Harmonische Schwingung die einfachste Schwingung ist die harmonische Schwingung

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1 1. Schwingungen Fast alles schwingt, d.h. der Zustand ändert sich periodisch it der Zeit wie in Kreisbewegung. Bsp. Uhr, Kolben i Autootor, wippende Boote auf de Wasser. Haronische Schwingung die einfachste Schwingung ist die haronische Schwingung Frequenz: f Anzahl der Schwingungen pro Sekunde [f] 1 Hertz 1 Hz 1 Schwingung / s 1 s -1 Periode: Schwingunsdauer für vollständigen Durchlauf T 1 / f [T] s Bewegung: x(t) x cos(ωt + ϕ) x(t): Auslenkung, Ort ändert sich it Zeit t ωt + ϕ: Phase x Aplitude, axiale Auslenkung ω πf Kreisfrequenz konstant ϕ: Phasenkonstante / Verschiebung Alter Ort uss nach voller Periode T wieder erreicht werden, also x cosωt x cosω(t + T) > ωt π Geschwindigkeit v(t) dx(t)/dt d/dt[x cos(ωt + ϕ)] - x ω sin(ωt + ϕ) v(t) v sin(ωt + ϕ)] it v - x ω Beschleunigung a(t) dv(t)/dt d/dt[- x ω sin(ωt + ϕ)] - x ω cos(ωt + ϕ) a(t) a cos(ωt + ϕ) it a - x ω 1

2 Schwingungen treten ier auf, wenn Kraft in Gleichgewichtslage zurück treibt Haronischer Oszillator Federkraft F -Dx (i Lernbrief D statt k) Beschleunig. F a > a + Dx d x D DGL + x dt (Differentialgleichung) aktueller Ort x(t) F -Dx x () Lösung: x t) x cos( ω t + ) Lsg. ist Funktion, die jederzeit die DGL erfüllt ( ϕ k Lsg. in DGL x ω cos( ω + ϕ) + x cos( ω + ϕ) > ω D Eigenfrequenz, charakterist. für Syste, unabh. von Aplitude Energie Die potenzielle Energie eines linearen Oszillators hängt allein vo Zustand der Feder ab E pot ½ Dx ½ D x cos (ωt +ϕ) Die kin. Energie hängt allein vo Zustand der Masse, also von der Geschwindigkeit ab E kin ½ v ½ x ω sin (ωt +ϕ) it ω (D/)½ ½ x D sin (ωt +ϕ) Gesatenergie E E kin + E pot ½ D x [cos (ωt +ϕ) + sin (ωt +ϕ)] it cos (α) + sin (α) 1 E ½ D x Lernbrief / Bilder bei ir D statt k

3 -Dx(t) Erzwungene Schwingung v(t) Däpfung Exp. gedäpfte Schwingung -kv(t) x(t) Ort zur Zeit t Schwingung : periodische Wandlung von kin. in pot. Energie Däpfung: Reibung verbraucht Energie, die der Schwingung entzogen wird x () Reibungskraft F R -kv (gilt nur für langsae Bewegung) k, [k] kg/s Reibungskoeffizient Kräftegleichung a -kv - Dx > (d x/dt ) + k(dx/dt) + Dx it Däpfung δ k/ > DGL (d x/dt ) + δ(dx/dt) + (k/) x Lsg: x(t) x. exp{-δt}. cos(ω t + ϕ) Funktion des Ortes x(t) des Teilchens ω D δ ω δ Eigen-Frequenz bei Däpfung Neu: Aplitude x exp{-δt} fällt exponentiell it Zeit t Kreisfrequenz ω < ω (kleiner Effekt) Abklingzeit: τ 1/δ > x(1/δ) x /e,37x Resonanz Neu zwei schwingende Systee a) Schaukel it eigener Kreisfrequenz ω Kräftegleichung > (d x/dt ) + k(dx/dt) + Dx F a cos(ω a t) Beschleu- Reibungs- Rückstell- Externe nigung kraft kraft Kraft b) äußere anregende Kraft F a it Kreisfrequenz ω a > Bewegungsgleichung beschreibt die Schwingung (d x/dt ) + δ(dx/dt) + (D/) x F a / cos(ω a t) (Differentialgleichung) Lsg: x(t) x cos(ω a t - ϕ) Ort des Teilchens für t >> 1/δ 3

