Analytische Geometrie des Raumes

Transkript

1 Analytische Geometrie des Raumes Als Begründer der analytischen Geometrie gilt René Descartes (Discours de la méthode). Seine grundliegende Idee bestand darin, geometrische Gebilde (Gerade, Kreis, Ellipse Parabel, Hyperbel, usw.) bezüglich eines rechtwinkligen Koordinatensystems durch Gleichungen zu beschreiben.. Repetition der Vektorrechnung Die Komponenten eines Vektors 3 können als Relatikoordinaten des Endpunkts bezüglich des Anfangspunkts aufgefasst werden. Wird ein Vektor im Ursprung abgetragen, so spricht man on einem Ortsektor. Die Komponenten eines Ortsektors stimmen mit den Koordinaten des Endpunkts überein. Im folgenden werden immer wieder gebraucht: () Absoluter Betrag eines Vektors : 3 () Verbindungsektors zweier Punkte AB AB b a "Endpunkt minus Anfangspunkt" (3) Mittelpunkt M einer Strecke: m ( a b ) "halber Diagonalenektor eines Parallelogramms" pargl_.doc.0.0/ul

2 . Darstellung der Geraden in der Grundebene. Koordinatengleichung Eine Gerade der Grundebene, die nicht zur y-achse parallel ist, kann bekanntlich durch eine Gleichung der Form y = mx + q dargestellt werden (explizite Form der Geradengleichung). y m tan heisst Steigung der Geraden, Steigungswinkel, q y-achsenabschnitt x Bem. m beschreibt die Änderung on y, wenn x um wächst. Ist m < 0 so fällt die Gerade, für m > 0 steigt sie. Bei Parallelen zur x-achse ist m = 0 B: Koordinatengleichung der Geraden durch die Punkte A(-,) B(,3): () Ansatz y = mx + q 3 Steigung m ( ) 5 Der y-achsenabschnitt q ergibt sich, indem man die Koordinaten on A oder B in die Geradengleichung einsetzt. Gesuchte Gleichung 5 y x pargl_.doc.0.0/ul

3 3. Parametergleichung der Geraden Eine Gerade kann aber auch ektoriell durch eine sogenannte Parametergleichung der Geraden beschrieben werden Ist eine Gerade g durch die beiden Punkte A und B festgelegt, dann gilt für jeden Geradenpunkt P: AP ist ein geeignetes Vielfaches des Richtungsektors u AB d.h. AP t u mit t R Für den Ortsektor r zu einem beliebigengeradenpunkt P gilt damit: r a t u Parametergleichung der Geraden r : Ortsektor zu einem beliebigen Geradenpunkt P a : Ortsektor zu einem gegebenen Geradenpunkt A u : Richtungsektor der Geraden z.b. u AB t: Parameter, der aussagt, wie oft der Richtungsektor on A aus abzutragen ist, um nach P zu gelangen. Parametergleichung der Geraden durch die Punkte A(-/) B(/3): () x x t r t y y t Die Parametergleichung beschreibt die Bewegung eines Massenpunktes, der zur Zeit t = 0 im Punkt A startet und sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit u bewegt. a) Wo befindet sich der Punkt zur Zeit t = 5? P(9,7) b) Zu welcher Zeit erreicht der Punkt die x-achse? y = 0 für t = - und damit x = -5 P(-5,0) Nach welcher Zeit hat der Massenpunkt eine Strecke der Länge d 45 zurückgelegt? Da der Richtungsektor (d.h. Geschwindigkeitsektor) den absoluten Betrag u 5 hat, gilt: t 3 d.h. in 3 Zeiteinheiten legt der Massenpunkt eine Strecke der Länge d 45 zurück. pargl_.doc.0.0/ul

