Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

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1 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion Januar 2010

2 Kapitel 5. Funktionen mehrerer Veränderlicher, Stetigkeit und partielle Ableitungen 5.2. Partielle Ableitungen von Funktionen von zwei Veränderlichen (Fortsetzung)

3 Satz von Schwarz Definition 53. Es sei M R 2, M und f : M R. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f sind f x und f y. Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f erhält man durch zweimaliges partielles Ableitungen. In Kurzdarstellung definiert man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung durch f xx := (f x ) x f xy := (f x ) y f yx := (f y ) x f yy := (f y ) y

4 Satz von Schwarz Definition 53 (Fortsetzung) Mit dem Symbol der partiellen Differentiation werden Ableitungen zweiter Ordnung wie folgt dargestellt f xx = ( ) f x x f yx = ( ) f =: x y =: 2 f x 2 2 f x y f xy = ( f y x f yy = y ( f y ) =: ) 2 f y x =: 2 f y 2 Für n N ergeben sich die partiellen Ableitungen n-ter Ordnung entsprechend durch n-faches partiellen Differenzieren.

5 Satz von Schwarz Definition 53 (Fortsetzung) Die partiellen Ableitungen n-ter Ordnung, die nicht von der Form n f x oder n n f y sind, nennt man gemischte Ableitungen. n

6 Satz von Schwarz Satz 40 (Satz von Schwarz) Für die Funktion M (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) seien alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k stetig (k 2). Dann stimmen alle gemischten Ableitungen l-ter Ordnung (2 l k) überein; mit anderen Worten: Es kommt nicht auf die Reihenfolge der Ableitungen an.

7 Kurven in R 2 und in R 3

8 Kurven in R 2 und in R 3 Es sei M 1 R 2 offen (z. B. M 1 = Kugel, Würfel, Quader), M 1 (x, y) f (x, y) R stetig partiell differenzierbar. Weiter sei M 2 R 2 offen, und die Abbildung M 2 (u, v) (ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) R 2 sei ebenfalls partiell differenzierbar (d.h. ϕ 1 und ϕ 2 ) mit (ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) M 1 für alle (u, v) M 2.

9 Kurven in R 2 und in R 3 Dann besitzt die Abbildung F : M 2 R F(u, v) := f (ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) partielle Ableitungen F u, F v, für die gilt F u (u, v) = f x1 (ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) ϕ 1 (u, v) u + f x2 (ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) ϕ 2 (u, v), u F v (u, v) = f x1 (ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) ϕ 1 (u, v) v + f x2 (ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) ϕ 2 (u, v) v

10 Kurven in R 2 und in R 3 Bemerkung. Die Kettenregel ist besonders wichtig bei Koordinatentransformationen.

11 Kurven in R 2 und in R 3 Nun betrachten wir den Fall eine Kurve in der (x 1, x 2 )-Ebene bzw. im (x 1, x 2, x 3 )-Raum. Also, betrachten wir eine stetige, differenzierbare Abbildung I t ϕ(t) = (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t)) R 2 bzw. I t ϕ(t) = (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), ϕ 3 (t)) R 3, wobei I R ein Intervall ist. Interpretation (physikalisch): Bewegung eines Massepunktes.

12 Kurven in R 2 und in R 3 Im Fall R 2 nennt man ϕ eine ebene Kurve, und im Fall R 3 heißt ϕ Raumkurve. Es sei nun D R 3 offen und eine Funktion D (x 1, x 2, x 3 ) f (x 1, x 2, x 3 ) gegeben; wieter ϕ eine Raumkurve mit ϕ(i) D. Dann ist die Verkettung von f mit ϕ erklärt und liefert eine Funktion auf I: I t F(t) := (f ϕ) (t) = f (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), ϕ 3 (t))

13 Kurven in R 2 und in R 3 Existieren dann die partiellen Ableitungen von f auf und sind stetig, und ist jedes ϕ i, i = 1, 2, 3 differenzierbar auf I, so gilt die Kettenregel (Spezialfall) F (t) = f x1 (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), ϕ 3 (t)) ϕ 1 (t) + f x2 (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), ϕ 3 (t)) ϕ 2 (t) + f x3 (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), ϕ 3 (t)) ϕ 3 (t).

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15 In der Thermodynamik werden partielle Ableitungen physikalischer Größen oft in der Form ( ) S T geschrieben, wobei V,n S = f (T, V, n) T = V = n = Entropie eines Systems, Temperatur, Volumen, Anzahl der Mole.

16 Bemerkung. ( ) S T V,n man dies dann so liest, dass man s nach T ableitet und dabei die anderen Veränderlichen V und n fest lässt.

17 In der Mathematik wird aus der Definition einer Funktion klar, von welchen Veränderlichen sie abhängt, bei der Betrachtung physikalischer Großen in der Thermodynamik ist dies nicht immer der Fall. Wird z.b. für eine Größe wie die Entropie die Abhängigkeit von zwei unterschiedlichen Sätzen von physikalischen Größen betrachtet, benutzt man trotzdem in beiden Fällen S = S(... ) als Bezeichnung für diese Abhängigkeit.

18 Die Schreibweise ( ) S T V,n muss man eigentlich so lesen, dass man eine Funktion f (T, V, n) betrachtet, so dass für die Entropie S gilt S = f (T, V, n) und ( ) S = T V,n f (T, V, n). T

19 Mit ( ) S T p,n wird analog eine Funktion g(t, p, n) betrachtet, so dass für die Entropie S gilt S = g(t, p, n) und ( ) S = T p,n g(t, p, n). T