Allgemeine Relativitätstheorie: Systeme, die gegeneinander beschleunigt werden; Einfluss von Gravitationsfeldern.

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1 II Spezielle Relativitätstheorie II.1 Einleitung Mechanik für v c (Lichtgeschwindigkeit: 3x10 8 m/s) Spezielle Relativitätstheorie: Raum und Zeit in Systemen, die sich gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen (Albert Einstein, 1905), also in Inertialsystemen (daher spezielle Theorie). Allgemeine Relativitätstheorie: Systeme, die gegeneinander beschleunigt werden; Einfluss von Gravitationsfeldern. Effekte nur wichtig, falls v c. Daher in der Elementarteilchenphysik besonders wichtig. Auch wichtig in der Elektrodynamik, Gravitationstheorie, Kosmologie und Plasmaphysik. II.2 Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik Nach Newton: Die Gesetze der klassischen Mechanik gelten unverändert in Inertialsystemen, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Es gibt kein bevorzugtes Bewegungssystem. Galilei Relativität: Mechanische Experimente können nicht zwischen Inertialsystemen unterscheiden (Newton I, keine Kräfte, Körper mit konstanter Geschwindigkeit). Einstein 1905 Postulate: Die Gesetze der Physik sind dieselben für jeden Beobachter in einem Inertialsystem. 161

2 Zum Beispiel bei 2 Systemen mit konstanten Geschwindigkeiten: Wechsel von System 1 in 2: Galilei-Transformation Wichtige Konsequenz: Geschwindigkeiten addieren sich u v v rel = u + v v u v rel = u - v Diese Geschwindigkeitsaddition gilt nicht mehr für v c. Vielmehr: m s m s -1 v rel = c m s m s -1 v rel = c 162

3 II.3 Michelson-Morley Experiment (1881) Lichtausbreitung im sogenannten Äther, Ausbreitungsmedium für Lichtwellen, Lichtwellen sind Ätherschwingungen. Erde sollte sich mit 30 km/s durch den Äther bewegen: Ätherwind Experimenteller Aufbau zur Messung des Ätherwindes: v Beobachtung des Interferenzmusters Bilder: Michelson-Morley Experiment Ätherwind sollte das Interferenzmuster bei Drehung der Arme ändern. Messung der Geschwindigkeit v relativ zum Äther parallel und senkrecht zur Bewegung der Erde: Mit dem Interferenzmuster werden die Phasenverschiebungen gemessen. 163

4 Zeit zwischen P und M 1 und zurück: t 1 = L c v + L c + v Geschwindigkeitskomponente in senkrechter Richtung: t 2 = t 1 t 2 = 2L c 2 v = 2L/c 2 1 v2 c 2 1/ 2 c c 2 v = v 2 c =:γ 2 Reihenentwicklung: (1+ x) n 1+nx, (1 x) n 1+nx kleine x für da v << c t 1 = 2L c v2 1+ c 2, t 2 = 2L c 2c 2 1+ v2 Δt = t 1 t 2 2L c v2 1+ c 2 2L c 2c 2 1+ v2 Jetzt Anordnung um 90 drehen, so dass jetzt PM 2 parallel zum Ätherwind: 164

5 Δt'= t' 1 t' 2 = L c v c 2 und Phasenunterschied: Versuch: Beispiel: Michelsoninterferometer v/c = 10-4 λ = 600 nm 1881: L = 1.2 m δ = 2x(10 4 ) 2 5x10 7 Experiment verändert: = 0.04 Streifen 1887: L = 11m δ = 0.4 Streifen aber nachweisbar δ = 0.01 Streifen die Geschwindigkeit des Ätherwindes muss kleiner als 5 km/s sein 165

6 später neues Experiment: v < 1,5 km/s Folgerung: Die Erdbewegung hat keinen Einfluss auf Lichtgeschwindigkeit, d. h. c ist in allen Richtungen gleich (isotrop, engl: isotropic). Kennedy-Thomdike zeigten, dass c in allen Inertialsystemen gleich ist: c = m/s II.4 Einsteins zwei Postulate Albert Einstein ( ) machte zwei Annahmen, die auch Postulate genannt werden. 1. Prinzip der Relativität: Alle Gesetze der Physik lauten gleich in allen Inertialsystemen (Invarianz aller physikalischen Gesetze) (für mechanische Gesetze schon von Newton formuliert) 2. Prinzip der konstanten Lichtgeschwindigkeit: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist in allen Inertialsystemen gleich groß, d. h. sie hängt nicht von der Bewegung der Quelle oder des Beobachters ab. 166

