STATISTIK 1 - BEGLEITVERANSTALTUNG

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1 STATISTIK 1 - BEGLEITVERANSTALTUNG VORLESUNG 2 - WAHRSCHEINLICHKEIT Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

2 AGENDA 01 WAS IST WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG? 02 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 03 PERMUTATIONEN & KOMBINATIONEN 04 BERNOULLI-PROZESS/ BINOMINALVERTEILUNG 05 ÜBUNGEN Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

3 WAS IST WAHRSCHEINLICHKEITS- RECHNUNG? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

4 SUBJEKTIVE VS. OBJEKTIVE WAHRSCHEINLICHKEIT Wahrscheinlich wird es morgen regnen. Wahrscheinlich schaffe ich die Klausur. Statistische Wahrscheinlichkeit: Beschreibung von beobachteten Häufigkeiten bei beliebig oft wiederholbaren Vorgängen, deren Ausgang nicht vorhersehbar ist Zufallsexperiment: Vorgang, der nach einer ganz bestimmten Vorschrift ausgeführt wird und dessen Ergebnis vom Zufall abhängt Dieses Ergebnis wird Elementarergebnis bzw. Menge der Elementarergebnisse (Ώ) genannt Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

5 GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus dem Verhältnis günstiger Ereignisse zu möglichen Ereignissen p günstige Ereignisse mögliche Ereignisse Laplace-Experimente: alle Elementarergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit Beispiel: Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einmaligem Versuch eine 1 zu würfeln? 1 Mögliche Ereignisse: Sechs, nämlich die Zahlen 1 bis 6 p 1 6 Günstige Ereignisse: Eins, nämlich die Zahl Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

6 GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Vereinigung von Ereignissen: ein Ergebnis, das eintritt, wenn mindestens ein Ergebnis der verknüpften Ergebnisse eintritt Zahl 1 ODER (als auch) Zahl 3 = 1 U 3 Mögliche Ereignisse: Sechs, nämlich die Zahlen 1 bis 6 Günstige Ereignisse: Zwei, nämlich die Zahlen 1 oder p 1 oder Unmögliche Ergebnisse: Ergebnis kann bei den behandelten Zufallsexperiment nicht eintreten Zahl 7 auf einem sechsseitigen Würfel = Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

7 GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Komplementäre Ergebnisse: Alle Ergebnisse außer ein bestimmtes Ergebnis Alle Zahlen außer 1; A = 2 U 3 U 4 U 5 U 6 Oder A = 1 P(A) Durchschnittsbildung: Alle Elementarereignisse, die sowohl zu A als auch B gehören Bei dem ersten Versuch 1 und beim zweiten Versuch eine Mögliche Ereignisse: 36 p 1.1 und Günstige Ereignisse: Eins, nämlich beim ersten Mal eine 1 und beim zweiten Mal eine 3 zu würfeln Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

8 GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses B bereits bekannt ist (auch stochastische Abhängigkeit genannt) P(A B) = P(A B) P (B) Ereignis B eingetreten ist, beschränken sich die Möglichkeiten auf die Ergebnisse in B Beispiel: Ziehen von Kugeln aus einer Urne bedingte Wahrscheinlichkeit kann also als Neueinschätzung der Wahrscheinlichkeit von A interpretiert werden Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

9 GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Stochastische Abhängigkeit Ein simples Beispiel Ein simples Beispiel zum Verständnis: In einem Land beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Wolke am Himmel ist 30%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es Trocken bleibt 60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Blauen Himmel (keine Wolke) UND trocken? P(keine Wolke UND trocken)? Hier sieht man deutlich, dass die Berechnung mithilfe des Multiplikationstheorems keinen Sinn macht, die Wahrscheinlichkeiten sind eindeutig voneinander abhängig! Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

10 GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Stochastische Unabhängigkeit Unbedingte Wahrscheinlichkeit: Unabhängigkeit zweier Ereignisse bedeutet, dass die Kenntnis des Eintretens von A die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B nicht verändern Das bedeutet: P(B A) = P(B) Beispiel: Münzwurf Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

