eingereicht bei Prof. Dr. Peter Roßbach

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1 Bewertung von Investmentfonds mittels Self-Organizing Maps Bachelor-Thesis an der HfB Business School of Finance & Management eingereicht bei Prof. Dr. Peter Roßbach von Peter Wirtz Matrikelnummer: Waldallee Eppstein Telefon: / peter.wirtz@student.hfb.de Eppstein, den 9. Oktober 2005

2 Inhaltsverzeichnis Tabellenverzeichnis...4 Abbildungsverzeichnis...5 Abkürzungsverzeichnis...6 Symbolverzeichnis Einführung Problemstellung Zielsetzung Aufbau der Arbeit Grundlagen neuronaler Netze Historische Entwicklung Formen des Lernens in neuronalen Netzen Definition Lernmethoden Self-Organizing Maps nach Kohonen Das Modell Der SOM-Algorithmus Ein deskriptives Beispiel Ein mathematisches Beispiel Bewertung von Investmentfonds mittels Self-Organizing Maps Datenanalyse mittels Viscovery Profiler Daten Erstellen von Self-Organizing Maps Segmentierung von weltweit investierenden Aktienfonds Segmentierung der Gruppe 3 als Teilmenge der ersten Untersuchung Segmentierung der Investmentfonds eines Managers als Teilmenge der ersten Untersuchung Ergebnisse der Bewertung von Investmentfonds Weiterführende Überlegungen Fazit...46 Seite 2 von 56

3 Anhang...47 Literaturverzeichnis...53 Eidesstattliche Versicherung...56 Seite 3 von 56

4 Tabellenverzeichnis Tabelle 1: Initialisierung der Gewichtsvektoren der Neuronen r1 bis r Tabelle 2: Euklidische Distanzen bei erstem Eingabevektor mit (1;0)...22 Tabelle 3: Nachbarschaftsfunktion bei erstem Eingabevektor mit (1;0)...23 Tabelle 4: Werte der Gewichtsvektoren nach der ersten Lernphase...23 Tabelle 5: Euklidische Distanzen bei zweitem Eingabevektor mit (0;1)...24 Tabelle 6: Nachbarschaftsfunktion bei zweitem Eingabevektor mit (0;1)...24 Tabelle 7: Werte der Gewichtsvektoren nach der zweiten Lernphase...24 Tabelle 8: Darstellung der Datenbasis für die Untersuchung...32 Tabelle 9: Darstellung einer Auswahl von Fonds mit Daten für die Untersuchung...32 Tabelle 10: Vorverarbeitung der Merkmale...33 Tabelle 11: Ergebnisse der einzelnen Merkmale nach Berechnung der SOM...35 Tabelle 12: Ergebnisse der einzelnen Merkmale nach Berechnung der SOM...38 Tabelle 13: Ergebnisse der einzelnen Merkmale nach Berechnung der SOM...41 Seite 4 von 56

5 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Schematische Darstellung einer rechteckigen SOM...15 Abbildung 2: Schematische Darstellung der Anpassung eines Gewichtsvektors...17 Abbildung 3: Zwei Schematische Darstellungen sowohl der Nachbarschaftsfunktion, als auch eines einfachen Lernradius einer SOM, wobei t1 < t2 < t Abbildung 4: Schematische Darstellungen der Veränderung der Gewichtsvektoren in Abhängigkeit von der Anzahl der Lernphasen...18 Abbildung 5: Darstellung des Ablaufes des SOM-Algorithmus...19 Abbildung 6: Empirische Darstellung von Hedgefondsstilen...20 Abbildung 7: Struktur einer SOM bei zwei Eingabevektoren und vier Neuronen...21 Abbildung 8: Initialisierung der Gewichtsvektoren...22 Abbildung 9: Veränderung der Gewichtsvektoren nach der ersten Lernphase...23 Abbildung 10: Veränderung der Gewichtsvektoren nach der zweiten Lernphase...25 Abbildung 11: Veränderung der Gewichtsvektoren nach zehn Lernphasen...25 Abbildung 12: Darstellung der Datenbasis für die Untersuchung...30 Abbildung 13: Vier segmentierte Gruppen von weltweit investierenden Fonds...33 Abbildung 14: Überblick über die Ergebnisse der 16 Merkmale bei 331 Fonds...34 Abbildung 15: Detailansicht der Merkmale Volumen in Mio. Euro und Total Expense Ratio...35 Abbildung 16: Drei segmentierte Gruppen aus den Fonds der Gruppe Abbildung 17: Überblick über die Ergebnisse der 16 Merkmale bei den Fonds der Gruppe Abbildung 18: Die Fonds des Managers Kaldemorgen in der SOM mit 331 Fonds...40 Abbildung 19: Sechs segmentierte Gruppen des Managers Kaldemorgen...40 Abbildung 20: Überblick über die Ergebnisse der 16 Merkmale bei den Fonds des Managers Kaldemorgen...41 Abbildung 21: Maxima der Merkmale in der SOM der 331 Investmentfonds...44 Abbildung 22: Minima der Merkmale in der SOM der 331 Investmentfonds...45 Seite 5 von 56

