Zentrale Klausur 2015 Aufbau der Prüfungsaufgaben

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1 Zentale Klausu 2015 Aufbau de Püfungsaufgaben Die Zentale Klausu 2015 wid umfassen: hilfsmittelfeie Aufgaben zu Analysis und Stochastik eine Analysisaufgabe mit einem außemathematischen Kontextbezug eine Analysisaufgabe mit einem innemathematischen Kontextbezug Als Hilfsmittel wid ein GTR voausgesetzt. Es wid eine Püfungsvaiante geben, die entwede mit GTR ode mit CAS zu beabeiten ist. Die Püfung ist vogegeben, d. h., es müssen alle Aufgaben beabeitet weden. Es findet wede eine Lehe- noch eine Schüleauswahl statt. Daue de Klausu: 100 Minuten Auf den Seiten 2 bis 15 finden Sie eine Auswahl an passenden Übungsaufgaben von unseem Auto Hebet Kompenaß. Auf de Seite finden Sie weitee offizielle Übungsaufgaben, die vom Ministeium zu Vefügung gestellt wuden. 1

2 Zentale Klausu 2015 Übungsaufgaben Analysis - hilfsmittelfei Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f(x) = 1x3 5 x2+ 1x+ 7 = 1 (x+ 2) (x2 12x+ 28) a) Weisen Sie echneisch nach, dass die Funktion f die Nullstelle x = 2 hat. b) Bestimmen Sie die andeen Nullstellen von f. c) Bestimmen Sie die Gleichung de Tangente im Punkt N( 2 0). d) Es sei g a (x) = f(x + a). Bestimmen Sie a so, dass alle Nullstellen de Funktion g im nichtnegativen Teil de x-achse liegen. (De Funktionstem muss nicht ausgeechnet weden.) Aufgabe 2 a) Die nebenstehende Abbildung zeigt den Gaphen de 1. Ableitungsfunktion f ' de Funktion f. Machen Sie Aussagen übe die Funktion f hinsichtlich Monotonie, Extemstellen, Vehalten fü betagsgoße x, die sich aus dem Velauf des Gaphen de Funktion f ' egeben, und begünden Sie Ihe Aussagen. b) Die Punkte P(0 0) und Q(4 4) liegen auf dem Gaphen de Funktion f. Geben Sie begündet an, in wie vielen Punkten de Gaph de Funktion f die gleiche Steigung hat wie die Geade duch die Punkte P und Q. Geben Sie die Stellen, an denen die gleiche Steigung auftitt, ungefäh an. 2

3 Stochastik - hilfsmittelfei Aufgabe 3 Ein neue Liefeant liefet de Fima Binde Steckvebindungen. Um die Qualität des Poduktes festzustellen, weden 50 Steckvebindungen eine gößeen Liefeung übepüft und es wid folgendemaßen vefahen: Sind wenige als 2 Steckvebindungen nicht von de Qualitätsstufe I, so wid die Liefeung angenommen. Bei meh als 2 qualitativ schlechten Vebindungen wid die Liefeung zuückgeschickt. Bei 2 Steckvebindungen, die nicht die Qualitätsstufe I efüllen, weden 100 weitee Steckvebindungen entnommen und ebenfalls untesucht. Sind bei de 2. Kontolle meh als 2 Steckvebindungen nicht von de Qualitätsstufe I, dann wid die Liefeung zuückgeschickt, ansonsten wid sie angenommen. a) Die Zufallsvaiable X gibt die Anzahl de Steckvebindungen an, die nicht de Qualitätsstufe I entspechen. Egänzen Sie die fehlenden Wahscheinlichkeiten im Baumdiagamm. b) Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit, dass die Sendung angenommen wid. c) Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit, dass bei eine zuückgeschickten Sendung nu eine Übepüfung stattgefunden hat. 0,2 0,75 d) Geben Sie die Bedeutung des Tems an. 0,75 + 0,2 0,75 Aufgabe 4 a) Ein Wüfel wid einmal gewofen. Übepüfen Sie, ob die Eeignisse A: Die Augenzahl ist keine Pimzahl. und B: Die Augenzahl ist duch 3 teilba. stochastisch unabhängig sind. b) In eine Une liegen 6 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 6 beschiftet sind. Es wid 3-mal eine Kugel mit Zuücklegen aus de Une gezogen. Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit, dass wenigstens einmal eine 5 ode eine 6 gezogen wude. 3

