AngStat1(Ue13-21).doc 23

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1 3. Ereigisse Versuchsausgäge ud Wahrscheilicheite: a) Wie wird die Wahrscheilicheit des Auftretes eies Elemetarereigisses A geschätzt? A Ω heißt Elemetarereigis we es ur eie Versuchsausgag ethält also A { ω} mit ω Ω gilt. Führt ma das stochastische Experimet -mal (Stichprobe vom Umfag ) so schätzt der Quotiet Azahl der Experimete i dee ω eigetrete ist / also die relative Häufigeit des Auftretes vo ω i der Stichprobe diese Wahrscheilicheit. b) Wie bezeichet ma die Mege aller mögliche Ereigisse? Ω c) Wie et ma ei Ereigis A desse Auftreteswahrscheilicheit A) ist? Besitze alle Versuchsausgäge (Elemetarereigisse) eie positive Wahrscheilicheit so a A Ω ur da die Wahrscheilicheit habe we A Ω gilt A also das sichere Ereigis ist. d) Wie groß ist die Wahrscheilicheit für ei umögliches Ereigis? ) e) Was versteht ma uter eiem Komplemetärereigis? (Erlärug ud ei Beispiel bitte.) A ist omplemetär zu A we beide disjut sid ud A A Ω gilt also A alle Versuchsausgäge ethält die icht zu A gehöre. A tritt geau da ei we A icht eitritt. Beispiel Würfel: A gerade Augezahl A ugerade Augezahl f) Wie groß ist die Wahrscheilicheit für das Komplemetärereigis A vo A we A) 5 ist? P ( A) A) 5 5 g) Welcher Sachverhalt gilt für zwei disjute Ereigisse A ud B? A B A ud B öe icht gleichzeitig eitrete eie gemeisame Versuchsausgäge h) Wie lautet das Additiostheorem der Wahrscheilicheit für icht disjute Ereigisse? A B) A) + B) A B) disjute Ereigisse? P ( A B) A) + B) AgStat(Ue3-).doc 3

2 4. Sie würfel mit eiem schwarze ud eiem weiße Würfel die jeweils mit der Wahrscheilicheit /6 die Augezahle 4965 oder 36 zeige. Die Ergebisse i j vo Zahle auf. schreibe Sie als Paare ( ) (a) Wie viele uterschiedliche Versuchsausgäge gibt es? (b) Mit welcher Wahrscheilicheit tritt jeder auf? (c) Mit welcher Wahrscheilicheit erhalte Sie eie Augesumme vo midestes 6? Beatworte Sie alle Frage och eimal we Sie statt desse zwei weiße Würfel beutze die icht uterscheidbar sid. Überlege Sie zuächst wie Sie die Würfelergebisse aufschreibe. Lösug: Schwarzer ud weißer Würfel: (a) Das Mermal X "Augezahl des schwarze Würfels" hat 6 uterschiedliche Auspräguge i Das Mermal Y"Augezahl des weiße Würfels" hat ebefalls 6 uterschiedliche Auspräguge i Alle Auspräguge sid beliebig ombiierbar ud liefer uterschiedliche Würfelergebisse. Es gibt also uterschiedliche Versuchsausgäge Ω {( i j) : i j { } {( ) ( 4 ) ( 36) ( 4 ) ( 44) ( 436) ( 36 ) ( 364) ( 3636) } mit Ω (b) Alle Würfelergebisse habe die gleiche Wahrscheilicheit also P (( i j) ) für alle 36 Kombiatioe i j { } 36 (c) Augesumme ist midestes 6 ( + Y 6) vorliegt mit i + j 6 es gilt also: P X we ei Versuchsausgag (ij) ( X + Y 6 ) {( 3636) ( 536) ( 365) }) % 3 36 AgStat(Ue3-).doc 4

3 Zwei weiße Würfel: (a) Die Würfelergebisse (4) ud (4) sid u icht mehr uterscheidbar Abgesehe vom sog. Pasch (beide Augezahle sid gleich) halbiert sich die Zahl der uterschiedliche Würfelergebisse Isgesamt gibt es 6 mal Pasch ud 5 Würfelergebisse mit uterschiedliche Augezahle: Ω (b) Jeder Pasch hat uverädert die Wahrscheilicheit. Für die übrige Ausgäge 36 gilt dass sie höhere Wahrscheilicheite besitze da sie sich eigetlich aus zwei Ereigisse zusammesetze. Sie besitze also die Wahrscheilicheite Zur Kotrolle gilt auch hier dass die Summe aller Wahrscheilicheite ist: (c) Keie Äderug AgStat(Ue3-).doc 5

4 5. Bereche Sie die Biomialoeffiziete: 5 ud Lösug: Azahl der Möglicheite aus Objete auszuwähle: ( )!( )!! ) ( mit < > oder falls 5 5 ud 6 AgStat(Ue3-).doc 6