6 Abkürzungsverzeichnis BVI Bundesverband Investment und Asset Management e. V. CISDM Center for International Securities and Derivatives Markets SOM Self-Organizing Map Symbolverzeichnis x i Impuls einer Eingangsleitung s Schwellenwert y r Impuls einer Ausgangsleitung w i Synapsenstärke w ri Synapsenstärke eines bestimmten Neurons r ε Parameter für die Größe eines Lernschritts N Anzahl von Elementen des Perzeptrons L Anzahl von Eingangsleitungen zur Zuführung von Eingabemustern R n N-dimensionaler Eingangsraum K Self-Organizing Map r i Neuron m i Gewichtsvektor eine Neurons µ in Komponente eines Gewichtsvektors eines Neurons χ i ξ n r c m c t h ci (t) α (t) σ (t) Nc (t) D i Eingangsvektor Komonente eines Eingangsvektors Neuron des Erregungszentrums Gewichtsvektor des Erregungszentrums Anzahl der durchgeführten Lernschritte Nachbarschaftsfunktion Lernrate der Nachbarschaftsfunktion Radius der Nachbarschaftsfunktion Nachbarschaftsbereich Euklidische Distanz Seite 6 von 56

7 1 Einführung 1.1 Problemstellung Der Markt für Investmentfonds ist seit der Börsen-Hausse von 1999/2000 weiter stark gewachsen. Heute wird die Zahl der in Deutschland zugelassenen Investmentfonds für Privatkunden vom BVI auf ungefähr 2400 Fonds und damit auf ein Volumen von ca. 418 Mrd. EUR beziffert. 1 Diese Zahl kann hier allerdings nicht abschließend verifiziert werden, da es sich um eine vereinsgestützte Erhebung handelt. Investmentfonds bieten ihren Investoren eine Anzahl von Vorteilen gegenüber einer Direktanlage in Wertpapieren. Dies ist im besonderen die Diversifikation bei geringerem Risiko und geringeren Kosten. Zudem können Fondsmanager durch ein deutlich höheres Fachwissen und die ihnen zur Verfügung stehende Zeit ein deutlich professionelleres Fondsmanagement betreiben. Allerdings werden diese Vorteile für einen Privatkunden seit einiger Zeit durch den immer größer und damit unübersichtlicher werdenden Markt für Investmentfonds konterkariert. Mittlerweile hat die Anzahl der Investmentfonds ein so hohes Niveau erreicht, dass eine Segmentierung von Investmentfonds in passende Gruppen zur Orientierung notwendig geworden ist. Dies geschieht zum einen, um einen Überblick über den Markt bewahren zu können und zum anderen, um eine Vergleichbarkeit herstellen zu können. Allerdings ist bei Untersuchungen am spanischen Markt für Investmentfonds erforscht worden, dass ca. 60 % der klassifizierten Investmentfonds nicht der korrekten Gruppe zugeordnet wurden Zielsetzung Am Beispiel des deutschen Marktes für Investmentfonds versucht diese Arbeit durch Bewertung von Investmentfonds mittels Self-Organizing Maps (im Folgenden auch SOMs abgekürzt) heraus zu arbeiten, inwieweit die nach Feri TRUST klassifizierten Fonds tatsächliche Ähnlichkeiten aufweisen. Hierzu wird in dieser Arbeit die von Professor Kohonen im Jahre 1982 entwickelte Methode von Self-Organizing Maps herangezogen, da sie eine sehr gute Segmentierung von mehrdimensionalen Daten ermöglicht. SOMs sind nichtlineare Modelle, welche alle Muster und Beziehungen der ursprünglichen Daten verarbeiten und zuletzt auch auswerten und somit zu einer Auswertung und Visualisierung führen. 1 Bundesverband Investment und Asset Management e.v. (30. Juni 2005) 2 Vgl. Moreno, D./Olmeda, I./Marco, P (2002), S. 1. Seite 7 von 56

