. RA entsteht aus der Matrix A durch dieselben Zeilenumformungen wie die Matrix P resp. Q resp. R aus der Einheitsmatrix I. Die Matrix AP resp. AQ resp. AR entsteht aus der Matrix A durch dieselben Spaltenumformungen wie die Matrix P resp. Q resp. R aus der Einheitsmatrix I.
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