1 /40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2011 Mathematik ( ) = 0, 001 0, , Abb.1 (erstesteilstück der Achterbahn)

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Linus Hummel
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1 Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Aufgabenvorschlag A /40 Das erste Teilstück einer Achterbahn ruht auf sechs senkrechten Stützen, die in Abständen von 5 m aufgestellt sind (siehe Abb.). Es lässt sich im Koordinatensystem durch die Funktionsgleichung Abb. (erstesteilstück der Achterbahn) f x x x x 4 ( ) = 0, 00 0, , beschreiben. Dabei ist f(x) die Höhe über dem Erdboden. Der Startpunkt liegt bei x = 0, der Endpunkt bei x = 5. Längeneinheit m.. Berechnen Sie die Höhen der Stützen und listen Sie diese in einer Tabelle auf. /6. Berechnen Sie den maximalen Höhenunterschied in diesem Teilstück der Achterbahn. /5. Berechnen Sie die beiden Punkte dieses Teilstücks der Achterbahn, in denen es am steilsten bergauf bzw. bergab geht und geben Sie jeweils die Steigung an. Beachten Sie zur Steilheit auch die Zeichnung. /5.4 Versehen Sie die Achsenmarkierungen in Abb. mit Werten, tragen Sie die gefundenen Punkte in die Abb. ein und benennen Sie diese. /4 (Ende Aufgabe ) Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von

2 A Land Berlin /5 Die gesuchte Funktion f hat den Grad 4. Ihr Graph schneidet die y-achse im Punkt S (0 ). Die im Punkt S anliegende Tangente hat die Steigung m = 4. Der Graph Y der Funktion f berührt die x-achse bei Stelle x = die Steigung 6. Y x N =. Die erste Ableitungsfunktion hat an der T Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion. Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung 4 f ( x) = a4 x + ax + a x + ax + a0 der Funktion f. Gehen Sie davon aus, dass der fehlende Parameter a 0 den Wert hat. 84 = 96a a + a + a -56 = 48a 4-4a + a - a 6 = -96a 4 + 6a - a - a -78 = -90a 4-50a - a - a /5 Für eine Messehalle wird eine Werbefläche in Form eines Zylinders geplant, der an zentraler Stelle auf dem Boden stehen soll und auch von oben betrachtet werden kann. Die Werbefläche, bestehend aus dem Mantel und der oberen Deckfläche, soll insgesamt 60 m² betragen. Der Zylinder ist so zu gestalten, dass sein Volumen möglichst groß ist.. Skizzieren Sie den Körper. Benennen Sie den Radius r sowie die Höhe h. /. Weisen Sie nach, dass die Zielfunktion zur Bestimmung des Volumens wie folgt lautet: V() r = π r + 0r /6. Wie sind Radius und Höhe zu wählen, wenn das Volumen des Zylinders möglichst groß werden soll? /7.4 Berechnen Sie das Volumen dieses Zylinders. / Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von

3 A Land Berlin 4 /0 Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen 4 f( x) = x x + 6 und gx ( ) = x + ; x IR 6 und die zugehörigen Graphen. 4. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die von den Graphen der Funktionen f und g vollständig eingeschlossen wird. / 4. Welche Eigenschaften müssen die Graphen zweier Funktionen besitzen, wenn sie sich in einem gemeinsamen Punkt berühren? Weisen Sie nach, dass sich die Graphen der Funktionen f und g x = und x = berühren. an den Stellen /5 4. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die von dem Graphen der Funktion und der x-achse vollständig eingeschlossen wird. f / 4.4 Bestimmen Sie den Wert des Integrals f ( xdx ). Sie können dabei die Ergebnisse aus 4. verwenden. / Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von

4 Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A Aufg. Erwartete Teilleistung. Stütze Nr. x f(x) 0,00 5 9, 0 6, ,0 5 0, ,6. Ansatz: f ( x) = 0 0, 004 x 0, x + 0,968 x= 0 x(0, 004 x 0, x+ 0,968) = 0 x E = 0 oder 0, 004 x 0, x+ 0,968 = 0 x x+ 4 = 0 x E = und x E = Hinreichende Bedingung f ( x) 0prüfen f ( x) = 0, 0 x 0, 64 x+ 0,968 f (0) = 0,97 > 0 Minimalstelle f () = 0, 48 < 0 Maximalstelle f () = 0,97 > 0 Minimalstelle Alternativ kann eine verbale Begründung geliefert werden. y-koordinaten berechnen f (0) = (siehe.); f () = 6, 64 ; f () = Der ma xima le Höhenunterschied beträgt 6,64 m m = 4,64 m. Zwischensumme Aufgabe. bis.: 0 0 Übertrag Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 7

