Lösungen G1. c) Die Steigung m wird als Bruch angegeben: m Å. Der y-achsenabschnitt ist der Wert auf der y-achse, bei dem die Gerade durchgeht.
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- Reiner Otto
- vor 7 Jahren
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1 Lösungen G. Aufgabe a) Die Gerade g ist eine fallende Gerade, sie kommt von links oben und geht nach rechts unten. Die Gerade g ist eine steigende Gerade, sie kommt von links unten und geht nach rechts oben. b) Steigungsdreiecke sitzen bei fallenden Geraden obendrauf, bei steigenden Geraden untendrunter. Die Punkte müssen genau auf einer Kästchenecke sitzen, sonst sind sie ungenau. Man beginnt beim linken Punkt und wandert zuerst nach rechts (waagrecht). Dann entscheidet sich, ob man nach oben wandern muss (+ Steigung), oder nach unten ( Steigung), um zum zweiten Punkt zu gelangen. g g Dabei ist es egal, wie groß das Steigungsdreieck gezeichnet wird. Das rote Dreieck ist doppelt so groß wie das blaue. Man erhält aber aus beiden Dreiecken dieselbe Steigung, da der Bruch gekürzt werden muss. Das grüne Dreieck kann auch kleiner (oder noch größer) gezeichnet werden. y Ä Abs tand c) Die Steigung m wird als Bruch angegeben: m Å. Ä Abs tand Der y-achsenabschnitt ist der Wert auf der y-achse, bei dem die Gerade durchgeht. Gerade g : Ä m Å Ä für das blaue Dreieck, oder eben m Å Å Ä für das rote Dreieck. 6 b Å Ç abgelesen auf der y-achse Setzt man m und b in die allgemeine Geradengleichung y Å m É Ç b ein, so erhält man y Å Ä Ç als Gleichung für die Gerade g.
2 Gerade g : Aus m Å Å und b Å Ä erhält man y Å Ä als Gleichung für die Gerade g. d) Der Schnittpunkt mit der y-achse heißt Sy, mit der -Achse S. Gerade g : Gerade g : S Ñ6 0Ö S Ñ 0Ö S Ñ0 Ö S Ñ0 Ä Ö y e) SÑÖ y. Aufgabe Gerade g : Man zeichnet die beiden Punkte P und P ein und verbindet diese auch über die Punkte hinaus, da eine Gerade unendlich weiter verläuft. Die Gerade wird so lang gezeichnet, wie das Koordinatensystem reicht. Gerade g : Hier wird der Punkt Q eingezeichnet. Von ihm aus wandert man die Steigung ab. Im Nenner des Bruches steht, wie viele Einheiten nach rechts (immer nur rechts) in -Richtung gewandert werden muss. Im Zähler stehen die Einheiten für die y-richtung. Ist die Steigung positiv (+), so wandert man die Einheiten nach oben und markiert dort den neuen Punkt. Ist die Steigung negativ ( ), so wandert man die Einheiten nach unten und markiert dort den neuen Punkt.
3 Für die Gerade g wandert man vom Punkt Q aus Einheiten nach rechts und eine Einheit nach unten. Dort, bei Ñ4 Ä Ö, markiert man den neuen Punkt und zeichnet die Gerade ein. Gerade g : Bei dieser Geraden sind die Steigung und der y-achsenabschnitt gegeben. Man markiert auf der y-achse die 4 und wandert von dort aus eine Einheit nach rechts und Einheiten nach unten. Neuer Punkt Ñ Ö, durchzeichnen, fertig. Ä Ganze Zahlen werden als Bruch mit Einteln dargestellt: m Å Ä Å. Gerade g 4 : Aus der Geradengleichung muss man erst die Steigung m und den y-achsenabschnitt b herauslesen: m Å und b Å Ä4. Nun verfährt man wie bei g, markiert b, also auf der y-achse die 4, und wandert von dort aus die Steigung m Å ab, also eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach oben. Neuer Punkt ÑÄ Ö, durchzeichnen, fertig. Die Geraden müssen alle mit g, g, usw. beschriftet werden! b) Da die Geradengleichung g 4 schon vollständig ist, müssen nur die anderen drei berechnet bzw. angegeben werden. Gerade g : Hat man zwei Punkte einer Geraden gegeben, so muss man zuerst die Steigung berechnen. 