4 4 Eliminiert man in () den Parameter t, so erhält man erneut die Koordinatengleichung () x = - + t y = + t addiert x - y + 5 = 0 (3) oder pargl_.doc.0.0/ul 5 y x Allg: Multipliziert man die beiden Komponenten der Parametergleichung mit geeigneten Faktoren () x = a + tu u 0 y = a + tu (-u ) 0 so erhält man nach Addition der beiden Gleichungen u x - u y = a u - a u bzw. u x - u y - a u + a u = 0 (*) also eine Gleichung der Form (4) ax + by + c = 0. Diese Gleichung heisst implizite Form der Geradengleichung Bem. Es dürfen nicht beide Koeffizienten a und b gleich 0 sein d.h. es muss a b 0 sein. Fasst man die Koeffizienten on x bzw. y als Komponenten eines Vektors n auf, so gilt: Satz: Jede Gerade in der Grundebene kann durch eine Gleichung der Form ax + by +c = 0 a dargestellt werden. n ist ein Normalenektor der Geraden. b Beweis: Liegen P (x /y ) und P (x /y ) auf der Geraden g dann gilt: ax + by + c = 0 ax + by + c = 0 Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt: a (x - x ) + b (y -y ) = 0 oder als Skalarprodukt aufgefasst: n PP 0. Die Aussage ergibt sich ebenfalls aus der Gleichung *. Der aus den Koeffizienten on x und y u u gebildete Vektor und jedes Vielfache daon steht auf dem Richtungsektor der u u geraden senkrecht. Bem. Im Beispiel ist n Ist in (4) b = 0, so stellt (4) eine Parallele zur y-achse dar. Andernfalls kann man die Gleichung nach y auflösen und erhält:

5 5 y m a c x d.h eine Gerade mit der Gleichung y = mx + q b b a c heisst Steigung, q b a y-achsenabschnitt..3 Zwischenwinkel zweier Geraden Gegeben sind zwei Geraden g und g mit den Steigungen m bzw. m. Bekanntlich gilt dann für die Steigungswinkel bzw. : m = tan bzw. m = tan : Gesucht ist der Winkel, um den man g im positien Sinn drehen muss, bis g mit g zusammenfällt. Für diesen Winkel gilt entweder + = oder + = +80 also = - = Wegen der Periodizität on 80 des Tangens gilt in beiden Fällen: tan tan m m tan tan tan tan mm B: g : x - 3y + 6 = 0 y = / 3 x + m = / 3 g : x + y + 4 = 0 y = - / x - m = - / tan Spezialfall: Wenn m m = - gilt stehen g und g senkrecht aufeinander. Bem: Der Zwischenwinkel kann auch mit dem Skalarprodukt als Winkel zwischen den Richtungsektoren u m und u bestimmt werden: m pargl_.doc.0.0/ul

6 6.4 Beispiele Aufgabe: Zwei Schiffe A und B fahren auf geradlinigen Kursen mit konstanten Geschwindigkeiten aufeinander zu. Wann kommen sie sich am nächsten? B Zur Zeit t = 0 befinden sich die beiden Schiffe in A(0,0) bzw. B(0,5) Geschwindigkeiten A 3 bzw. B Nach t Zeiteinheiten befinden sich die beiden Schiffe bei 3 r A t bzw. 0 rb t 5 Für den Verbindungsektor der beiden Schiffe gilt: t ra rb 5 t Der Abstand wird minimal, wenn der absolute Betrag des Verbindungsektors bzw. dessen Quadrat minimal ist. Dieses Abstandsquadrat D(t) = t + (5 - t) = 5(t - ) + 5 wird für t = minimal. Zu diesem Zeitpunkt befinden sich die Körper in den Punkten A(6,) bzw. B(4,3). Wegen D() = 5 ist der minimale Abstand 5. pargl_.doc.0.0/ul

7 7 Eine geometrische Lösung dieses Problems: Idee: Betrachte die Bewegung des Schiffes B on A aus: Wegen PQ b t u a t b a t u befindet sich B - om Schiff A aus gesehen - am Ort a PQ b t u d.h. B bewegt sich scheinbar auf einer Geraden g' durch B mit der Differenzgeschwindigkeit u Zur Lösung fällt man das Lot on A auf g' und ermittelt P auf g und Q auf g so, dass AQ ' PQ. pargl_.doc.0.0/ul