4 x F a /[ (ω - ω a ) + k ω a ]½ Aplitude ω (D/)½ ω (ω - δ )½ ϕ arctan{δω a /(ω - ω a )} Eigenfrequenz ohne Däpfung Eigenfrequenz it Däpfung Phasenverschiebung Syste zu Anregung. Elastoechanik Modell: Atoe sind durch Federkräfte iteinander verbunden, verhalten sich wie Hook`sche Feder bei Krafteinwirkung in Längenänderung und / oder Winkeländerung Mechanische Spannung Generell F A Kraft Fläche N 6 σ [ σ ] Pa 1 Noralspannung: Kraft senkrecht auf Wirkungsfläche, Bild 11 Zugspannung, Druckspannung Tangentialspannung: F T τ σ T Bild 1 A Dehnung Δl ε relative Längenänderung Bild 13 l Dehnungsodul E 4

5 Gibt an, welche Spannung nötig ist, u den Körper u einen relativen Anteil zu dehnen Dehnungsgesetz Poisson`sche Zahl σ E ε Hook`sches Gesetz F A ν Δ l σ E vergleiche F Dx l Längenänderungen gibt es längs und quer zur Kraftwirkung Bild 14 Die Poisson`sche Zahle gibt das Verhältnis beider relativer Änderungen an ν Δd Δl d l it etwas Rechnerei folgt für die Voluenänderung ΔV V Kopressionsodul K Druck ε (1 ν ) ν <,5 F Kraft p Bild 15 A Fläche ΔV p K V großes K: Material lässt sich schwer zusaendrücken Koressibilität κ Scherung / Torsionsodul τ 1 1 V K V p Δx γ tanγ Bild 16 l τ G γ Elastische Energiedichte Wie groß ist die Energie pro Voluen bei Dehnung, Stauchung, Kopression des Körpers? Dehnung w 1 Eε Spannung, Kraft, Druck Scherung 1 w Gγ Kopression w 1 ΔV K V Arbeit Änderung ε, τ, ΔV/V 3. Wellen 5

6 Die Störung eines deforierbaren Medius (Seil, Luft) breitet sich i Mediu aus. Diesen zeitl. und räul. veränderlichen Zustand bezeichnet an generell als Welle. A) Transversale Welle: Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung B) Longitudinale Welle: Auslenkung in Ausbreitungsrichtung Schallgeschwindigkeit c λf Ausbreitung eines Wellenberges Schallschnelle Schallgeschwindigkeit Schall-ntensität v ω s Geschwindigkeit eines Teilchens in der Welle K c Flüssigkeit, ρ 1 p ax v ax κ p c Gase, ρ Leistung pro Fläche A E c Festkörper ρ Schallpegel: Definition ist an enschliches Hörverögen angepasst Minial hörbare ntensität 1-1 W/ Minial hörbare Druckänderung Δp,8 * 1-5 Pa Maxial erträgliche Änderung Δp 8 Pa a) Schallintensitätspegel β 1 log b) Schalldruckpegel β p log Lautstärke: berücksichtigt, dass das Ohr nicht alle Frequenzen gleich stark wahrnit. Dopplereffekt Prinzip: Sender und Epfänger bewegen sich relativ zueinander f ` f c ± v c ± v D S f: Frequenz des Senders, f `: Frequenz bei Relativbewegung c: Schallgeschwindigkeit in Luft, Luft ruht v D : Detektor-Geschwindigkeit relativ zur Luft v S : Sender-Geschwindigkeit relativ zur Luft > Vorzeichen so wählen, dass f `> f wenn Detektor & Sender aufeinander zu laufen! 6