7 z. B. Lichtgeschwidigkeit auf dem Bahnsteig ist gleich der Lichtgeschwindigkeit im Zug. Diese Aussage steht im Widerspruch zur Galilei-Transformation und zu Newtons Aussage. Newton: a) Die absolute Zeit verfließt gleichförmig und ohne Beziehung zu einem äußeren Gegenstand. b) Der absolute Raum bleibt stets gleich und unbeweglich. dagegen Einstein: a) Die Zeit ist nicht absolut, sie läuft je nach Bewegung des Beobachters unterschiedlich ab. Zwei Ereignisse A und B können gleichzeitig für einen Beobachter ablaufen, aber nicht für einen anderen. b) Der Raum ist nicht absolut, seine Abmessung hängt vom Bewegungszustand des Beobachters ab. Einsteins Postulate erklären sofort das Michelson-Morley Ergebnis, da kein Experiment jemals die absolute Geschwindigkeit eines Inertialsystems messen kann. 167

8 II.5 Die Zeitdilatation Relativität der Zeitmessung an Lichtuhr verifizieren. 2 Inertialsysteme, die sich relativ gegeneinander bewegen. a) Zeitmessung im (x, y )-System, Uhr ruht im System. 2 1 Lichtpuls von 1 nach 2 und von 2 nach 1 ist eine Periode der Lichtuhr b) Jetzt bewegt sich Uhr nach rechts mit v 0 (Beobachter) im (x, y) System ( 1 2 ct) 2 = L 2 + ( 1 2 vt) 2 Strecken senkrecht zur Bewegungsrichtung sind gleich groß 168

9 t = τ =: γτ 1 v 2 2 c Beachte: γ heißt relativistischer Faktor Annahme von c ist konstant in beiden Systemen (2. Postulat) Da γ > 1 ist, ist das Zeitintervall t gemessen im (x, y) System größer als τ (Uhr ruht) gemessen im (x, y ) System. Die Zeitdilatation wurde 1941 im Experiment nachgewiesen. µ - Mesonen werden in der Atmosphäre mit einer Halbwertszeit von τ = 2.2 µs erzeugt. Der Zerfall folgt der Gleichung: Das Experiment beinhaltet die Zählung der µ - Mesonen in 2000 m Höhe und auf Meereshöhe. Die Geschwindigkeit der µ - Mesonen in 2000m Höhe ist v = c, d.h. nach einer Zeit von sollten die µ - Mesonen am Boden ankommen. daher: sollten am Boden gemessen werden. 169

10 Aber gemessen wurde: d. h. anstatt den vorhergesagten 5% wurden 70% gemessen (auf Meereshöhe). Erklärung: Die Lebenszeit (Halbwertszeit) des bewegten Mesons vergrößert sich um γ gegenüber dem unbewegten Meson. N(t) N(0) = e x2.2 = 0.7 Bild: Mesonen II.6 Längenkontraktion Deponiere einen Stab mit der Länge L 0 in der x-richtung im (x, y) System (Ruhesystem). Wie lang ist der Stab für einen Beobachter (0 ) im (x, y ) System, welches sich mit v relativ zum (x, y) System bewegt? 0 sieht Stab mit Geschwindigkeit (- v) Die Zeit Δt um 0 zu passieren ist: Die Länge für den Beobachter 0 im (x, y) System ist: 170

11 von oben d. h. für γ > 1 ist L < L 0, der Stab erscheint verkürzt im (x, y ) System. Beachte: Längenkontraktion nur parallel zur Bewegungsrichtung des Systems, gilt nicht für senkrechte Komponenten. Bild: Beispiel: Der Abstand zu Alpha Centauri ist 4,4 Lichtjahre. Ein Astronaut möchte in 10 Jahren dort sein, gemessen nach seiner Uhr. Welche Geschwindigkeit braucht er? Wie lange dauert die Reise gemäß der Zeit auf der Erde? Abstand 4,4 Lichtjahre (im System der Erde). Astronaut sieht diesen Abstand kontrahiert, d.h. 4.4 / γ Lichtjahre, mit der Geschwindigkeit v 171

