E 12 Gedämpfter Schwingkreis

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1 Fakultät für Physik und Geowissenschaften Physikalisches Grundpraktikum E Gedämpfter Schwingkreis Aufgaben. Messen Sie die frequenzabhängige Stromaufnahme eines L-Serienresonanzkreises für drei verschiedene Dämpfungswiderstände d.. Zeichnen Sie die esonanzkurven und bestimmen Sie aus den Halbwertsbreiten die jeweiligen Dämpfungskonstanten δ und Güten Q des Schwingkreises. Vergleichen Sie die Werte von δ mit den aus σ/l berechneten Werten. Fitten Sie die theoretische Funktion an die gemessenen esonanzkurven und bestimmen Sie daraus f 0 und δ. Ermitteln Sie die Kapazität des Kondensators mit der Thomson- Gleichung. 3. Messen Sie die frequenzabhängige Stromaufnahme eines Schaltkreises, in dem Kapazität und Induktivität L parallel und in eihe zum Widerstand geschaltet sind. Leiten Sie einen Ausdruck für die Impedanz dieses Schaltkreises her, erklären Sie die Beobachtungen und fitten Sie die theoretische Kurve an die gemessenen Daten. Vergleichen Sie die esonanzfrequenz mit dem in Aufgabe erhaltenen Wert. Zusatzaufgabe. Untersuchen Sie den Einfluss eines zum Kondensator parallel geschalteten Widerstandes auf die esonanzfrequenz. Dazu ist die esonanzfrequenz mittels der Phasenverschiebungsmessung in Abhängigkeit von zu messen und grafisch darzustellen. Tragen Sie in das Diagramm die berechenbaren Werte ein und diskutieren Sie den Kurvenverlauf. Literatur Physikalisches Praktikum, 3. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Elektrizitätslehre, 3.0., 3.0., 3.03, 4.0 Gerthsen Physik, D. Meschede,. Auflage, 7.6.3, Zubehör Funktionsgenerator, Digitalmultimeter, Messschaltung, Zweikanal-Oszilloskop Schwerpunkte zur Vorbereitung Induktive, kapazitive und ohmsche Widerstände im Wechselstromkreis bzw. Serienschwingkreis (komplexe Darstellung von Wechselstromgrößen, Zeigerdiagramme) ungedämpfte, gedämpfte und erzwungene Schwingungen, Eigenfrequenz, esonanzfrequenz, eihen- und Parallelschwingkreis Schwingkreisgleichung, esonanzkurve, Halbwertsbreite, Dämpfung, Güte Stromresonanz, Spannungsüberhöhung Frequenzabhängigkeit der Widerstände und des Phasenwinkels zwischen Strom und Spannung Ersatzschaltung für verlustbehaftete Induktivität bzw. Kapazität Messungen der Phasenbeziehungen zwischen Strom und Spannung (Lissajous-Figuren) Aufbau und Funktionsprinzip einer Elektronenstrahlröhre, Funktionseinheiten eines Oszilloskops

