Lehrstuhl für Finanzierung

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1 Lehrsuhl für Finanzierung Klausur im Fach Finanzmanagemen im Winersemeser 1998/99 1. Aufgabe Skizzieren Sie allgemein die von Kassenhalungsproblemen miels (sochasischer) dynamischer Programmierung! Man geh von einer diskreen Zeimenge aus. In diesen Zeipunken is ein opimaler Kassenbesand zu halen. Was opimal heiß, wird noch erklär. Die Höhe des Kassenbesandes bezeichne man mi C, wobei nur 0.. posiive Kassenbesände gehalen werden können. Im Planungshorizon is ein vorgeschriebener Kassenbesand in Höhe von C * zu realisieren. Die Höhe des Kassenbesandes im Zeipunk 1 besimm sich aus der Höhe des Kassenbesandes im Zeipunk, einem zufälligen exogenen Geldsrom X 1 in der Periode, 1 und der im Zeipunk 1 durchgeführen Kassenhalungssraegie h 1, d.h. C C h X, mi dem zufälligen exogenen Geldsrom X Kassenhalungssraegie. Dabei gelen folgende Inerpreaionen: 1.. und dem endogenen Geldsrom h 1.., der X 0 : X 0 : h 0 : h 0 : Exogener Absrom aus der Kasse, Exogener Zusrom in die Kasse, Einlage in die Kasse durch Ennahme aus dem alernaiven Werpapiergeschäf, Ennahme aus der Kasse und Einlage in das alernaive Werpapiergeschäf. Was is überhaup zu machen? Der Freiheisgrad bei dieser Ar der Kassenhalung is die Kassenhalungssraegie h. Man besimm, wann überhaup in den laufenden Prozess der Kassenhalung eingegriffen wird, und, wenn ja, in welcher Höhe. Der dynamische Charaker der Kassenhalungssraegie sez voraus, dass h ausgeführ wird uner Kennnis der Realisaionen von X 1,.., X. Im Zeipunk kenn man die Realisaionen der zufälligen Größen X 1,.., X und kann darauf dynamisch reagieren. Das dynamische Kassenhalungsmodell berücksichig den zeilichen Verlauf des Auszahlungsprozesses und leg vorab eine Sraegie fes, die besimm, wann und uner welchen Bedingungen welche ransakion vorgenommen werden soll. In Abhängigkei der asächlich einreenden Bedingungen besimm sich dann eine auszuführende Sraegie. Wie wird nun eine opimale Sraegie h besimm? Man minimier die zu erwarenden Kosen. Diese Kosen sezen sich aus ransakionsfixen Kosen und aus Opporuniäskosen zusammen. Lezere modellier man als risikolose Anlage zum flachen Zinsfuß r.

2 Beim Ermieln einer opimalen Sraegie geh man nun rekursiv vor, beginnend im Zeipunk des Planungshorizons. Hier gib es keinen Freiheisgrad, da der Kassenbesand C * am Planungshorizon erreich werden muss. Man sez h * C C in Abhängigkei aller möglichen Kassenbesände C und merk sich die dadurch verursachen Kosen. Im Rekursionsschri geh man zum Zeipunk wieder von allen möglichen Kassenbesänden C aus und minimier die Kosen bzgl. der Kassenhalungssraegie. Die Kosen sezen sich nun aus den ransakions- und Opporuniäskosen sowie aus den erwareen Folgekosen zusammen. Man noier sich die kosenminimale Sraegie und die Höhe der minimalen Kosen und fähr solange for, bis man im Zeipunk 1 angelang is. Man ersell zwei abellen. Die erse abelle enhäl die ransakionsvolumina für die einzelnen Zeipunke in Abhängigkei von den angeroffenen Kassenbesänden, die zweie abelle enhäl die ensprechenden minimalen Kosen: Höhe der Kassenhalungssraegie Minimale Kosen der Kassenhalungssraegie C (1) C (2) (1): Hier seh das Argumen der Minimalselle