11 GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Axiome (Charaktereigenschaften) der Wahrscheinlichkeit 1. Für die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses gilt: Es liegt zwischen 0 und 1 2. Ein unmögliches Ereignis ist gleich = (P( ) = 0) 3. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist gleich 1 (P(Ω)=1) 4. Zwei Ergebnisse A und B sind elementarfremd/haben nichts gemeinsam P(A U B) = P(A) + P(B) Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

12 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITS- RECHNUNG Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

13 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Additionstheorem für unabhängige Ereignisse Sind günstige Ereignisse durch ein ODER verknüpft, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert P (A U B) = P(A) + P(A) Beispiel: Eine 3 oder eine 4 zu würfeln: Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von k elementarfremdes Ereigniseintritt, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeit für die k Ereignisse ~ 33% Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

14 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Additionstheorem für abhängige Ereignisse Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A oder B ergibt sich als die Summe der Wahrscheinlichkeiten von A und B abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten. P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) Beispiel: 32 Karten (16 rot, 16 schwarz) mit 4 Königen (2 rot, 2 schwarz). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Karte (A) oder einen König zu ziehen (B)? P(A U B) = = Durch die Addition von A und B werden zwei schwarze Karten doppelt gezählt, die danach wieder abgezogen werden Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

15 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Multiplikationstheorem bei unabhängigen Ergebnissen Sind günstige Ereignisse durch ein UND verknüpft, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert P (A B) = P (A) x P(B) Beispiel: Eine 3 und (dann) eine 4 zu würfeln: ~ 2,7% Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

16 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Multiplikationstheorem bei abhängigen Ergebnissen Fragt nach der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A und B. Wahrscheinlichkeit des Auftretens der günstigen Ergebnisse sind gleich der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von B ist, falls A schon aufgetreten ist. P (A B) = P (B) x P(A B) P(A B) = P (A B) P (B) Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

17 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Multiplikationstheorem bei abhängigen Ergebnissen Man errechnet die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten der Ereignisse A und B aus P(B) und P(A I B), also der bedingten Wahrscheinlichkeit für B unter der Voraussetzung, dass A eingetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, hängt im Allgemeinen von dem Eintreten des Ereignisses A ab Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

18 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Beispiel Untersuchung der Rauchgewohnheiten von Männern und Frauen Männer Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Proband männlich (A) ist, unter der Bedingung, dass sie raucht(b)? P(A B) = / = = 0,4 Frauen Raucher Nicht-Raucher Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

19 VARIATIONEN, PERMUTATIONEN, KOMBINATIONEN Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

20 KOMBINATORIK Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zehnmaligem Münzwurf genau dreimal Kopf fällt? Will man hier nun alle Möglichkeiten aufschreiben, wird das sehr aufwendig Mithilfe der Kombinatorik ist es möglich, die Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments (Ω), zu bestimmen (Wahrscheinlichkeit für bestimmte Ergebniskombinationen) Es kann die Menge verschiedener Anordnungsmöglichkeiten von Elementen bestimmt werden ohne mühsame Zählarbeit Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

21 PERMUTATIONSREGEL n verschiedene Objekte können in n! = 1 x 2 x 3 x n verschiedenen Abfolgen angeordnet werden (n! = Fakultät) 0! Ist gleich 1 Beispiel: Wie viele verschiedene Worte lassen sich unter Verwendung des Wortes Mayer bilden? Jeder Buchstabe ist verschieden Daher n! Also mögliche Ergebnisse: 5! = 5x4x3x2x1x= 120 Die Wahrscheinlichkeit für eine Abfolge beträgt p=1/120=0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

22 1. KOMBINATIONSREGEL Wählt man aus n verschiedenen Objekten r zufällig aus, ergeben sich verschiedene Reihenfolgen der k Objekte Beispiel: Bei einer Olympiade haben sich sieben annähernd gleich starke Läufer qualifiziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Läufer 1 Gold, Läufer 2 Silber und Läufer 3 Bronze bekommt, wenn das Ergebnis von der zufälligen Tagesform bestimmt wird? Günstige Fälle: 1 Mögliche Fälle: P = 1/210 = 0,005 7! 7 3! = 210 n! n k! Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