5 Aufg. Erwartete Teilleistung Übertrag: 0 0. f ( x) = 0, 004 x 0, x + 0,968 x f ( x) = 0, 0 x 0, 64 x+ 0,968 f ( x) = 0, 04 x 0, 64 Notwendige Bedingung für Wendestellen: f ( x) = 0 0, 0 x 0, 64 x+ 0,986 = 0 x x+ 80, 67 = 0 x W = 4, 65 und x W = 7,5 Hinreichende Bedingung f ( x) 0 prüfen f (4, 65) = 0,5 0 Wendestelle f (7,5) = 0,5 0 Wendestelle Steigungswerte berechnen f (4,65) =,05 ; f ( 7,5) =, 05 ; f (5) = 4, y-koordinaten berechnen f(4, 65) = f(7,5) = 8,5 ; f (5) = 7,6 (siehe.) Am steilsten bergauf geht es in P ( 5 7,6 ) ; Steigung: 4, Am steilsten bergab geht es in P ( 7,5 8,5 ) ; Steigung:,05 Zwischensumme Aufgabe. bis.4: 7 8 Übertrag Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 7

6 Aufg. Erwartete Teilleistung Übertrag: Punkte eingetragen und benannt (s.u.) 4 Summe: 8 Mögliche BE: 40 Erreichte BE Endsumme Aufgabe Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 7

7 Aufg. Erwartete Teilleistung Ansatz: f(x) = a4x 4 + ax + ax + ax + a0 f (x) = 4a4x + ax + ax + a f (x) =a4x + 6ax + a Bedingungsgefüge:. Punkt Sy(0 ): f(0) = = a0. mt = 4 in Sy: f (0) = 4 = a. xn ist Nullstelle: f( ) = 0 = 6a4-8a + 4a - a + a0 4. xn ist Extremstelle: f ( ) = 0 = -a4 + a - 4a + a 5. mt = 6 bei x von f : f ( ) = 6 = a4-6a + a Gleichungssystem: -0 = 6a4-8a + 4a 4 = -a4 + a - 4a -6 = a4-6a + a a4 = ; a = 0 ; a = 9 ; a = 4 ; a0 = 4 f(x) = x 4 9x 4x + Summe: Mögliche BE: 5 Erreichte BE Endsumme Aufgabe Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite 4 von 7

8 Aufg. Erwartete Teilleistung. h. HB: NB:..4 ZF: r V(, r h) = π r h A = 60 = π rh + π r 60 π r h = π r 60 πr r π V() r = πr = (60 πr ) = r + 0r π r V '( r) = π r + 0 = 0 0 r / =± ±,5 ; die negative Lösung ist sinnlos i.s.d.a. π V ''( r) = π r V ''(, 5) =,75 < 0 => Maximum bei r 60 π r h = =,5 π r Der Radius und die Höhe müssen ca.,5 m betragen.. V(, r h) = π r h = 50,47 Das Volumen des Zylin d ers beträgt ca. 50,47 m³. Summe: 7 5 Mögliche BE: 5 Erreichte BE Endsumme Aufgabe Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite 5 von 7

9 Aufg.4 Erwartete Teilleistung 4. a) Schnittstellen von f und g: f ( x) = g( x) x x + 6 = x Substitution: z 8z + 6= 0 z, = 4 und damit x, = ; x,4 = b) Fläche zwischen f und g: Unter Beachtung der Symmetrie gilt: A = ( f( x) g( x)) dx= ( x x + ) dx 0 0 Stammfunktion: Dx ( ) = x x + x () 5, A = D = = FE FE 4. Die Graphen müssen in den Berührpunkten die gleiche Steigung und die gleichen Funktionswerte haben. f ( x0) g ( x0) = und f ( x0) = g( x0) Nachweis: f ( x) = x x und 0 f () = = g () und f( ± ) = g( ± ) siehe 4. 5 g ( x) = x 0 f ( ) = = g ( ) Übertrag: Erreichte BE (Zwischensumme) Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite 6 von 7

10 Aufg.4 Erwartete Teilleistung 4. Nullstellen von f: 4.4 Substitution: 4 z z 4 x x + 6= = 0 z = und z = 9 x N, = ± und x N,4 =± Flächenberechnung: Unter Beachtung der Symmetrie gilt: 4 Ao = f( x) dx= ( x x + 6) d x und Au f( x) dx = Stammfunktion: 5 = F( x) x x 6x A o = F() = = FE ( () ()) ( ) Au = F F = = F E A = + = FE 5,96 FE f( x) dx= = Integralwerte der Flächenstücke unterhalb der x-achse sind negativ. Übertrag Erreichte BE (Zwischensumme, s.o) Summe 5 4 Mögliche BE: 0 Erreichte BE Endsumme Aufgabe 4 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite 7 von 7

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