von den augenblicklichen Kosen plus den erwareen Folgekosen. (2): Hier seh der minimale Wer von den Kosen. Ein Durchlauf der Kassenhalungssraegie h is dann ers bei einem gegebenen Pfad von Realisaionen 1.. der Zufallskomponene besimm. Man kann also ex ane die beiden abellen ermieln. In Abhängigkei der Realisaionen der Zufallskomponenen zeichne man dann dynamisch einen Pfad von rechs nach links in die erse abelle ein und erhäl die in Abhängigkei der Realisaionen der Zufallskomponene opimale Kassenhalungssraegie. 2. Aufgabe Erläuern Sie die Vorgehensweise der Bayesschen Diskriminanzanalyse! Man erklär die Bayessche Diskriminanzanalyse am Beispiel der Kredivergabe. Eine grundsäzliche Annahme is hier, dass die Menge aller poeniellen Kredinachfrager in zwei disjunke Gruppen zerfäll, nämlich in die Gruppe der schlechen Risiken, denen man besser keinen Kredi gib, und in die Gruppe der guen Risiken, denen man sehr wohl einen Kredi geben kann und auch soll. Die reale Wel sieh dami so aus: 1 2 und 1 2 mi : 1 : 2 : Menge aller poeniellen Kredinehmer, Menge aller schlechen Risiken, Menge aller guen Risiken. 2

3 Das Problem is, dass man die Mengen 1 und 2 nich beobachen kann. Könne man sie beobachen, so wäre nichs mehr zu un. Jedem Nachfrager, der aus 1 komm, würde der Kredi verweiger. Jedem Nachfrager, der aus 2 komm, würde der Kredi gewähr. Der Ausweg is, dass man einen Kredinehmer durch eine Reihe von Messgrößen versuch zu charakerisieren, ewa durch Merkmale wie Aler, Geschlech oder Einkommen. Kann man n Merkmale beobachen und als reelle Zahlen aufschreiben, so beseh die beobachbare Wel aus der Menge R n. Einen beobachbaren Wer x R n. inerpreier man als Realisaion einer Zufallsvariablen X : R n, d.h. es exisier ein mi x X Man möche nun eine disjunke Zerlegung von R n in R n R R 1 2 ermieln derar, dass möglichs sicher X X R, 1 1 R 2 2 geschlossen werden kann. Ha man zwei solche Mengen R 1 und R 2 gefunden, so wird einem Nachfrager Kredi gewähr, falls sein Merkmalsvekor in R 2 lieg. Kredivergabe wird verweiger, falls sein Merkmalsvekor in R 1 lieg. Das Problem reduzier sich auf das Finden der Menge R 2. echnisch wird das Ermieln der Menge R 2 dadurch gelös, dass man eine opimale rennfunkion und einen opimalen Schwellwer a R ermiel und sez. R g : R n R 2 x Rn gx ( ) a g a Gue Risiken haben dami einen Wer bzgl. g, der uner dem Schwellwer a lieg. Schleche Risiken haben einen Wer bzgl. g, der mindesens so groß wie der Schwellwer a is. Es bleib, g und a zu besimmen. Wann sind g und a opimal? Opimal sind g und a, wenn die Fehlklassifikaions-Wahrscheinlichkei minimal wird. Das is die Wahrscheinlichkei, dass ein gues Risiko einen Wer bzgl. g mindesens a ha, addier mi der Wahrscheinlichkei, dass ein schleches Risiko einen Wer bzgl. g kleiner a ha. Geh man davon aus, dass sowohl innerhalb der schlechen Risiken als auch innerhalb der guen Risiken die Merkmalsvekoren (mulivaria) normalvereil sind, so erhäl man nach längerer Rechnung als opimale rennfunkion g im allgemeinen eine quadraische Abbildung für deren explizie Ermilung man die Größen E X bzw. e2: E X 2 e : 1 1, also die bedingen Erwarungen innerhalb der schlechen bzw. guen Risiken, und die Größen bzw. C2: COV X, X 2 C : COV X, X 1 1, also die bedingen Kovarianzmarizen, brauch. Außerdem brauch man die Wahrscheinlichkei p, dass man einen guen Kredinehmer vor sich ha, woraus die Größe 1-p als Wahrscheinlichkei dafür, dass man einen schlechen Kredinehmer vor sich ha, resulier. Die Größen e 1, e 2, C 1, C 2 und p werden aus einer Sichprobe ermiel. Zu erwähnen bleib noch der Sonderfall bei idenischen Kovarianzmarizen C 1 = C 2. Hier reduzier sich nämlich die sons quadraische Funkion g zu einer linearen Funkion. 3