8 1.3 Aufbau der Arbeit Um diesen Bereich der Finanzwissenschaften näher zu betrachten, werden im zweiten Teil der Arbeit die Grundlagen neuronaler Netze erörtert. Das von Professor Teuvo Kohonen entwickelte Modell von Self-Organizing Maps 3 wird im dritten Teil detailliert vorgestellt und anhand von zwei Beispielen illustriert. Im Hauptteil der Arbeit werden anhand Kohonens Modell weltweit investierende Aktienfonds bewertet. Darüber hinaus werden aus der Ursprungsmenge an Investmentfonds nach verschiedenen Kriterien Subgruppen gebildet und erneut untersucht. Auf die Bewertung von Rentenfonds wird in dieser Arbeit verzichtet, da sich deren Kennzahlen und sonstige Bewertungsmaßstäbe deutlich von Aktienfonds unterscheiden. Im letzten Teil der Arbeit werden die Ergebnisse aller Bewertungen abschließend zusammengefasst und beurteilt. 3 Kohonen, T. (1982) Seite 8 von 56

9 2 Grundlagen neuronaler Netze Die erste intelligente Maschine, es war ein mechanischer Schachautomat, wurde Ende des 18. Jahrhunderts von Wolfgang von Kempelen am Wiener Hof entwickelt. Es war eine mechanische Figur eines in orientalische Gewänder gekleideten Mannes, der hinter einem hölzernen Kasten saß und mit einem menschlichen Gegner Schach spielen konnte. 4 Allerdings bediente den Türken, wie die Maschine auch genannt wird, verborgen ein Mensch aus einem Hohlraum im Inneren. Trotz dieses Tricks stieß v. Kempelen die Diskussion an, bis zu welchem Grad Maschinen spezifische menschliche Fähigkeiten besitzen (oder nachahmen) können Historische Entwicklung Nach Ritter et al. 6 entstand der Teilbereich künstliche Intelligenz der Informatik allerdings erst im Zuge der Verbesserung und Weiterentwicklung der heutigen Computer. Der Aufbau und der Prozessablauf innerhalb eines heutigen Computers basiert auf der von-neumann-architektur, welche darauf ausgelegt ist, mit wenigen zentralen Rechenprozessen, die mit sehr hohen Geschwindigkeiten durchgeführt werden, sequenzielle Prozeduren abzuarbeiten. 7 Die so konstruierten Computer und Programme können jedoch das Wesentliche ihres Wissensgebietsnamens nicht erfüllen: Die Intelligenz. So entwickelte sich parallel der Zweig der Neuroinformatik. Die ersten Ideen gehen bis in das Jahr 1943 zurück, als McCulloch und Pitts 8 zum ersten Mal Nervenzellen als logische Elemente bezeichneten. Die Nachbildung solcher biologischer intelligenter Strukturen war seitdem das Ziel der Neuroinformatik, die sich möglichst nah am natürlichen Vorbild orientierte. 9 Zur Freilegung dieses biologischen Know-hows hat sich die Neuroinformatik in ein interdisziplinäres Forschungsgebiet entwickelt. Ihr Ziel war es, ein Verständnis der Funktionsprinzipien biologischer Gehirne zu erlangen und die dabei gewonnen Erkenntnisse zum Bau neuartiger, in ihren Fähigkeiten flexibler, Computer nutzbar zu machen. 10 Darunter fällt auch das Entwickeln von neuronalen Netzen, also mathematischen Modellen, die sich dieses biologische Know-how zu Nutze machen Standage, T (2002), S Vgl. Standage, T (2002), S Vgl. Ritter, H. et al. (1991), S. 25 f.. 7 Vgl. Ritter, H. et al. (1991), S McCulloch, W./Pitts, W. (1943) 9 Vgl. Ritter, H. et al. (1991), Vorwort zur ersten Auflage. 10 Ritter, H. et al. (1991), S Vgl. Zell, A. (1998), S. 431 ff.. Seite 9 von 56