4 Analysis - mit GTR Aufgabe 5 8x3 12x x 81 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =. 32 a) Zeichnen Sie den Gaphen von f mit dem GTR und bestimmen Sie anhand des Gaphen die Extempunkte. Übepüfen Sie Ihe Egebnisse echneisch. b) Zeigen Sie, dass die Tangente t an den Gaphen de Funktion f im Punkt P( 0,5 4) die Gleichung y = 3x 2,5 hat. c) Bestimmen Sie mithilfe eines mathematischen Ansatzes die Gleichung de Senkechten (Nomalen) zu Tangente im Punkt P. d) Die Tangente, die Nomale und die x-achse schließen ein Deieck ein. Skizzieen Sie das Deieck in Abbildung 1. Beechnen Sie den Flächeninhalt und die Innenwinkel des Deiecks. Abbildung 1 e) De Gaph de Funktion wid veändet. Dabei entsteht de Gaph aus Abbildung 2. De zugehöige Funktionstem hat die Fom g(x) = b f(x) + c. Bestimmen Sie b und c und begünden Sie Ihe Rechnung. Hinweis: Um die Veändeungen des Gaphen von g zu beobachten, können Sie mithilfe zweie Schiebeegle fü die Paamete b und c die Gaphen vaiieen. Wählen Sie fü b und c den Beeich [ 3; 3]. Abbildung 2 4

5 Hinweise und Tipps Aufgabe 1 a Ein Podukt ist null, wenn wenigstens ein Fakto null ist. Aufgabe 1 b Betachten Sie den zweiten angegebenen Funktionstem. Setzen Sie den Funktionstem null und lösen Sie die entstehende quadatische Gleichung z. B. mit de p-q-fomel. Aufgabe 1 c Die Gleichung de Tangente hat die Fom y = mx + b. Die Steigung de Tangente ist gleich de Steigung des Gaphen de Funktion an de Stelle x = 2. Bestimmen Sie den y-achsenabschnitt de Tangente duch Einsetzen bekannte Wete in die allgemeine Fom de Geadengleichung y = mx + b. Aufgabe 1 d Sie haben die Nullstellen beeits in Aufgabenteil b bestimmt. Sie müssen die kleinste Nullstelle so weit nach echts veschieben, bis sie im nichtnegativen Teil de x-achse liegt. Fü a < 0 efolgt eine Veschiebung nach echts. Aufgabe 2 a Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung des Gaphen de Funktion an. De Gaph eine Funktion ist steng monoton steigend, wenn die Funktionswete de Ableitungsfunktion positiv sind, e ist steng monoton fallend, wenn sie negativ sind. In den Extempunkten hat de Gaph die Steigung null und es kommt zu eine Ändeung des Steigungsvehaltens. Schließen Sie aus de Monotonie und aus de Extemstelle auf das Vehalten fü betagsgoße x. Aufgabe 2 b Beechnen Sie die Steigung de Geaden. Zeichnen Sie eine Paallele zu x-achse im Abstand de Steigung de Geaden. Leiten Sie hieaus die Punkte von f he, an denen die Funktion die gleiche Steigung hat wie die Geade. Aufgabe 3 a Die Summe de Wahscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Vezweigungspunkt ausgehen, ist 1. 5