4 3. Aufgabe Skizzieren Sie das Konzep des Risikohorizones und seine Operaionalisierung auf der Basis von (,)- orienierem Enscheidungsverhalen! Die Ausgangssiuaion is die, dass zwischen einzelnen Kredivergabeenscheidungen risikobedinge Wechselwirkungen eine Rolle spielen. Eine Kredinachfrage geh aber zeilich vereil beim Kredigeber ein, weshalb die Kredivergabeenscheidung eine Enscheidung über den einzelnen Kredianrag is und nich in Wechselwirkung mi anderen Kredinachfragen gesehen werden kann. Die Enscheidung erfolg deshalb in der Regel dezenral, d.h. nich die Konzernzenrale in Frankfur enscheide über einen einzelnen Kredi, sondern die Filiale in Passau. Was die Konzernzenrale vorgeben kann, is eine Richlinie in Form einer Risikohorizonlinie. Was das is, soll nun erklär werden: Der Kredinachfrager leg seine Vermögens- und Einkommensverhälnisse offen, woraus sich eine Erwarungssrukur S(p) ermieln läss, die einer Erfolgswahrscheinlichkei p eine Unerschranke für den vorhandenen Vermögenswer zuordne, d.h.: S(p): Mi Wahrscheinlichkei p is mindesens der Vermögenswer S(p) vorhanden. Die Erwarungssrukur S(p) is deshalb monoon fallend. Eine vorgegebene Risikohorizonline R(p) schaff den Zusammenhang zwischen Kredivolumen und gerade noch olerierbarer Ausfallwahrscheinlichkei des Kredis. Einer Ausfallwahrscheinlichkei 1-p wird ein maximales Kredivolumen zugeordne, d.h.: R(p): Bei Kredivolumen R(p) wird höchsens eine Ausfallwahrscheinlichkei 1-p gedulde. Die Risikohorizonlinie R(p) is deshalb monoon seigend. Beispiel 1: Ein Kredinachfrager möche einen Kredi, der eine Rückzahlungsverpflichung in Höhe von D 1 =600 nach sich zieh. Die Siuaion sei wie in folgender Grafik. S(p): Erwarungssrukur R(p): Risikohorizonlinie D 1 : Nachgefrager Krediberag Der Schnipunk der Linie D 1 =600 mi der seigenden Risikohorizonlinie liefer eine maximal geduldee Ausfallwahrscheinlichkei von ewa 0,15, also is eine Mindeserfolgswahrscheinlichkei von ewa 0,85 geforder. An dieser Selle lieg aber die fallende Erwarungssrukurkurve uner dem Niveau 600, weshalb eine Kredivergabe abgelehn wird. Beispiel 2: Ein Kredinachfrager möche einen Kredi, der eine Rückzahlungsverpflichung in Höhe von D 2 =300 nach sich zieh. Die Siuaion sei wieder wie in folgender Grafik. 4

5 S(p): Erwarungssrukur R(p): Risikohorizonline D 2 : Nachgefrager Krediberag Der Schnipunk der Linie D 2 =300 mi der seigenden Risikohorizonlinie liefer eine maximal geduldee Ausfallwahrscheinlichkei von ewa 0,3, also is eine Mindeserfolgswahrscheinlichkei von ewa 0,7 geforder. An dieser Selle lieg die fallende Erwarungssrukurkurve über dem Niveau 300, weshalb eine Kredivergabe gebillig wird. Ergebnis: Die vorgegebene Risikohorizonlinie gib für einen Rückzahlungsberag die maximal geduldee