23 2. KOMBINATIONSREGEL Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig aus und lässt hierbei die Reihenfolge außer Acht, ergeben sich für die k Objekte n verschiedene Kombinationen. k n wird Binomialkoeffizient genannt k n k ist ein anderer Ausdruck für= n! k! n k! Beispiel: Untersuchung von Begriffsbildung bei Kindern Apfel Baum Birne Sonne - Pflaume Mögliche Ergebnisse 5 3 = 5! 3! 2! = 10 P= 1/10 = 0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

24 3. KOMBINATIONSREGEL Sollen n Objekte in k Gruppen der Größe n1,n2.,nk eingeteilt n! werden (wobei n1 + n2 + nk =n), ergeben sich Möglichkeiten. (n1! n2!..nk!) Beispiel: In einem Ferienhaus stehen 9 Personen ein 4 Bett-, ein 3-Bett und ein 2-Bett-Zimmer zur Verfügung. Die Raumzuweisung soll nach Zufall erfolgen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Raumzuweisung? Mögliche Kombinationen: 9! 4! 3! 2! =1260 Wahrscheinlichkeit: p= 1/1260 = 0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

25 HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG Exkurs Die hypergeometrische Verteilung gibt dann Auskunft darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl von Elementen vorkommt, die die gewünschte Eigenschaft haben Man kann sich die hypergeometrische Verteilung einfach als Urne vorstellen, bei der Kugeln ohne Zurücklegen entnommen werden. Die Urne enthält allerdings zwei verschiedene Sorten von Kugeln, von denen nur eine für uns interessant ist Bei der Binomialverteilung müssten in der Urne unendlich viele Kugeln der zwei Sorten liegen oder wir legen die Kugel zurück, damit die Wahrscheinlichkeit konstant bleibt Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

26 HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG Exkurs Formel: N = Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit; insgesamt befinden sich 49 Kugeln in der Trommel M = Anzahl der günstigen Elemente; insgesamt befinden sich sechs "Richtige" Zahlen in der Trommel n = Größe der Stichprobe; insgesamt ziehen wir sechs Zahlen k = Anzahl der Elemente aus M, die in n enthalten sind; von den sechs Zahlen die wir ziehen müssen dreis Zahlen richtig sein Wahrscheinlichkeit für 3 von 6 Richtigen beim Lotto Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

27 BERNOULLI PROZESS / BINOMINAL-VERTEILUNG Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

28 DER BERNOULLI-PROZESS Ein Bernoulli-Prozess (auch: Bernoulli-Kette ) besteht aus einer Abfolge mehrerer unter gleichbleibenden Bedingungen durchgeführter Bernoulli-Versuche. Es ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen, 1 oder 0, ja oder nein, richtig oder falsch, Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse wird durch die Bernoulli-Verteilung beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg sei p ; dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg q = 1 - p Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

29 DER BERNOULLI-PROZESS Eine Voraussetzung ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit p nicht verändern darf und das die Einzelexperimente stochastisch voneinander unabhängig seien müssen. Einige Aufgaben, bei denen es sich um einen Bernoulli-Prozess handelt: Ziehen mit Zurücklegen, Würfeln, Glücksrad, Roulette Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

30 BINOMIALVERTEILUNG Diskrete Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden verwendet, um anzugeben, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen, verteilt. Existieren für ein Ereignis zwei Ausgangsmöglichkeiten (ja / nein, richtig / falsch etc.) und werden hierfür Kombinationen und Wahrscheinlichkeiten abgetragen, spricht man von einer sogenannten Binomialverteilung Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

31 Wahrscheinlichkeit BEISPIELE FÜR DIE BINOMIALVERTEILUNG 0,25 (hier Basis: n=20) 0,2 0,15 0,1 0, p=0,5 p=0,25 p=0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

32 Wahrscheinlichkeit BEISPIELE FÜR DIE BINOMIALVERTEILUNG 0,12 (hier Basis: n=50) 0,1 0,08 0,06 0,04 0, p=0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

33 FORMEL FÜR DIE BINOMIALVERTEILUNG p k n k p k q n k n = Anzahl der Ereignisse insgesamt k = Anzahl der günstigen Ereignisse p = Wahrscheinlichkeit für Eintreten eines günstigen Ereignisses q = Wahrscheinlichkeit für Eintreten eines ungünstigen Ereignisses (1 - p) Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