5 6. I eier Versammlug der Studierede der Psychologie der TU Brauschweig sid 4 Studierede ohe Vordiplom ud 98 Studierede mit Vordiplom awesed. Gebe Sie für eie Tombola mit gleiche Preise Auswahlverfahre a die jeweils zeh Studierede zufällig aus alle Teilehmer auswähle so dass die Azahl der dabei ausgewählte Studierede mit Vordiplom eie hypergeometrisch (bzw. eie biomial) verteilte Zufallsvariable ist. Bereche Sie i beide Fälle die Wahrscheilicheit dass geau 3 Studierede (bzw. midestes Studiereder) mit Vordiplom ausgewählt werde. Lösug: Studierede werde aus eier "Ure" mit R 98 Studierede mit Vordiplom ud N R 4 Studierede ohe Vordiplom "gezoge". Isgesamt sid also N Studierede i der "Ure" X "Azahl der Studierede mit Vordiplom" uter de gezogee. (Zufallsvariable oder Mermal mit de Auspräguge...) X ist hypergeometrisch verteilt falls "ohe Zurüclege" gezoge wird (Jeder a ur eie Preis gewie): X Hyp ( ; N R) X ist biomialverteilt falls "mit Zurüclege" gezoge wird ( uabhägige Ziehuge mit jeweils alle N Studierede): X Bi ( ; p) Mit der Wahrscheilicheit p bei eier Eizelziehug eie Studierede mit Vordiplom zu ziehe. Es gilt hier: Azahl" Güstige" R p % Azahl" Mögliche" N Ziehe mit Zurüclege (Biomialverteilug) 49 X Bi ( ; p) mit ud p % X ) p ( p) für Hier iteressiert us zuächst der Fall 3 (es werde geau 3 Studierede mit Vordiplom ausgewählt) P ( X 3) p ( p) 5 5% 3 3 Jetzt iteressiere us die Fälle : X ) X ) + X ) + + X ) Wege X ) + X ) + X ) + + X ) erhalte wir für die gesuchte Wahrscheilicheit: 6 X ) X ) p ( p) % AgStat(Ue3-).doc

6 Ziehe ohe Zurüclege (Hypergeometrische Verteilug) X "Azahl der gezogee Studierede mit Vordiplom" ist hypergeometrisch verteilt falls jeder Studierede ur eie Preis gewie a also aus eier Ure mit alle "Studierede" ohe Zurüclege gezoge wird. R N R X Hyp ( ; N R) r r mit P ( X r) für r Dabei bedeute wie vorher: N Azahl aller awesede Studierede R Azahl aller Studiereder mit Vordiplom uter de Awesede Azahl aller zu ziehede Studierede r Azahl aller Studiereder mit Vordiplom uter de gezogee Hier gilt N R 98 ud wir iteressiere us für die Fälle r 3 ud r. N X 3) X 3) 55 55% oder ( 3) P X X ) X ) X ) % AgStat(Ue3-).doc 8

7 . Sie habe zwei Ure vor sich. I der erste befide sich Kugel davo 4 rote ud i der zweite 4 Kugel davo rote. Bereche Sie ob es wahrscheilicher ist: aus der erste Ure beim Herausehme vo zwei Kugel ohe Zurüclege zwei rote oder aus der zweite Ure bei eimaligem Ziehe eie rote Kugel zu ziehe. Lösug: Ziehe aus erster Ure: URNENMODELL I (ohe Zurüclege) mit N R4 X Azahl der gezogee rote Kugel Hyp(:4) P ( X )) 86% Ziehe aus zweiter Ure: URNENMODELL (egal) rote Kugel ziehe ) 5% > 86% 4 8. Die Augesumme X beim Würfel mit zwei Würfel ist eie Zufallsvariable. Etscheide Sie ob sie biomialverteilt oder hypergeometrisch verteilt ist oder eie der beide Verteiluge besitzt. Lösug: Keies der beide Modelle passt da die zugrudeliegede stochastische Experimete völlig aders sid ud die Verteilug der Augesumme auch Wahrscheilicheite besitzt die weder durch das Uremodell I och durch II erzeugt werde öe. AgStat(Ue3-).doc 9

8 9. Zwei Geschwister ziehe Lose. Vo de Lose ist lediglich eies ei Gewilos währed die übrige Niete sid. Beide ziehe acheiader je ei Los. Wer hat die größere Gewichace. Lösug: Lose sid ummeriert. ( ) Nr. ist das Gewilos. Ω {( i j) : i j { } i j} mit Ω ( ) i Losummer beim erste Ziehe j Losummer beim zweite Ziehe Ereigisse. R "Wer als erster zieht gewit" R "Wer als zweiter zieht gewit" {( ) } R j : j mit {( ) } R ud R ) R i : i mit R ud R ) Für beide ist die Gewiwahrscheilicheit gleich /. ( ) ( ) AgStat(Ue3-).doc 3