6 Aufgabe 3 b Wenden Sie die Pfadegeln an. Aufgabe 3 c Tagen Sie die Wahscheinlichkeiten entwede in eine Viefeldetafel ein ode zeichnen Sie ein umgekehtes Baumdiagamm. Gesucht ist eine bedingte Wahscheinlichkeit. Aufgabe 3 d Schauen Sie im Baumdiagamm in Teilaufgabe a, welche Wahscheinlichkeiten dividiet weden. Aufgabe 4 a Bestimmen Sie zuest die Egebnisse, die zu A bzw. zu B gehöen. Zwei Eeignisse sind stochastisch unabhängig, wenn gilt: P(A B) = P(A) P(B) Aufgabe 4 b Fassen Sie die Zahlen, die gezogen weden können, günstig zusammen. Zeichnen Sie ein veeinfachtes Baumdiagamm. Beechnen Sie die gesuchte Wahscheinlichkeit übe das Gegeneeignis. Aufgabe 5 a Die notwendige Bedingung fü Extemstellen lautet: f '(x) = 0 Die hineichende Bedingung fü eine Minimumstelle (Maximumstelle) ist ein /+ - Vozeichenwechsel ( +/ -Vozeichenwechsel) de 1. Ableitungsfunktion an de möglichen Extemstelle. Aufgabe 5 b Die Steigung de Tangente im Punkt P ist gleich de Steigung des Gaphen in P. Die 1. Ableitungsfunktion gibt die Steigung des Gaphen an. Die allgemeine Nomalfom de Geadengleichung lautet y = m x + b. Bestimmen Sie die Gleichung de Tangente mithilfe de Koodinaten des Punktes P und de Steigung des Gaphen im Punkt P. Aufgabe 5 c Die Steigungen senkecht aufeinande stehende Geaden efüllen die Gleichung m 1 m 2 = 1. Bestimmen Sie die Gleichung de Senkechten (Nomalen) mithilfe de Koodinaten des Punktes P und de Steigung des Gaphen im Punkt P. 6

7 Aufgabe 5 d De Flächeninhalt eines Deiecks beechnet sich nach de Fomel A= g h. Bestimmen Sie zu Beechnung de Länge de Gundseite die Nullstellen von Tangente und Nomale. Das Lot vom Punkt P auf die x-achse ist die Höhe des Deiecks. Beachten Sie, dass de Punkt P untehalb de x-achse liegt. De Schnittwinkel eine Geaden mit de x-achse kann duch die Gleichung m = tan α beechnet weden. Beachten Sie, dass negative Winkel den Schnittwinkel zwischen x-achse und Geade im Uhzeigesinn angeben. Aufgabe 5 e Übelegen Sie, ob eine Veschiebung in Richtung de x-achse stattgefunden hat. Bestimmen Sie c, indem Sie die Veändeung de Lage vom Hochpunkt von f betachten. Bestimmen Sie b, indem Sie die Veändeung de Lage vom Tiefpunkt von f betachten

8 Lösung Aufgabe 1 a) Ein Podukt wid null, wenn wenigstens ein Fakto null wid. Beim Einsetzen von 2 in den Fakto x + 2 nimmt diese Fakto den Wet 0 an. Somit wid de gesamte Funktionstem gleich null. Altenativ: Rechnung f( 2) = ( 2) ( 2) + ( 2) + 7 = ( 8) = = b) f(x) = 0 x = 2 ode x 2 12x + 28 = 0 1 Lösen de quadatischen Gleichung mithilfe de p-q-fomel (p = 12 und q = 28): x 2; 3 = 6 ± = 6 ± 8 c) Die Steigung m de Tangente im Punkt N ist gleich de Steigung des Gaphen im Punkt N. Duch Einsetzen des Aguments 2 in die 1. Ableitungsfunktion ehält man die Steigung des Gaphen im Punkt N. Bildet man mit de Potenzegel und de Summen- / Diffeenzegel die 1. Ableitungsfunktion, so ehält man: f'(x) = x x f'( 2) = ( 2) ( 2) + = = + 5+ = Einsetzen de Koodinaten des Punktes N in die allgemeine Fom de Geadengleichung y = mx + b egibt: 0= 7 ( 2) + b b= 14 Die Tangente an den Gaphen de Funktion f im Punkt N( 2 0) hat die Gleichung y = 7x d) Nach Aufgabenteil b ist x = 2 die kleinste Nullstelle. De Gaph von f muss somit um mindestens 2 Einheiten nach echts veschoben weden. Z. B. ist somit a = 2 und g(x) = f(x 2). Anmekung: Die Abbildung ist nicht velangt. 8