12 v 2 c 2 = v2 c 2 v 2 c = v c 2 v 2 c 2 = Erdenuhr: Zeitdilatation t E = 11 Jahre 172

13 II.7 Lorentztransformation Noch einmal Galilei: Lorentztransformation für v in x-richtung für v 0 folgt γ 1 und man erhält die Galilei-Transformation zurück. Inverse Lorentztransformation: x = γ(x'+vt ' ) t = γ(t'+ vx' c 2 ) 173

14 Spezialfälle: 1) Zeitdilatation 2), Längenkontraktion II.8 Addition der Geschwindigkeiten u x Teilchengeschwindigkeit im System (x, y ) u' x = dx' γ(dx vdt) = dt ' γ(dt vdx c 2 ) 174

15 bzw. u x = u' x +v v 1+u' x c 2 d. h. für v und u x << c u x = u x + v : klassische Addition der Geschwindigkeiten für u x = c folgt u = c + v c + v x 1+ c v = c c + v c 2 folgt aus 2. Postulat. u x = c 1. Beispiel: Ein Teilchen bewegt sich mit Geschwindigkeit 0,8 c (u x) in einem System, welches mit einer Geschwindigkeit 0,5 c = v relativ zum anderen System bewegt. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Teilchens relativ zum anderen System? Keine Geschwindigkeit kann größer als c werden: Die Geschwindigkeit c ist das absolute Limit. 2. Beispiel: 2 Raketen A und B verlassen die Erde mit Geschwindigkeit 0,9 c in entgegen gesetzten Richtungen. Berechne die Geschwindigkeit von A relativ zu B. 175

16 (A) (B) -0.9c 0.9c Lorentz Transformation: Annahme: (x, y ) System ist B System, d.h. u x = Geschwindigkeit von A im (x, y) System = c v = Geschwindigkeit von B im (x, y) System = c u x = Geschwindigkeit von A im (x, y ) System = c Geschwindigkeit von A relativ zu B 176

17 II.9 Relativistische Dynamik, Impuls und Energie Die wichtigsten Konsequenzen der Newton schen Gesetze: Erhaltung der Energie Erhaltung des Impulses Erhaltung der Masse weiterhin: 1. Einstein sche Postulat (Prinzip der Relativität): Alle Gesetze der Physik lauten gleich in allen Inertialsystemen. Frage: Wie muss der Impuls und die Energie definiert werden, so dass die obigen Aussagen gelten? Impuls: m 0 heißt Ruhemasse. falls u x << c, γ 1 (klassisch) Kinetische Energie: W kin = m 0 c 2 1 u x 2 c 2 m 0 c2 m 0 c 2 heißt Ruheenergie E Gesamtenergie 177

18 d. h. für u x << c Reihenentwicklung von γ : klassische kinetische Energie allgemein: d.h. bei Massenänderung ändert sich die Energie: z.b. bei Fusion oder Kernspaltung Wenn ΔE = 1 J Δm = kg Bild: Beispiel: Deuterium ( D = 1 2 H ) besteht aus einem Proton und einem Neutron. 178

19 Ruhemassen: m p 0 m n 0 m D 0 m 0 p + m 0 n = kg = kg = kg = kg Δm = kg Energiefreigabe: ΔE = Δm c 2 = (m 0 p + m 0 n - m 0 D )c 2 = J (Bindungsenergie des Deuteriums) Energie-Impuls-Gleichung:, E 2 = m 2 0 γ 2 c 4 = m 2 0 c 4 1 u 2 x c 2 p 2 = m 0 2 u x 2 1 u x 2 c 2 179

20 oder p = E 2 c 2 m 0 2 c 2 E=cp Energie für Photon: Ruhemasse für Photon m 0 ist null m 0 = 0 für (da ) 180

21 Lorentztransformation von Energie und Impuls: E = Energie des Teilchens im (x, y) System p = Impuls im (x, y) System E = Energie des Teilchens im (x, y ) System p = Impuls im (x, y ) System (x, y ) bewegt sich relativ zu (x, y) mit Geschwindigkeit v dann: p x ' = γ(p x ve c 2 ) p' y = p y weiterhin:, 181