Übungskomplex Reelle Zahlen. Rechnen mit Gleitkommazahlen

Transkript

1 Übungskomplex Reelle Zahlen Rechnen mit Gleitkommazahlen

2 Hinweise zur Übung Benötigter Vorlesungsstoff Einheiten 1-3 (C-Tutorial) Einheiten Reelle Zahlen 61

3 Aufgabe Kreisberechnung a) Schreiben Sie zwei Funktionen, die den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises berechnen und als Funktionswert zurückliefern. Als Funktionsargument ist jeweils der Radius des Kreises zu übergeben. Zur Erinnerung: Fläche = π r 2, Umfang = 2π r b) Schreiben Sie ein Programm, das den Radius eines Kreises von der Tastatur einliest und den Umfang sowie den Flächeninhalt des Kreises mit Hilfe der Funktionen aus a) berechnet und die Ergebnisse auf dem Bildschirm ausgibt. Hinweis Zum Einlesen einer oder mehrerer reeller Zahlen von der Tastatur verwenden wir analog zu readint() eine Funktion readdouble(), die Sie wie nebenstehend dargestellt definieren: double readdouble() { double n; scanf("%lf", &n); return n; } 62

4 Aufgabe Währungstabelle Schreiben Sie eine Funktion Waehrungstabelle(), der Sie einen ganzzahligen Start- und Endbetrag sowie den Umrechnungskurs von Euro in Dollar (wie viele Dollar sind ein Euro?) als Funktionsparameter übergeben. Die Funktion soll eine formatierte Ausgabe generieren, in der allen ganzzahligen Geldbeträgen zwischen Start- und Endbetrag der umgerechnete Betrag der jeweils anderen Währung gegenübergestellt wird. Geben Sie die umgerechneten Beträge dabei auf den Cent genau an. Hinweise Sie müssen höchstens dreistellige Beträge umwandeln Der Umrechnungskurs liegt zwischen 0,50 und 2,00 Beispiel Ausgabe für folgenden Funktionsaufruf: Waehrungstabelle(90, 105, ) 90$ = = $ 91$ = = $ 92$ = = $ 93$ = = $ 94$ = = $ 95$ = = $ 96$ = = $ 97$ = = $ 98$ = = $ 99$ = = $ 100$ = = $ 101$ = = $ 102$ = = $ 103$ = = $ 104$ = = $ 105$ = = $ 63

5 Aufgabe Runden Wendet man den Divisionsoperator / auf zwei Integerzahlen an, wird das Ergebnis bei Divisionen mit Rest grundsätzlich zur nächst kleineren ganzen Zahl abgerundet. Schreiben Sie nun eine Funktion, die zwei Integerzahlen dividiert und das Ergebnis zur nächst liegenden ganzen Zahl hin rundet und diese als Funktionswert zurückgibt. Falls das exakte Ergebnis der Division die gleiche Differenz zu beiden benachbarten ganzen Zahlen aufweist, ist die größere Zahl auszuwählen (d.h. aufzurunden). Hinweis Die Verwendung von Bibliotheksfunktionen ist nicht erlaubt! Versuchen Sie unter Verwendung reeller Zahlen eine Lösung dieser Aufgabe zu finden! 64

6 Aufgabe Gleichheitstest Reelle Zahlen können aufgrund von Rechen- oder Darstellungsungenauigkeiten mit den vordefinierten Vergleichsoperatoren nicht direkt auf Gleichheit oder Ungleichheit getestet werden (siehe nebenstehendes Beispiel aus der Vorlesung). Wie könnte man einen Test auf Gleichheit dennoch realisieren? Schreiben Sie eine Funktion int isequal(), der Sie zwei reelle Zahlen übergeben und die feststellt, ob die beiden Zahlen im Sinne Ihrer Lösungsidee übereinstimmen. Wenn ja, soll die Funktion den Wert 1 zurückliefern und sonst den Wert 0. Testen Sie die Funktion isequal(), indem Sie sie auf nebenstehendes Codefragment anwenden. float summe = 0.0; int i = 0; while ( i < 10 ) { } summe = summe + 0.1; i = i + 1; printf("zehnmaliges Aufaddieren von 0.1 ergibt %f\n", summe); if (summe == 1.0) else printf("summe ist 1.0\n"); printf("summe ist nicht 1.0\n"); 65

7 Aufgabe Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion e x lässt sich mit Hilfe einer Reihenentwicklung berechnen: e x = 1 + x/1! + x 2 /2! + x 3 /3! + + x N 1 /(N 1)! + Schreiben Sie eine Funktion, der Sie x und die Anzahl der Reihenglieder N als Parameter übergeben und die e x mit Hilfe dieser Reihenentwicklung approximiert und als Funktionswert zurückgibt. Hinweis Zur Realisierung Ihrer Funktion dürfen Sie keine Bibliotheksfunktionen verwenden! 66

8 Aufgabe π Mit Hilfe der folgenden Reihenentwicklung, die Gottfried Leibnitz 1682 vorstellte, lässt sich die Kreiszahl π ( ) berechnen: a) Wie müssen Sie diese Reihenentwicklung modifizieren, so dass sie von einem Algorithmus berechnet werden kann? Schreiben Sie eine Funktion, die π nach diesem Verfahren berechnet. b) Wie viele Reihenglieder müssen mindestens berechnet werden, damit π auf vier Nachkommastellen exakt dargestellt werden kann? Schreiben Sie eine Funktion, die die Anzahl der nötigen Reihenglieder ermittelt. 67

9 Aufgabe Wurzelberechnung Gegeben sei eine reelle Zahl z > 0. Dann konvergiert folgende Folge gegen die Quadratwurzel von z: x0 = z xn+1 = 0.5 * (xn + z / xn) a) Welche Maßnahmen sind nötig, um aus dieser Folgendefinition einen nutzbaren Algorithmus zu generieren? b) Schreiben Sie eine Funktion Wurzel(), die für beliebige positive Werte die Quadratwurzel berechnet. c) Vergleichen Sie die Ergebnisse Ihres Algorithmus mit den Werten der Bibliotheksfunktion sqrt()! 68

10 Aufgabe Einheitskreis a) Berechnen Sie mit Hilfe der Funktion Wurzel() (aus der Aufgabe Wurzelberechnung) mindestens 50 verschiedene Koordinatenpaare des Einheitskreises (Radius 1 und Mittelpunkt 0,0) und geben diese in einer Tabelle aus. b) Die Berechnung der Wurzel ist im Vergleich zu anderen Rechenoperationen ziemlich zeitaufwändig. Wie können Sie den kompletten Kreis möglichst genau mit möglichst wenig Wurzelberechnungen beschreiben? c) Berechnen Sie die Koordinaten des vollständigen Kreises nach ihrem Verfahren und geben diese auf dem Bildschirm aus. Achtung Außer der Ausgabeanweisung printf() sind keine weiteren Bibliotheksfunktionen erlaubt! 69

11 Aufgabe Quadratische Gleichung Schreiben Sie eine Funktion Gleichung(), die mit Hilfe der Funktion Wurzel() (aus der Aufgabe Wurzelberechnung) Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0 löst und die Ergebnisse auf dem Bildschirm ausgibt. Übergeben Sie a, b und c als Funktionsparameter. Testen Sie Gleichung(), indem Sie innerhalb von main() mit Hilfe der Funktion readdouble() verschiedene Werte für a,b, und c von der Tastatur einlesen und damit die Funktion Gleichung() aufrufen. 70