10 Die Entwicklung von neuronalen Modellen war zu Beginn durch die Analogie zur Funktionsweise des Gehirns motiviert. Weitere Entwicklungen neuronaler Netze haben allerdings nur noch wenig mit dem Aufbau und der Funktionsweise des Gehirns gemein. 12 Ähnlich wie die Fliegerei zu Beginn durch den Vogelflug motiviert war, war die Konstruktion heutiger Flugzeuge jedoch erst durch das Abwenden von der Analogie zu Vögeln möglich. 13 Als erste entwickelten McCulloch und Pitts nach ihrer These, dass ein Neuron ein logisches Element ist, auch ein erstes einfaches neuronales Modell. Sie definierten ein Schwellenwertelement (analog des Neurons), welches zwei Zustände annehmen kann und Eingangs- und Ausgangsleitungen besitzt. Eine Eingangsleitung kann nun einen Impuls (x i = 1) oder keinen Impuls (x i = 0) haben. Aus den entsprechenden Werten der einzelnen Eingangsleitungen bildet sich die Eingangssumme. Erreicht oder übersteigt diese Summe den definierten Schwellenwert s des Schwellenwertelements, so soll das Neuron erregt sein und selber einen Ausgangsimpuls (y = 1) über die Ausgabeleitung weiterleiten. Ist die Summe der Impulse kleiner als der Schwellenwert, so bleibt das Neuron unerregt und sendet keinen Impuls weiter. Dass eingehende Impulse gehemmt oder unterstützt werden, berücksichtigen McCulloch und Pitts durch eine Synapsenstärke w i, die zwischen +1 und 1 liegt und so den Impuls stark beeinflussen kann. Die Formel für den Impuls der Ausgabeleitung sieht folgendermaßen aus: y = θ w x s ( ) i i i wobei gilt θ(x)=1 für x 0 und θ(x)=0 für x< 0 (1) McCullochs und Pitts Idee vom Neuron als logischem Schwellenwertelement ist ein fortschrittlicher Beitrag gewesen und bildet bis heute die Grundlage vieler Modelle. Die Theorie konnte jedoch nicht erklären, wie die Schaltpläne der Neuronen zustande kamen, insbesondere ob und inwieweit dies durch Lernen geschehen konnte. 2.2 Formen des Lernens in neuronalen Netzen Einer der entscheidenden Vorteile von neuronalen Netzen ist die Eigenschaft ihrer Lernfähigkeit. Neuronale Netze bedürfen keiner bestimmten Annahme über die Form des Zusammenhangs, diese entwickelt das Modell selbstständig durch Lernen aus den Daten Vgl. Wiedmann, K.-P./Buckler, F. (2003), S Vgl. Vapnik. V. (1995), S Vgl. Wiedmann, K.-P./Buckler, F. (2003), S. 49. Seite 10 von 56