34 BINOMIALVERTEILUNG Beispiel Ergebnis Zahl 6 beim Würfeln Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit 8 Würfen genau einmal eine 6 zu würfeln. P(1) = 8 1 x x = 0, Aber was ist, wenn wir wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand bei 20 Würfen höchstens 5 mal 6 würfelt Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

35 BEISPIEL Höchstens fünf heißt: Keine, eine, zwei, drei, vier oder fünf Die Anzahl der Würfe ist n=20 p(6)=1/6 und q(falsch)=5/6 Was ist k? k ist 0, 1, 2, 3, 4, 5 Für alle diese Fälle müssen die folgende Rechenschritte durchlaufen werden. n! k! n k! x pk x q n k Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

36 BEISPIEL Also gilt für k= 0 20! 0! 20 0! = 1 p=1 x x = 0,026 Für k= 1 = 0,104 k=2 (0,198), k=3 (0,238), k=4 (0,202), k=5 (0,129) p(höchstens 5)= 0,897 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person bei zwanzig Würfen per Zufall höchstens fünf mal 6 würfelt, beträgt 89,7 %. Bei mindestens 5 mal 6 bei 20 Würfen, muss man alle Wahrscheinlichkeiten von k=5,6,7 20 ausrechnen oder einfach 1 minus die Wahrscheinlichkeiten für k=1,2,3, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

37 ÜBUNGEN Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

38 HERANGEHENSWEISE BEI AUFGABEN ZUR WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 1. Was ist alles gegeben? 2. Alles gegebene herausschreiben! 3. Tauchen in einer Aufgabe Begriffe wie höchstens/mindestens/genau/nicht mehr als oder ähnliches auf, handelt es sich höchstwahrscheinlich um eine Aufgabe, bei der die Formel zur Binomialverteilung angewendet werden muss. 4. Werden Wahrscheinlichkeiten mit einem UND kombiniert, -> Multiplizieren! 5. Werden Wahrscheinlichkeiten mit einem ODER kombiniert, -> Addieren! Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

39 ÜBUNG 1 Aufgabenstellung Wir haben eine Trommel mit insgesamt 200 Bällen. Die Bälle haben unterschiedliche Farben und können zusätzlich noch einen aufgedruckten Stern haben. Die Aufteilung der Bälle: Rot Blau Grün Gesamt Mit Stern Ohne Stern Gesamt Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

40 ÜBUNG 1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen blauen Ball zu ziehen? einen roten oder einen grünen Ball zu ziehen? einen grünen Ball mit einem Stern zu ziehen? einen grünen und einen blauen Ball zu ziehen? zuerst einen grünen und dann einen blauen Ball zu ziehen? entweder einen grünen Ball ohne Stern oder einen blauen Ball mit Stern zu ziehen? entweder einen roten Ball oder einen Ball mit Stern zu ziehen? dass ein blauer Ball einen Stern hat? dass ein Ball ohne Stern rot ist? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

41 ÜBUNG 1 Lösung 1. p=0,4 2. p=0,6 3. p=0,15 4. p= 0,2 x 0,4 x 2(es gibt zwei Möglichkeiten)=0,16 5. p=0,08 6. p=0,25 7. p=0,75 8. p=0,5 9. p=0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

42 ÜBUNG 2 Aufgabenstellung Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Statistikunterricht versteht, sei p(verstehen) = 0,8 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von einer Seminargruppe mit n = 25 Teilnehmer alle den Statistikunterricht verstehen? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Seminargruppe mit n = 25 Teilnehmer niemand der Statistikunterricht versteht? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

43 ÜBUNG 2 Lösung Binomialformel p=0,0038 p= 0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

44 ÜBUNG 3 Aufgabenstellung Die Wahrscheinlichkeit, sich zu irgendeiner Zeit am richtigen Ort zu befinden, beträgt p(ort) = 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, sich zur richtigen Zeit irgendwo zu befinden, beträgt p(zeit) = 0,5. Wie große ist die Wahrscheinlichkeit, zur richtigen Zeit am falschen Ort zu sein? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zur falschen Zeit am richtigen Ort zu sein? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich von n = 5 Personen mindestens 3 zur richtigen Zeit am richtigen Ort befinden? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

