2.4 Exponential - und Logarithmus - Funktionen

Transkript

1 Eponential - und Logarithmus - Funktionen Mit Hilfe der Potenz a t definiert man eine weitere Funktionsart, indem man statt der Basis den Eponenten durch die Variable ersetzt: Für a ε R > 0 heißt f ( ) = a (allgemeine) Eponential- Funktion. Solche Funktionen haben folgende Graphen: a > a = 0 < a < Die Funktion f ( ) = ( also a = ) wird nicht zu den Eponentialfunktionen gezählt. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie Eigenschaften von Eponential- Funktionen.) D f = R, W f = R > 0. 2.) Eponential- Funktionen mit a > sind streng monoton wachsend, Eponential- Funktionen mit a < sind sind streng monoton fallend. 3.) Für jede Eponential- Funktion f gilt: f ( 0) = a 0 =, d.h. der Graph jeder Eponential - Funktion verläuft durch den Punkt ( 0/ ). a > 4.) Jede Eponential - Funktion f ( ) = a : R R > 0 ist nach 2.) streng monoton, also auch injektiv und besitzt daher eine Umkehrfunktion. Diese wird mit log a () bezeichnet und heißt Logarithmus von zur Basis a. Es gilt also: D R > 0 log = W log = R log a (a ) = für alle ε R a log a () = für ε R > 0 D f - = W f W f - = D f f - o f ( ) = für alle ε D f f o f - ( ) = 0 < für a < alle ε D f - log a ( b ) ist also die Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten, also die Lösung der Gleichung a = b ( für a, b > 0 ). Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie 2

2 Graphen der Logarithmus- Funktionen Die Graphen der Logarithmus- Funktionen erhält man aus den Graphen der Eponential- Funktionen durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. = Der Graph jeder Logarithmus - Funktion verläuft also durch den Punkt ( / 0 ), d.h. alle Logarithmus- Funktionen haben an der Stelle 0 = eine Nullstelle. a für 0 < a < a für a > log a () mit a > log a () mit 0 < a < Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie 3 Rechenregeln für Logarithmen Für > 0 und > 0 gilt:.) log a (. ) = log a ( ) + log a ( ) 2.) log a ( ) = log a ( ) - log a ( ) 3.) log a ( t ) = t. log a ( ) Achtung: Keine Rechenregeln gibt es für log a ( + ) und log a ( - )! Bemerkung Wegen D R > 0 log = gelten diese Regeln also nur für > 0 und > 0. Daher gilt z.b. log a ( 2 ) = 3.) 2. log a ( ) nicht für alle reellen Zahlen, sondern nur für > 0. Eine allgemeingültige Umformung ist log log a ( 2 a ( 2 ) = ) = 2. log a ( ). Beweis zu.): a (... ) log a (. ) = log a ( ) + log a ( ) a log a (. ) = a log a( ) + log a ( ) =. = a log a( ). a log a ( ) =. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie 4 2

3 Satz 5 ( Basiswechsel bei Logarithmen) Für alle reellen Zahlen a, b und mit a, b, > 0 und a, b gilt: log b ( ) = log a ( ) log a ( b ) Beweis : Es gilt = b log b ( ) log a (... ) log a ( ) = log a ( b log b ( ) ) log a ( ) = log b ( ). log a ( b ) : log a ( b ) 0, da b log a ( ) = log b ( ) log a ( b ) Bemerkung Wenn man also die Logarithmen zu einer Basis kennt ( hier a ), kann man die Logarithmen zu jeder anderen Basis ( hier b ) daraus berechnen. Für Taschenrechner würde also z.b. eine Logarithmus - Funktion ausreichen. Meist gibt es trotzdem zwei, weil die beiden folgenden besonders wichtig sind: Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie 5 Zehner- Logarithmus Basis a = 0 Der Logarithmus zur Basis 0 heißt dekadischer Logarithmus oder Zehner- Logarithmus und wird mit lg bezeichnet: lg( ) = log 0 ( ) Der Vorteil des dekadischen Logarithmus ist seine Beziehung zum dekadischen Zahlsstem. So weiß man wegen der Monotonie der Logarithmus- Funktionen auch ohne Taschenrechner, was vor dem Komma eines Zehner- Logarithmus steht. Beispiel: lg( 3245 ) = 3,... lg( 000 ) = 3 lg( 0000 ) = < 3245 < 0000 Die Zahl vor dem Komma des Logarithmuswertes ist also um kleiner als die Anzahl der Stellen der Ausgangszahl. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie 6 3

4 Natürlicher Logarithmus Basis a = e = 2, Die Zahl e heißt Euler sche Zahl. Sie ist wie π irrational. Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus oder Logarithmus naturalis und wird mit ln bezeichnet: ln( ) = log e ( ) Der Vorteil des natürlichen Logarithmus wird erst bei der Differential - und Integralrechnung verständlich. Er ist allerdings so gravierend, dass man in der Mathematik fast ausschließlich den natürlichen Logarithmus benutzt. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie 7 Satz 6 ( Basiswechsel bei Eponentialfunktionen) Ebenso wie bei Logarithmen kann man auch jede Eponentialfunktion auf eine beliebige andere Basis umformen. Umformung auf die wichtigste Basis e : a = (e ln ( a ) ) = e. ln(a), also a = e. ln(a) f ( ) = e heißt spezielle Eponential- Funktion oder kurz die Eponential- Funktion oder noch kürzer e - Funktion. Bei umfangreichen Eponenten schreibt man auch ep ( ) statt e. Entsprechend heißt die Funktion f ( ) = ln ( ) der Logarithmus. Zusammenfassung der Rechenregeln für ln ( ) : Die Regeln bis 4 gelten für nur für, > 0, Regel 5 gilt für alle reellen Zahlen..) ln (. ) = ln ( ) + ln ( ) 2.) ln( ) = ln ( ) - ln( ) 3.) ln ( t ) = t. ln( ) 4.) e ln () = 5.) ln ( e ) = Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie 8 4

5 Graphen von e und ln( ) e = ln( ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie 9 Eponentielles Wachstum Eponential - Funktionen haben die Eigenschaft, dass sich der Funktionswert in gleichbleibenden Abständen verdoppelt. Ein derartiges Wachstum ist intuitiv nur sehr schwer zu erfassen, z.b. Seerosenteich Reiskörner auf ein Schachbrett legen Anzahl Reiskörner: = Alle Reiskörner füllen einen Güterzug, der 500 mal um die Erde herumreicht! Wie lange würde der Rechner benötigen, um die restlichen Reiskörner zu zeichnen?. Zeile dauerte 2 min 8 sec. 2. Zeile: 9h 6m 8s 3. Zeile: 97T 9h 6m 8s 4. Zeile: 68 Jahre 5. Zeile: 7408 Jahre 6. Zeile: 4,4 Mio. Jahre 7. Zeile:, Mrd. Jahre 8. Zeile: 300 Mrd. Jahre Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 2.4 Folie 0 5