11 2.2.1 Definition Um den Begriff Lernen zu definieren, bedarf es aufgrund der Komplexität jedoch weiterer Überlegungen. Lernen ist jeder Vorgang, der ein System in die Lage versetzt, bei der zukünftigen Bearbeitung derselben oder einer ähnlichen Aufgabe diese besser zu erledigen, lautet eine klassische Definition des Lernens nach Simon. 15 Kritisiert wurde diese Darstellung von Michalski, 16 da nicht jedes Lernen auch immer zielgerichtet sei. Es könne auch unbewusstes Lernen geben und definierte Lernen als das Konstruieren oder Verändern von Repräsentationen von Erfahrungen. Alternativ kann Lernen über die Definition einer Lernaufgabe bestimmt werden. Eine Lernaufgabe wird durch eine Beschreibung der dem lernenden System zur Verfügung stehenden Eingaben, der vom lernenden System erwarteten Ausgaben und den Randbedingungen des Lernsystems selbst definiert Lernmethoden Es können zwei Lernmethoden unterschieden werden. Zum einen überwachtes und zum anderen unüberwachtes Lernen. Bei unüberwachtem Lernen existiert kein Lehrer und das Modell extrahiert und strukturiert Wissen autonom. Bei überwachtem Lernen gibt es einen sog. Lehrer oder auch eine Kontrollinstanz, die dem Modell Anweisungen wie und was es lernen soll vorgibt. Es basiert auf dem Erlernen einer Beziehung zwischen den präsentierten Eingabewerten und den erwarteten Ausgabewerten während einer Trainingsphase. Dabei gibt der Lehrer selbst neben dem Eingabewert auch gleich das Ergebnis mit an. Somit wären alle Bedingungen nach Zabel erfüllt. Nach Ritter et al. 18 und Barr 19 stellte die Lernregel nach Hebb, die erste bekannte Lernform bei neuronalen Netzen dar. Diese Regel bildet den Vorschlag zur Beantwortung der ersten Frage des Modells nach McCulloch und Pitts. Der Psychologe Hebb stellte sie in seinem Buch Organization of Behavior zum ersten Mal vor. Demnach ändern sich Synapsenstärken in Abhängigkeit ihrer Aktivität. Eine mathematische Darstellung der Änderung der Synapsenstärke ist die Vorschrift: Δw = εy x x i ( ) i (2) 15 Vgl. Simon, H. (1984), S. 25 ff.. 16 Vgl. Michalski, R. (1986), S. 3ff.. 17 Vgl. Zabel, T. (2005), S Vgl. Ritter, H. et al. (1991), S. 27 ff.. 19 Vgl. Barr, T. (1991), S. 78 ff.. 20 Hebb, D. (1949) Seite 11 von 56

12 Hierbei ist y(x) die Erregung des Neurons und ε > 0 ein Parameter, der die Größe eines einzelnen Lernschritts bemisst. McCullochs und Pitts Modell war mit der hebbschen Lernregel noch ein sehr einfaches Modell, ließ aber erstmals erahnen, wie Neuronen logische Operationen durch Erlerntes ausführen könnten. Genauer wurde das Lernen in neuronalen Netzen 1958 von Rosenblatt 21 durch die Entwicklung des Perzeptrons präzisiert. Es stellt in seinem Aufbau das mathematische Modell eines natürlichen Neurons dar. Das Perzeptron kann über die Impulse 0 und 1 hinaus sämtliche kontinuierliche Daten verarbeiten und lernt nach der klassischen Definition des beaufsichtigten Lernens. Das Perzeptron besteht aus einer festgelegten Anzahl von N Elementen, denen über L Eingangsleitungen Eingabemuster zugeführt werden. Es handelt sich also um einen Vektor mit genau so vielen Elementen wie es Eingabeleitungen gibt. Die Klassifizierung der Eingabemuster geschieht hierbei anhand von vorher erlernten Musterklassen. Das Perzeptron erlernt in der Trainingsphase die korrekte Klassifikation der Eingabemuster in Musterklassen, indem jedes Element des Perzeptrons seine Synapsenstärke w i so anpasst, dass es nur bei seiner vorher definierten Musterklasse mit dem Ausgabewert y r =1 reagiert. Die vorher definierten Musterklassen spiegeln somit die richtige Musterlösung wider und definieren damit auch im Rückschluss die optimale Synapsenstärke w i *. Die Formel für den Ausgabewert des Perzeptrons sieht folgendermaßen aus: L yr = θ wrixi i= 1 wobei gilt w ri, i = 1,2 L (3) Das Fehlen einer Erregungsschwelle wird übergangen, indem ein konstantes Eingangssignal von x 1 =1 vereinbart wird. Minsky und Papert 22 stellten fest, dass das Modell des Perzeptrons nur linear separierbare Klassen unterscheiden kann. Dies sind Klassen, deren Elemente sich durch eine Gerade oder Ebene im vieldimensionalen Raum voneinander trennen lassen. Bei nicht eindeutig zu trennenden Musterklassen gelingt nicht immer eine lineare Separierbarkeit bei gleicher Dimensionalität. Aber nur die lineare Separierbarkeit durch das Perzeptron sichert die kor- 21 Rosenblatt, F. (1958) 22 Minsky, M./Papert, S. (1969) Seite 12 von 56