9 Aufgabe 2 a) De Gaph de Funktion f ' beüht die x-achse an de Stelle x = 1 und schneidet die x-achse im Punkt N(4 0). Fü x < 4 veläuft de Gaph im nichtnegativen Beeich, fü x > 4 im negativen Beeich. De Gaph de Funktion f ist dahe fü x < 4 monoton steigend und fü x > 4 monoton fallend. Die notwendige Bedingung fü Extemstellen ist f '(x) = 0. Die notwendige Bedingung ist fü x = 1 und x = 4 efüllt. Die hineichende Bedingung fü Extemstellen ist: f '(x) = 0 und f '(x) hat an den möglichen Extemstellen einen Vozeichenwechsel. Dahe hat de Gaph de Funktion f die Extemstelle x = 4. Da de Gaph bis x = 4 steigt und anschließend fällt, handelt es sich um eine Maximumstelle. De Gaph de Funktion ist bis x = 4 (steng) monoton steigend, hat in H(4 f(4)) einen Hochpunkt und fällt anschließend. Dahe läuft de Gaph fü betagsgoße x gegen. b) Die Uspungsgeade g PQ hat die Steigung: 4 0 m= = Zeichnet man eine Paallele zu x-achse im Abstand 1 (im positiven Beeich), so geben die gemeinsamen Punkte von Paallele und Gaph de Ableitungsfunktion die Anzahl de Punkte des Gaphen mit de Steigung 1 an, siehe Abbildung. Die Paallele schneidet den Gaphen de 1. Ableitungsfunktion an de Stelle x = 0 und beüht ihn an de Stelle x = 3. In den Punkten P 1 (0 f(0)) und P 2 (3 f(3)) hat de Gaph de Funktion die gleiche Steigung wie die Geade duch die Punkte P und Q. Aufgabe 3 a) 9

10 b) P(Sendung angenommen) = 0,75 + 0,2 0,75 = 0,9 Die Wahscheinlichkeit, dass die Sendung angenommen wid, betägt 0,9. c) Viefeldetafel: Annahme Rücksendung eine Übepüfung 0,75 0,05 0,8 zwei Übepüfungen 0,15 0,05 0,2 0,9 0,1 1 De Anteil de Rücksendungen insgesamt betägt 10 %, de Anteil de Rücksendungen nach de 1. Übepüfung 5 %. Die Wahscheinlichkeit, dass bei eine zuückgeschickten Sendung nu eine Übepüfung stattgefunden hat, ist somit: 0,05 1 = 0,1 2 Altenative 1: fomal mit de bedingten Wahscheinlichkeit P Rücksendung P(Rücksendung und eine Übepüfung) (eine Übepüfung) = P(Rücksendung) 0,05 0,05 = = = 0,5 0,05 + 0, 2 0, 25 0,1 Altenative 2: mit dem umgekehten Baumdiagamm 0,1 x = 0,05 x = 0,5 d) De Tem gibt die Wahscheinlichkeit an, dass 2 Übepüfungen stattgefunden haben, wenn die Wae angenommen woden ist. Aufgabe 4 a) A = {1; 4; 6} Β = {3; 6} Beim Wüfeln handelt es sich um ein Laplace-Expeiment. Die Wahscheinlichkeit fü ein Eeignis ehält man in diesem Fall, indem man die Anzahl de günstigen Fälle duch die Anzahl de möglichen Fälle dividiet. Daduch ehält man: 3 1 P(A) = = und P(B) = =

11 Zwei Eeignisse sind stochastisch unabhängig, wenn P(A B) = P(A) P(B) gilt. A B = {6} 1 P(A B) = P(A) P(B) = = = P(A B) Die Eeignisse A und B sind stochastisch unabhängig. b) Es wid wenigstens dann einmal eine 5 ode eine 6 gezogen, wenn nicht bei jede Ziehung eine 1, 2, 3 ode 4 gezogen wid. Eine günstige Beechnung efolgt somit übe das Gegeneeignis P(wenigstens einmal eine 5 ode 6) = 1 P(3-mal1 bis 4) = 1 = 1 = Aufgabe 5 a) Man zeichnet den Gaphen de Funktion f und lässt sich die Extempunkte anzeigen. De Gaph de Funktion hat den elativen Hochpunkt H(1,5 0) und den elativen Tiefpunkt T( 2,5 8). 3 11