9 . Zwei befreudete Familie aus 6 bzw. 4 Persoe habe Theaterarte für ebeeiader gelegee Sitze geauft. Da die Sicht vo de Plätze uterschiedlich ist werde die Plätze utereiader ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheilicheit dass die 4-öpfige Familie ebeeiader sitzt? Beschreibe Sie alle Versuchsausgäge beim Lose ud gebe Sie dere Azahl ud Wahrscheilicheite a! Gebe sie alle Versuchsausgäge a für die die 4-öpfige Familie zusammesitzt ud bestimme Sie die obige Wahrscheilicheit! Lösug: Lösug : Stochastisches Experimet: Auslose der Persoe P P... P auf die Plätze.... Versuchsausgäge: Alle Aorduge der Persoe auf de Plätze (i... i ) Ω mit i j { P P P... P } Dabei bedeutet i P 3 dass die Perso 3 auf Platz sitzt. Familie { P... P 4 } ud Familie { P 5... P } Aus der Vorlesug ist beat: Ω 9! Modell: Es wird so ausgelost dass jede Verteilug X (i... i ) der Plätze die gleiche Chace hat realisiert zu werde. Es gilt also: X (i... i )) /! Für alle (i... i ) Ω. Familie sitzt i de folgede Fälle (Versuchsausgäge) zusamme: (P P P 3 P 4 P 5 P 6... P ) ud alle 4! Vertauschuge der Persoe bis 4 ud alle 6! Vertauschuge der Persoe 5 bis utereiader. (P 5 P P P 3 P 4 P 6... P ) ud alle 4! Vertauschuge der Persoe bis 4 ud alle 6! Vertauschuge der Persoe 5 bis utereiader.... (P 5... P P P P 3 P 4 ) ud alle 4! Vertauschuge der Persoe bis 4 ud alle 6! Vertauschuge der Persoe 5 bis utereiader. Damit gibt es isgesamt 4! 6! Verschiedee Versuchsausgäge i dee die Familie (4-öpfig) zusammesitzt. Das Ereigis A dass die 4-öpfige Familie bei diesem Losverfahre zusammehägede Plätze erhält besitzt also die Wahrscheilicheit: P A Ω 4! 6!! ( A) 33 33% AgStat(Ue3-).doc 3

10 Lösug : Stochastisches Experimet: Auslose der Persoe P P... P 4 der Familie auf die Plätze.... (Familie ud Persoe wie i Lösug ) Versuchsausgäge: Alle Auswahle der 4 Plätze für Familie aus de Plätze (i... i 4 ) Ω mit i j {... } mit i < i < i 3 < i 4 ) Dabei bedeutet i 4 dass eie Perso vo Familie auf Platz 4 sitzt. Aus der Vorlesug ist beat dass es geau 9 8 Ω solcher Auswahle gibt. Modell: Es wird so ausgelost dass jede Auswahl X (i... i 4 ) der Plätze die gleiche Chace hat realisiert zu werde. Es gilt also: X (i... i 4 )) / Für alle (i... i 4 ) Ω. Familie sitzt i de folgede Fälle (Versuchsausgäge) zusamme: (34) (345)... (89) also i isgesamt der Fälle. Das Ereigis A dass die 4-öpfige Familie bei diesem Losverfahre zusammehägede Plätze erhält besitzt also die Wahrscheilicheit: P A Ω 4 3 ( A) 33 33% Beide Modelle führe also zum gleiche Ergebis. Losverfahre: I beide Fälle muss u ei Losverfahre agegebe werde dass alle! Aorduge bzw. alle Auswahle der 4 Plätze die gleiche Chace eiräumt. Fall: Lostrommel mit Lose (ummeriert mit...). Jede Perso zieht acheiader ei Los (Losummer Platzummer) Fall : Lostrommel wie i Fall aber es werde ur 4 Lose für Familie gezoge. AgStat(Ue3-).doc 3

11 . Bei eiem bestimmte statistische Verfahre betrage die sog. Irrtumswahrscheilicheit ( Wahrscheilicheit eie Fehletscheidug zu treffe) 5%. Ma bereche die Wahrscheilicheit dafür dass bei -maliger uabhägiger Awedug dieses Verfahres höchstes eimal eie solche Fehletscheidug gefällt wird ( ud ). Lösug: Stochastisches Experimet Durchführug eies statistische Verfahres mit de Versuchsausgäge: Fehletscheidug bzw. richtige Etscheidug mit Fehletscheidug ) p 5 5% bzw. richtige Etscheidug ) -p 95 95% Dieses Verfahre wir -mal uabhägig durchgeführt. Zufallsvariable: X "Azahl der Fehletscheiduge" Bi(p) P ( X ) X ) + X ) p ( p) + p ( p) Damit ergibt sich für ( p) + p( p) ( p) [( p) + p] ( p) [ p + p] 9 ( ) 95 [ ] % : P X ud für : P X 99 ( ) 95 [ ] % AgStat(Ue3-).doc 33