0 Ä P ÑÄ Ö Ñ Ö P y y y Ä y Ä Ä 0 Ä Ä 0 Ä m Å Å Å Å Å Ä Ä Ä ( Ä) Ç Nun setzt man einen der beiden Punkte und die Steigung in die allgemeine Geradengleichung y Å m É Ç b ein und berechnet b, den y-achsenabschnitt. m Ä Å und Ñ Ä Ö P Ä Å ÄÉÇ b Ä Å ÄÇ b Ç Ä Å b Daraus ergibt sich nun die richtige Geradengleichung y Å Ä Ä. Gerade g : Hier ist die Steigung und ein Punkt schon vorhanden. Man muss also nur den y- Achsenabschnitt b berechnen. m Å Ä und QÑ Ä Ö Ä Å Ä É Ç b Ä Å ÄÇ b Ç 0 Å b Daraus ergibt sich nun die richtige Geradengleichung y Å Ä. (+ 0 nicht schreiben)
4 Gerade g : Für die Gleichung dieser Geraden muss man nichts berechnen. Man setzt einfach m und b in die allgemeine Geradengleichung ein. m Å Ä und b Å 4 Daraus ergibt sich die Geradengleichung y Å Ä Ç 4. c) Ñ 7Ö A für g mit y Å Ä Ç 4 Der y-wert des Punktes A wird eingesetzt und der fehlende Wert für berechnet. 7 Å Ä Ç 4 Ä 4 Ä,5 Å Ñ Ö Å Ä: Ä BÑÄ yö für g 4 mit y Å Ä 4 Daraus ergibt sich AÑÄ,5 7Ö. Der -Wert des Punktes B wird eingesetzt und der fehlende Wert für y berechnet. y Å É ÑÄ Ö Ä 4 y Å Ä6 Ä 4 Daraus ergibt sich BÑÄ Ä 0Ö. y Å Ä0. Aufgabe a) Eine Ursprungsgerade verläuft durch den Ursprung Ñ0 0Ö U. b) Auch hier muss man die Steigung berechnen, da nur zwei Punkte gegeben sind. 0 0 R Ä 4 UÑ Ö und Ñ Ö y Ä y Ä 0 m Å Å Å Å Ä Ä Ä 4 Ä 0 Ä 4 4 Der y-achsenabschnitt kann berechnet werden. Da aber von einer Ursprungsgeraden gesprochen wurde, sollte man wissen, dass b Å 0 ist. Daraus ergibt sich die Geradengleichung y Å Ä Aufgabe a) Der Schnittpunkt mit der y-achse wird mit dem Befehl Å 0 Å 0 y Å É 0 Ä 6 y Å Ä6 Daraus ergibt sich Ñ0 6Ö S y Ä. berechnet.
5 b) Der Schnittpunkt mit der -Achse wird mit dem Befehl y Å 0 y Å 0 0 Å Ä 6 Ç 6 6 Å : Å Daraus ergibt sich S Ñ 0Ö. berechnet. c) Eine Punktprobe führt man durch, indem man beide Werte einsetzt und überprüft, ob die Gleichung stimmt. y Ä 6 P 4 6 Å und Ñ Ö 6 Å É 4 Ä 6 6 Å Ä 6 6 Å 6 Dies ist eine wahre Aussage. Der Punkt liegt auf der Geraden. 5. Aufgabe y Ä Ç b Å und PÑ Ä 4Ö Durch Einsetzen der Werte kann man b berechnen. Ä 4 Å Ä É Ç b Ä 4 Å Ä6 Ç b Ç 6 Daraus ergibt sich die Geradengleichung y Å Ä Ç. Å b 6. Aufgabe In dem gemeinsamen Schnittpunkt von zwei Geraden sind der -Wert und der y-wert für beide Gleichungen gültig. Da die Gleichungen nach y = aufgelöst sind, gibt man den Befehl y Å y. Führt man den Befehl aus und ersetzt die y-variablen durch den gleichwertigen Term mit, erhält man eine Gleichung, die nur noch die Variable enthält und somit kann man berechnen. Å y y 5 Ä Å Ä Ç 9 Ç 5 Å Ä 5,5 Å : 5,5 Å Ç Ç Setzt man den berechneten -Wert in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, erhält man den zugehörigen y-wert. y Å 5 É Ä y Å 0 Ä Daraus ergibt sich SÑ 8Ö als gemeinsamer Schnittpunkt. y Å 8 Zur Sicherheit sollte man im Kopf oder mit dem Taschenrechner die Probe in der anderen Gleichung durchführen. Nur wenn dort der Punkt auch stimmt, ist es wirklich der Schnittpunkt von beiden Geraden. 8 Å Ä É Ç 9 y Å Ä Ç 9 und SÑ 8Ö Stimmt. 8 Å 8
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