Krediausfallwahrscheinlichkei und dami die minimal gefordere Kredierfolgswahrscheinlichkei vor. Is an dieser Selle die Erwarungssrukurkurve über dem Niveau der Rückzahlungsverpflichung, so wird der Kredi vergeben, andernfalls wird er abgelehn. Grafisch kann man sich das so merken: Die seigende Risikohorizonlinie muss vor der fallenden Erwarungssrukurkurve das Rückzahlungsniveau schneiden. Dann wird Kredi vergeben. Der Schnipunk der beiden Linien R(p) und S(p) besimm deshalb einen kriischen Rückzahlungsberag, der der maximale akzepiere Kredirückzahlungsberag bei gegebener Erwarungssrukur is. S(p): Erwarungssrukur R(p): Risikohorizonlinie Kriischer Rückzahlungsberag Es bleib die Frage, woher die Risikohorizonlinie komm. Aus Frankfur, wird man sagen. Wie sie dor durch (,)-orienieres Enscheidungsverhalen ermiel werden kann, soll nun beschrieben werden: Ein möglicher Kredigeber ha im Wesenlichen zwei Möglichkeien, sein Eigenkapial zu verwenden. Er kann ins Kredigeschäf invesieren, was einen unsicheren Rückfluss zur Folge ha, und er kann auf andere risikobehafee Alernaivanlagen zurückgreifen, ebenfalls mi unsicherem Rückfluss. Der Berag A, der ins Kredigeschäf geseck wird, is dami der Enscheidungsparameer. Bei einem (,)-orienieren Enscheidungsverhalen kann man daraus ein Präferenzfunkional in Abhängigkei des Berags A herleien. Kredivergabe is dann voreilhaf, wenn (A) > (0) is, d.h. wenn durch Akiviäen im Kredigeschäf mehr Nuzen zu erwaren is als bei Unerlassung eines jeden Kredigeschäfs. Lös man die Beziehung (A) > (0) weier auf, wo erhäl man eine Obergrenze f für die Voreilhafigkei im Kredigeschäf: 5

6 A < f (p) Die Obergrenze häng von der Erfolgswahrscheinlichkei p des Kredis ab. Außerdem gehen Kredigeberdaen wie Risikoaversion oder Erwarungswer und Varianz der unsicheren Alernaivrendie, Kredinehmerdaen wie Erwarungswer und Varianz der Krediausfallrae und Markdaen wie der Kredizinssaz mi ein. Diese Größen sez man als exogen gegeben oder aus einer Sichprobe oder Saisik beobachbar voraus. Berache man dann die Obergrenze der Voreilhafigkei des Kredigeschäfs als Abbildung von p, und zieh zusäzlich die risikofreie Anlage - falls vorhanden - als Alernaivgeschäf in Berach, so ergib sich folgender Verlauf der Obergrenze. Man ha eine Risikohorizonlinie aus dem (,)-Prinzip abgeleie. f(p): Risikohorizonlinie 4. Aufgabe Erläuern Sie die Vorgehensweise beim Bond-Porfolio-Managemen auf der Basis von Zinssrukurmodellen im Vergleich zum Duraion-Ansaz! Das enscheidende ypische Risiko bei fesverzinslichen Anlagen is das Zinsänderungsrisiko. Zur Analyse des Zinsänderungsrisikos is auf die Frisigkeissrukur der Zinssäze einzugehen. Man beobache nämlich am Kapialmark, dass für unerschiedliche Laufzeien bei gleichem Boniäsrisiko unerschiedliche Zinssäze verlang werden. Im Zinssrukurmodell will man deshalb bei der Berechnung des Barweres einer Anleihe nich von einem flachen Zinsfuß r ausgehen. Eine arbiragefreie Bewerung mehrerer Anleihen erforder vielmehr die Kennnis der Frisigkeissruur der Zinssäze. Für eine Anleihe mi Ausschüungen Z, fällig in, is der Barwer P zu berechnen durch P Z 1 r, mi den zukünfigen, unsicheren Spozinssäzen r, für das Laufzeiinervall [,]. Was man brauch, is ein Zinssrukurmodell, d.h. eine sochasische Modellierung des künfigen, unsicheren Spozinssazes r,. Man will Bond-Porfolio-Managemen bereiben, d.h. man will ein Porfolio von Anleihen zusammensellen derar, dass das Zinsänderungsrisiko minimier wird. Da man jede Anleihe als Porfolio von Zero-Bonds auffassen kann, berache man im Folgenden ausschließlich Zero-Bonds als mögliche Anleihen. Um Bond- Porfolio-Managemen bereiben zu können, brauch man Erwarungswer von Anleihe-Preisen, 6

