Repetitionsaufgaben Logarithmusgleichungen

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1 Kntonle Fchschft Mthemtik Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Repetition Logrithmen D) Logrithmusgleichungen 4 E) Aufgben mit Musterlösungen 5 A) Vorbemerkungen Um Logrithmusgleichungen lösen zu können, ist es sehr wichtig, dss mn mit den Potenz-und Logrithmengesetzen vertrut ist. Auch die Definition des Logrithmus ist wichtig. Wichtig ist zudem, dss Sie die Lösungen immer überprüfen, d Logrithmen nur für positive Zhlen definiert sind. B) Lernziele Wissen, dss Logrithmen Eponenten sind Die Definition des Logrithmus kennen und nwenden können Wissen, dss Logrithmen nur für positive Zhlen definiert sind Wissen ws eine Eponentilgleichung ist Logrithmen mit dem Tschenrechner berechnen können Logrithmengesetze kennen und nwenden können Logrithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Bsis und des Eponenten Gleichungen lösen können in denen Logrithmen uftreten Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Seite von KS Musegg

2 Kntonle Fchschft Mthemtik C) Repetition Logrithmen. Der Begriff des Logrithmus ) Einführendes Beispiel Geg.: Bkterienkultur bedeckt zur Zeit t = 0 cm. Die Bkterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Ges.: Nch wie vielen Stunden sind 6 cm (68 cm usw...) bedeckt? Überlegung: Zeit t Std. Fläche cm Lösung: Nch vier Stunden sind lso 6 cm bedeckt. Um zu erhlten muss lso noch die Gleichung = 68 gelöst werden. Eine solche Gleichung nennt mn Eponentilgleichung. Bei Eponentilgleichungen ist stets der Eponent die gesuchte Grösse. b) Die Definitionen Definition : Eine Gleichung der Form = b mit, b und heisst Eponentilgleichung. Definition : Der Logrithmus von b zur Bsis (geschrieben: b) ist die Lösung der Gleichung = b, wobei, b und. D.h. = b = b heisst Bsis und b heisst Numerus. c) Einige Bemerkungen/Beispiele () Wie findet mn lso den Logrithmus von 00 zur Bsis0? 0 00 =, d 0 = 00 Weitere Beispiele: 64 = 6, d 6 = = -, d 0- = =, d 5 = 5 () Logrithmen sind lso Eponenten! () Die Definitionen setzen vorus, dss, b >0 sind, weil: und die Wurzel einer negtiven Zhl ist nicht definiert in! Wenn lso grösser Null sein muss, gilt nchher utomtisch, dss b > 0, d b =. D.h. die Einschränkung, b ist lso notwendig! Logrithmen können lso in nur us positiven Zhlen gezogen werden! Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Seite von KS Musegg

3 Kntonle Fchschft Mthemtik (4) Es gilt b b, d us = b und = b (setze in = b ein) folgt b b. 9 Beispiel: Wenn lso dsteht, knn ich 9 schreiben (bedeutet ds Gleiche!). (5) Mn schreibt für gewisse Bsen Abkürzungen: Für Bsis 0 schreibt mn sttt 0 b einfch lgb. Für Bsis schreibt mn sttt b einfch lbb. Für Bsis e schreibt mn sttt e b einfch lnb, wobei e =,88...(siehe uch TR). Rechnen mit Logrithmen ) Gebruch des Tschenrechners Die Logrithmen zur Bsis 0 sind im Tschenrechner gespeichert. Ges.: 0 0 Lös.: Tste LOG tippen. Zhl 0 eingeben. (Evtl. Klmmer schliessen) ENTER. Ds Resultt: 0 0,. b) Umrechnungsformel (Bsiswechselstz) für Logrithmen mit beliebigen Bsen Wie oben erwähnt sind im Tschenrechner die Logrithmen zur Bsis 0 gespeichert, d.h. 0 uist beknnt für lle u. Um ber ds einleitende Beispiel zu lösen muss 68 beknnt sein. Dieses Problem knn mit der Umrechnungsformel, häufig uch Bsiswechselstz gennnt, gelöst werden: b z = lo g z b Lösung des Einführungsbeispiels: l og = = 5. Oder uch 68 = ln68 (beliebige Bsis knn gewählt werden). 0 ln Die Lösung unseres Einführungsbeispiels lutet lso: Nch 5 Std. bedecken die Bkterien eine Fläche von 68 cm.. Logrithmengesetze () y y " Zweibumgesetz" () y,, y, r y r () ( ) r " Apfelbumgesetz" Beispiele/Anwendung der Gesetze: () 0( ) 0 0 () 0 ( ) () 0 ( ) 0 0 (4) b b 5b 5 b Ws sollte mn nicht tun? y y. Es gibt kein solches Distributivgesetz für die Logrithmen. Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Seite von KS Musegg