2 Bemerkungen zum Versuch Die Betriebsspannung des esonanzkreises U 0 soll bei allen Frequenzen 0.4 V betragen und ist ggf. über den Amplitudenregler des Generators nach der Änderung der Frequenz nachzuregeln. Der Messbereich der Digitalmultimeter ist optimal zu wählen. Vor dem Einschalten des Generators müssen die Versuchsschaltungen durch die BetreuerInnen überprüft werden. In diesem Versuch wird die Stromaufnahme des esonanzkreises indirekt über den Spannungsabfall U am Dämpfungswiderstand d gemessen: I = U / d, siehe Abb.. Dies schließt den Einfluss des Innenwiderstands des Amperemeters auf die Dämpfung aus. Eine exakte Messung der esonanzfrequenz ist bei Verwendung eines Oszilloskops über die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung [(f 0)=0)] möglich. Zur Aufnahme der esonanzkurve ist ein Frequenzbereich unterhalb und oberhalb der esonanzfrequenz f 0 zu wählen, so dass 0. U (f)/u (f 0). Die graphische Darstellung der esonanzkurve erfolgt in einem Diagramm U (f)/u (f 0) als Funktion der Frequenz f für alle drei Dämpfungswiderstände. In Aufgabe kann aus den esonanzkurven bei den entsprechenden Punkten die Halbwertsbreite Δf entnommen werden. Damit ist die Dämpfungskonstante δ (δ exp = π Δf) zu berechnen. Berechnen Sie weiterhin die Dämpfungskonstante δ mit der Gleichung δ ber= σ/l, wobei vorher die Induktivität L der Spule mit einem Induktivitätsmessgerät (L-Meter) gemessen wird. σ bezeichnet den gesamten Ohmschen Widerstand. Diskutieren Sie die Unterschiede zwischen den auf verschiedene Weise bestimmten Dämpfungskonstanten unter Berücksichtigung der Messunsicherheiten. Da L bekannt ist, kann mit der esonanzfrequenz f 0 unter Verwendung der Thomson-Gleichung auch die Kapazität des Kondensators berechnet werden: 0 f0 =. L Abb. Messschaltung L Serienkreis G: Funktionsgenerator (igol) h. I, h. II: Kanäle des Zweikanal-Oszilloskops d: Dämpfungswiderstand L: Induktivität der Spule Sp: ohmscher Anteil der Spule : Kapazität des Kondensators V(U 0): Voltmeter Hameg 80 U 0: Spannung am esonanzkreis U : Spannung am Widerstand V(U ): Voltmeter Agilent 34450A In Aufgabe 3 ist die Schaltung so abzuändern, dass Kondensator und Spule parallel geschaltet sind. Die esonanzkurve ist nur für einen Messwiderstand aufzunehmen. Die Betriebsspannung des esonanzkreises U 0 sollte konstant gehalten werden und nicht mehr als V betragen. Abb. Messschaltung L Parallelkreis G: Funktionsgenerator (igol) h. I, h. II: Kanäle des Zweikanal-Oszilloskops : Messwiderstand L: Induktivität der Spule Sp: ohmscher Anteil der Spule : Kapazität des Kondensators V(U 0): Voltmeter Hameg 80 U 0: Spannung am esonanzkreis U : Spannung am Messwiderstand V(U ): Voltmeter Agilent 34450A

3 Grundlagen Wichtige Gleichungen im eihenschwingkreis Scheitelwert des Stroms I ˆ = σ Uˆ + L - Güte des Serienkreises Q: Q = f f L σ 0 0 Phasenverschiebung tan = L - σ esonanzüberhöhung U ( f ) U ( f ) L L = = = = L U 0 U0 σ 0 Die entsprechenden Gleichungen für den Parallelschwingkreis sind herzuleiten. Serienschwingkreis mit verlustbehafteter Kapazität (Komplexe Größen sind unterstrichen.) In der egel wird die frequenzabhängige Stromaufnahme I() eines Serienschwingkreises durch mit dem Betrag U I ( ) Z( ) I ( ) 0 0 U i L U 0 σ L (a) (b) dargestellt. In den Gln. (a) und (b) sind U 0 die (konstante) Spannung am Schwingkreiseingang, L die Induktivität und die Kapazität des Kreises sowie =f die Kreisfrequenz. Alle im Schwingkreis wirkenden reellen (ohmschen) Widerstände sind dabei in additiv zusammengefasst, d. h. =+ L+ (Dämpfungswiderstand, Verlustwiderstände L und der Induktivität bzw. Kapazität). Dabei wird meistens vorausgesetzt, dass diese Definition von auf einem Ersatzschaltbild der realen Induktivität bzw. Kapazität aus einem Blindwiderstand (il bzw. -i/) und einem in eihe geschalteten Verlustwiderstand ( L bzw. ) basiert. Für die Induktivität ist das physikalisch wegen der stromproportionalen Verluste, bedingt u. a. durch den Ohmschen Widerstand des Spulendrahtes, sinnvoll. Für die Kapazität ist aber im Hinblick auf die spannungsproportionalen Verluste als Folge der Polarisation im Dielektrikum eine Parallelschaltung von verlustfreier Kapazität und Verlustwiderstand zutreffender. Diese Schaltung zeigt in Übereinstimmung mit der ealität für einen Frequenzwert f = 0 den Verlustwiderstand und für f den Widerstand null. In Abb. wird die vergleichende Analyse der beiden möglichen Ersatzschaltbilder der Kapazi- 3