12 Die notwendige Bedingung fü Extemstellen lautet: f '(x) = 0 Definiet man die 1. Ableitungsfunktion a(x) de Funktion f(x) und beechnet die Nullstellen de Funktion a(x), so ehält man als mögliche Extemstellen x = 1,5 bzw. x = 2,5. Altenative Beechnung: Eine Beechnung übe polyroots egibt ebenfalls die möglichen Extemstellen x = 1,5 bzw. x = 2,5. Die hineichende Bedingung fü eine Minimumstelle (Maximumstelle) ist, dass f '(x) = 0 ist und dass f ' an de beteffenden Stelle einen /+ -Vozeichenwechsel ( +/ -Vozeichenwechsel) hat. Die Funktion a(x) hat an de Stelle x = 2,5 einen /+ -Vozeichenwechsel, weshalb x = 2,5 eine Minimumstelle ist. Da a(x) an de Stelle x = 1,5 einen +/ - Vozeichenwechsel hat, ist x = 1,5 eine Maximumstelle. Das Minimum bei x = 2,5 hat die y-koodinate 8, das Maximum bei x = 1,5 hat die y-koodinate 0. De Gaph de Funktion hat den elativen Hochpunkt H(1,5 0) und den elativen Tiefpunkt T( 2,5 8). b) Die Steigung de Tangente im Punkt P ist gleich de Steigung des Gaphen in P. Diese ist gleich dem Funktionswet de 1. Ableitungsfunktion an de Stelle x = 0,5. Setzt man die Koodinaten des Punktes P und die beechnete Steigung des Gaphen in P in die allgemeine Nomalfom de Geadengleichung y = m x + b ein, so ehält man den y-achsenabschnitt de Tangente. Die Gleichung de Tangente t im Punkt P lautet: y = 3x 2,5 12

13 c) Fü die Steigung zweie Geaden, die senkecht aufeinande stehen, gilt m1 m2= m 2= 1 m2= 3 Die Steigung de Senkechten im Punkt P ist somit gleich 1 3. Setzt man die Koodinaten des Punktes P und die beechnete Steigung des Gaphen im Punkt P in die allgemeine Nomalfom de Geadengleichung y = m x + b ein, so ehält man den y-achsenabschnitt de Senkechten = ( 0,5) + b b= 3 6 Die Gleichung de Senkechten n zu Tangente im Punkt P lautet y= 1x d) Das Deieck ist festgelegt duch den Punkt P und die Schnittpunkte von Tangente und Nomale mit de x-achse (de Geaden y = 0). Setzt man die Funktionsteme von Tangente und Nomale gleich null, so ehält man die Schnittpunkte S 1 ( 0,833 0) und S 2 ( 12,5 0). 13

14 De Flächeninhalt des Deiecks beechnet sich nach de Fomel A= 1 g h. 2 Die Länge de Gundseite ist gleich dem Abstand de Schnittpunkte S 1 und S 2, die Höhe gleich dem Betag des y-achsenabschnitts des Punktes P. De Flächeninhalt des Deiecks betägt etwa 26,67 [FE]. Hat eine Geade die Steigung m, so kann übe die Gleichung m = tan α de Schnittwinkel de Geaden mit de x-achse beechnet weden. Ist de Winkel negativ, so ist dies de Winkel zwischen de x-achse und de Geaden im Uhzeigesinn. De Winkel des Deiecks bei S 1 hat eine Göße von 71,57. De Winkel des Deiecks bei S 2 hat eine Göße von 18,43. De Winkel des Deiecks bei P ist mit 90 gegeben (die Nomale steht senkecht auf de Tangente). e) Veändeungen mithilfe de Schiebeegle zeigen, dass sowohl b als auch c negativ sein müssen. g(x) = f(x) 14

15 g(x) = 0,4 f(x) g(x) = 0,4 f(x) 2,3 Anhand des Tems f(x) im Funktionstem de Funktion g ekennt man, dass keine Veschiebung in Richtung de x-achse stattgefunden hat. Fü alle Punkte P(z 0) auf de x-achse gilt: g(z) = b f(z) + c = b 0 + c = c De Punkt N(1,5 0) des Gaphen de Funktion f wude auf den Punkt N'(1,5 2) veschoben. Dahe ist c = 2. Aus dem elativen Tiefpunkt T( 2,5 8) wude de elative Hochpunkt H'( 2,5 2) des Gaphen de Funktion g. Damit gilt die Gleichung: 2= b f( 2,5) 2 2= b ( 8) 2 4= 8b b= 0,5 15