7 Varianz von Anleihe-Preisen, Korrelaionen zwischen Anleihe-Preisen verschiedener Anleihen. Diese Größen kann man ermieln, wenn man beispielsweise das Modell von Ho und Lee zu Grunde leg. Man befinde sich im Ausgangszeipunk 0 und möche im Zielzeipunk seine Bewerung vornehmen. Man berache zwei Anleihen mi Fälligkeiszeipunken 1 und 2 und berechne die Korrelaion zwischen diesen beiden Anleihen. Hier sind verschiedene Fälle zu unerscheiden. Der nahe liegende Fall is der, dass die Fälligkeiszeipunke 1 und 2 nach dem Bewerungszeipunk liegen. Aber es sind auch die Möglichkeien in Berach zu ziehen, dass der eine Fälligkeiszeipunk vor und der andere nach dem Bewerungszeipunk lieg, oder dass beide Fälligkeiszeipunke vor dem Bewerungszeipunk liegen. Im Ergebnis erhalen wir zwei Fälle: 1. Fall ( 1, 2 < oder 1, 2 > ): Hier erhäl man posiive Korrelaion zwischen den Anleihen. Die Korrelaionen sinken zwar mi wachsender Zeidifferenz 1 2, rozdem sind die Korrelaionen kaum vom Wer 1 zu unerscheiden. Risikomindernde Effeke sind nur mi exremen Leerverkäufen zu erreichen. Das is bekannlich problemaisch. Der Grund für die exrem sarke posiive Korrelaion is die asache, dass Bond-Preise im Wesenlichen auf dieselbe Risikoquelle, nämlich auf den Zinssaz, reagieren. 2. Fall ( 1 < < 2 oder 2 < < 1 ): Hier erhäl man negaive Korrelaion. Deshalb sind Fälligkeiszeipunke vor bzw. nach dem Bewerungszeipunk zur Risikominderung geeigne. Als zusäzliche Überlegung komm in diesem Fall allerdings das Wiederanlageproblem dazu, wozu man sich durchaus Gedanken machen solle. Wir wollen nun ein solches Zinssrukurmodell mi dem Duraion-Ansaz vergleichen. Beim Duraion-Ansaz geh man von einer flachen (!) Zinssrukur mi dem Zinsfuß r aus und definier die Größe D r 1 1 r x x als Duraion für ein Porfolio x = ( x 1,.., x ) von Zero-Bonds. Man zeig den folgenden Sachverhal: Schaff man es, ein Porfolio derar zusammenzusellen, dass seine Duraion gleich dem Bewerungszeipunk is, so ha man Immunisierung des Zinsänderungsrisikos erreich. Man profiier in sogar von jeder Zinsänderung, egal ob Zinssenkung oder Zinsseigerung. Es wird mindesens jener Wer erreich, der dem Endwer auf der Basis von r ensprich. Zu erwähnen bleib noch, dass nach jeder Auszahlung das Porfolio in der Regel umgeschiche werden muss, um die Beziehung D =, also Duraion = Bewerungszeipunk, zu erhalen. Die folgenden Kriikpunke am Duraion-Ansaz verdeulichen gleichzeiig den Unerschied zum Zinssrukurmodell: Duraion geh von flachen Zinssrukuren aus. Ein nach der Duraion-Sraegie gebildees Porfolio dominier die risikofreie Anlage, da gleiches Risiko - nämlich Null - aber höherer Erwarungswer. Das is ein Widerspruch zur Arbiragefreihei am Mark. ransakionskosen bei der Umschichung des Porfolios werden vernachlässig. 7