4 tät mit den komplexen Widerständen (p) und (r) gezeigt. a) b) Abb. Ersatzschaltbilder der verlustbehafteten Kapazität (r) (p) (a) ( ) (b) ( ) i i Einer Ersatzschaltung nach Abb. b mit dem komplexen Widerstand (p) kann eine Schaltung nach Abb. a in Abhängigkeit von und jeweils nur für eine einzelne Frequenz i entsprechend der Gl. (a) vollständig äquivalent sein: (p) (r) i i ( ) ( ). (a) Das erkennt man, wenn die aus dieser Gleichsetzung resultierenden Bedingungen berechnet werden, unter denen Gl. (a) gilt: (b) ( ) ( ) i i Bei kleinen Verlusten [/( ) << bzw. >> /( )] gilt die Näherung. Legt man nun aus den oben genannten Gründen der Berechnung des Serienresonanzkreises die physikalisch sinnvollere Ersatzschaltung der Kapazität nach Abb. b zugrunde, ergibt sich gegenüber dem in Gl. (a) stehenden komplexen Widerstand eine etwas veränderte Beziehung für die frequenzabhängige Impedanz Z( ): Z( ) L i L ( ) (3) Der Unterschied zum Ansatz nach Gl. (a) besteht in einer Frequenzabhängigkeit des ealteiles und in einem Faktor (in den geschweiften Klammern) vor / im Imaginärteil, der eine Abhängigkeit der esonanzfrequenz von dem Verlustwiderstand zur Folge hat. Definiert man hier wie üblich 0 als die Frequenz, für die der Imaginärteil verschwindet, so folgt aus Gl. (3) 0 L / bzw. (4a) 0 00 L / mit 00 L /. (4b) 4

5 Mit dieser esonanzfrequenz ergibt sich für den reellen esonanzwiderstand des Kreises aus Gl. (3) L Z( 0) L. (5a) Dieses Ergebnis liefert auf direktem Wege die Grundlage dafür, wie man für 0, und nur in diesem Fall, den Verlustwiderstand mit Hilfe des L/-Verhältnisses zu den im Kreis wirkenden Ohmschen Widerstand additiv einbeziehen kann: L Z( 0) L,. (5b) Die wesentliche Konsequenz der dargestellten Zusammenhänge besteht darin, dass Gl. () für alle Kreisfrequenzen 0 eine Näherung darstellt, die allerdings umso genauer ist, je größer im Vergleich zu /() ist und je weniger sich von 0 unterscheidet. Ergänzende Bemerkungen: Bedeutsamer als die Unterschiede zwischen genäherter und tatsächlicher frequenzabhängiger Stromaufnahme des Kreises sind die Differenzen zwischen den (prinzipiell nicht messbaren) Spannungen an einer idealen (verlustfreien) Induktivität (U L') und einer idealen Kapazität (U ') sowie den direkt messbaren Werten U L und U an den verlustbehafteten Bauelementen. Gemäß Gl. (b) gilt im esonanzfall L U L U U U und (6a) ' ' L ( 00 ) ( 00) σ σ ' L 00 U ( ) 0. (6b) U L' ist die an der eihenschaltung von verlustfreier Induktivität und verlustfreier Kapazität auftretende Spannung. Die Berechnung der an den realen Bauelementen im esonanzfall auftretenden Spannungen U L( 0), U ( 0), U L ( 0) und deren Beträge auf der Grundlage von Gl. (5a) liefert dagegen unter Berücksichtigung von Gl. (4b) ( 0 00) die Gleichungen (7) bis (9): / UL ( 0 ) I or L i( ), (7a) L UL ( 0 ) Ior L /, (7b) / U ( 0 ) I or - i( ), (8a) U ( ) I 0 or L /, (8b) UL ( 0 ) Ior L i0l i0, (9a) L 0 or L U ( ) I ( ). (9b) Dabei ist I or die esonanzstromamplitude mit 5

6 U0 Ior. (0) L L Im Gegensatz zu den idealisierten Berechnungen nach den Gln. (6a) und (6b) zeigen die modifizierten Gleichungen u.a., dass die Phasen der an den verlustbehafteten Bauelementen auftretenden, direkt messbaren Spannungen im esonanzfall etwas weniger als ± / gegenüber der Phase der angelegten Spannung verschoben und die Beträge der Spannungen nicht exakt gleichgroß sind. Deshalb ist die an der eihenschaltung von Induktivität und Kapazität beobachtete Spannung U L ( 0) ungleich null. Die Gln. (7b), (8b) und (9b) bieten die Möglichkeit, den durch die Verlustanteile der Bauelemente und den durch die Größe des Dämpfungswiderstandes bedingten Anteil an der Schwingungsdämpfung durch Messungen bei der esonanzfrequenz analytisch zu ermitteln. 6