4 Kntonle Fchschft Mthemtik D) Logrithmusgleichungen () Der Numerus ist die gesuchte Grösse: Mn verwendet die Definition des Logrithmus = b = b Bsp: () 9 () () Zuerst geteilt durch rechnen erst dnn die Definition verwenden (b) Die Bsis ist die gesuchte Grösse: Auch hier Definition verwenden. Bsp.: () () ( ) geteilt durch Def.Log. (c) nch uflösen =.88 Probe : Whre Aussge IL Logrtihmengesetze sind notwendig. Bsp.: lg lg 6.46 "Apfelbumgesetz" 4 lg lg 6.46 "Zweibumgesetz" 4 lg( ) 6.46 Potenzgesetz lg 6.46 Def.Log Wurzel ziehen Probe :Whre Aussge IL 8.8 (d) Wir benutzen Logrithmengesetze und den Stz: Zwei Logrithmen mit gleicher Bsis sind gleich, wenn ihre Numeri gleich sind. Bsp.: () 4 4 4() 4 Probe : Negtiver Logrithmus entsteht IL Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Seite 4 von KS Musegg

5 Kntonle Fchschft Mthemtik () (04) 84 6 Log.gesetz (0 4) 6 Log. gleich, wenn Numeri gleich 84 (0 4) 6 ml usmultiplizieren lles uf eine Seite Fktorisieren oder Auflösungsformel verwenden 0000 Ein Produkt = 0, wenn ein Fktor = 0 0 und 00 Probe mchen: Für 0 erhält mn in der Ursprungsgleichung einen negtiven Logrithmus. Also keine Lösung. Für 00 erhält mn eine whre Aussge. IL 00 E) Aufgben mit Musterlösungen Aufgben. ) b) 5. ) b). ) 8 b) 4. ) lg 4 lg5lg b) 5. Lösungen.) Def.Log. : Probe: ( ) Whre Aussge IL=.b) : Def.Log. Probe: Whre Aussge IL Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Seite 5 von KS Musegg

6 Kntonle Fchschft Mthemtik.).b).).b) 5 Stz Numeri 5 Zusmmenfssen 0 : 5 Probe: whre Aussge IL= 5 "Apfelbumgesetz" Stz Numeri Binom berechnen zusmmenfssen 5 0 Fktorisieren 50 Ein Produkt = 0, wenn ein Fktor = 0 0, 5 Probe: 0 : Es entsteht negtiver Log. Also keine Lösung. 5 : Whre Aussge IL= 5 8 Def.Log. 8 Potenzgesetz 8 und : 8. Wurzel 8 Probe: 8 Whre Aussge 9 Def.Log Wurzel und kürzen (Potenzgesetz) Probe: Whre Aussge IL= IL 4.) 5 "Zweibumgesetz" Def.Log 5 4 : und Potenzgesetz Probe: Whre Aussge IL Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Seite 6 von KS Musegg

7 Kntonle Fchschft Mthemtik 4.b) "Zweibumgesetz" 5 6 Klmmern usmultiplizieren Def.Log Qudrtische Gleichung mit Auflösungsformel lösen b b 4c , und Probe: : Whre Aussge : 54 negtiver Log. nicht definiert, lso keine Lösung. IL lg 4 lg 5 lg 6 49 "Apfelbumgesetz" und "Zweibumgesetz" lg 4 lg Binom berechnen und Multipliktion lg 8 96 lg 0 45 Stz Numeri Alles uf eine Seite Substitution z z z z,,4, Qudrtische Gleichung lösen oder uch mit Auflösungsformel z 49, z 9 Substitution rückgängig mchen z 49, 9 Probe: Für entsteht neg. Log. Also keine Lösungen. Für erhält mn whre Aussgen IL=,, z Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Seite von KS Musegg