45 ÜBUNG 3 Lösung Multiplikationstheorem unabhängig: p=0,35 Multiplikationstheorem unabhängig: p=0,15 Binomialformel berechnen für Fälle 3,4,5 Personen P(k=3)= 0,0244, p(k=4)=0,0022, p(k=5)=0, P(k=3,4,5)=0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

46 ÜBUNG 4 Aufgabenstellung Bei einem Pferderennen sollen jeweils die drei schnellsten Pferde eines Rennens mit ihrer Reihenfolge des Eintreffend ins Ziel vorhergesagt werden. Insgesamt gehen 20 Pferde an den Start. Wie viele verschiedene Tipplisten gibt es? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

47 ÜBUNG 4 Lösung 1. Kombinationsregel 6840 verschiedene Tipplisten Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

48 ÜBUNG 5 Aufgabenstellung Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatblatt (32 Karten) ein Ass (A) unter der Voraussetzung zu ziehen, dass es sich um eine Herz-Karte (B) handelt? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

49 ÜBUNG 5 Lösung Multiplikationstheorem für bedingte Wahrscheinlichkeit 1/32 Wahrscheinlichkeit für Herz-Ass 8/32 Wahrscheinlichkeit für eine Herz-Karte (1/32)/(8/32) = 1/8 = 0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

50 ÜBUNG 6 Aufgabenstellung Im Untertest Bilderordnen des Hamburger-Wechsler- Intelligenztests werden die Probanden aufgefordert, verschiedene grafische dargestellte Szenen so in eine Reihenfolge zu bringen, dass sie eine sinnvolle Geschichte ergeben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die richtige Reihenfolge von sechs Einzelbildern zufällig erraten wird? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

51 ÜBUNG 6 Lösung Permutationsregel p= 1/6! = 0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

52 ÜBUNG 7 Beispiel In einem parapsychologischen Experiment wird ein Hellseher aufgefordert vorherzusagen, welches Menü sich ein Gast in einem Restaurant zusammenstellen wird. Zur Auswahl stehen 4 Vorspeisen, 6 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Menüzusammenstellung zufällig richtig erraten wird? Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

53 ÜBUNG 7 Lösung Multiplikationstheorem für unabhängige Wahrscheinlichkeiten p= 1/4x1/6x1/3 = 0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

54 VIELEN DANK FÜR DIE AUFMERKSAMKEIT! Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

55 1. VARIATIONSREGEL-EXKURS Wenn jedes von k sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen bei jedem Versuch auftreten kann, ergeben sich bei n Versuchen verschiedene Ereignisabfolgen. Übersetzt: Wie ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf 5 mal hintereinander Zahl zu werfen? Günstiges Ergebnis 1 Mögliches Ergebnis 2 5 = 32 Wahrscheinlichkeit p= 1/32= 0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

56 1. VARIATIONSREGEL-EXKURS Beispiel Fragebogen zur vegetativen Labilität Antwortmöglichkeiten: ja, nein,? Typisches Antwortmuster für Schlafstörungen: Ja, ja,?, ja, nein, nein,?, ja,?, nein Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dieses Muster zufällig auf? Günstiges Ergebnis 1 Mögliches Ergebnis 3 10 = p= 1/59049 = 0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)

57 2. VARIATIONSREGEL-EXKURS Werden n voneinander unabhängige Zufallsexperimente durchgeführt, und besteht die Menge der Elementarereignisse des ersten Zufallsexperiments aus k1, die des zweiten aus k2 etc. und die des n-ten Zufallsexperiments aus kn verschiedenen Elementarereignissen, sind k1xk2x xkn verschiedenen Ereignisabfolgen möglich. Übersetzt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mir einer Münze Zahl und mit einem Würfel 6 zu werfen. Günstiges Ergebnis 1 Das mögliche Ereignisse kann unter 2x6 = 12 Wahrscheinlichkeit: p= 1/12= 0, Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)