13 rekte Klassifizierbarkeit. Solche Problemstellungen können nur durch das Aufspüren der richtigen Synapsenstärke w i gelöst werden. Eine Lösungsmöglichkeit ist das Training mit Klassifikationsbeispielen zusammen mit der Angabe der jeweiligen Klasse. Ist der Ausgabewert y r eines Beispiels ungleich des Ausgabewertes gemäß der bekannten Musterklasse, so werden seine Koeffizienten um Δw ri = ε ( soll) ( yr y r ) x i (4) abgeändert. Dieser Algorithmus wirkt auf das Perzeptron wie eine Fehlerkorrekturregel. Bei korrekter Klassifikation des Klassifikationsbeispiels bleibt die Synapsenstärke w i unverändert. Ist hingegen die Klassifikation nicht zutreffend, so erzeugt der Algorithmus bei zu geringen Ausgabewerten eine Vergrößerung bzw. bei zu großen Ausgabewerten eine Verkleinerung der Summe. Im Gegensatz zu den frühen Modellen, die bisher beschrieben wurden, existieren heute neuronale Netze, die nach der angeführten Definition unbeaufsichtigt lernen können. Dazu zählt insbesondere die Self-Organizing Map von Kohonen, die im anschließenden Kapitel erörtert wird. 3 Self-Organizing Maps nach Kohonen Die Entwicklung der Self-Organizing Maps von Kohonen 23 bildet einen deutlichen Wandel der künstlich-neuronalen Modelle. Kohonens Self-Organizing Maps benötigen keine vorgegebenen Musterklassen, um ihrerseits eine korrekte Segmentierung vorzunehmen, daher lernen sie unbeaufsichtigt. SOMs greifen vielmehr auf einen Algorithmus zurück, der als kompetitives Lernen beschrieben werden kann. Bei solchen Lernarten stehen die Neurone untereinander im Wettbewerb und das am stärksten erregte Neuron wird Siegerneuron genannt. Das Ergebnis einer Self-Organizing Map ist eine Karte, in der die vieldimensionalen Eingangsmuster topologieerhaltend als zweidimensionales Ausgangsmuster dargestellt werden kann. Topologieerhaltend bedeutet in diesem Zusammenhang, dass nachbarschaftliche Verhältnisse der eingegebenen Originaldaten im Ergebnis durch ähnliche räumliche Anordnungen gewahrt bleiben. SOMs eignen sich daher bestens als Interdependenzanalyse und Visualisierungsmethode und sind deshalb vielfältig einsetzbar. In der Interdependenzanalyse werden die Beziehungen der Daten untereinander untersucht. Dabei wird besonders die Aufteilung der Daten in Gruppen gemäß ihrer Ähnlichkeit sowie die Lage der Gruppen zueinander untersucht Kohonen, T. (1982) 24 Vgl. Wiedmann, K.-P./Buckler, F. (2003), S. 56. Seite 13 von 56

14 3.1 Das Modell Kohonens Modell 25 der Self-Organizing Maps setzt ähnliche Aktivierungen durch verschiedene Eingabevektoren in eine Lagenachbarschaft von erregten Neuronen der Ausgabeschicht um. 26 Das heißt, dass der Lernprozess der Self-Organizing Maps als das Verfahren bezeichnet werden kann, in dem die zentralen Merkmale des Eingangsraums über die gegebenen Eingabemuster (Vektoren) ermittelt und dann in einer zweidimensionalen Karte, die aus einem regelmäßigen Neuronengitter besteht, dargestellt werden. Dabei wird die Struktur der eingegebenen Originaldaten gewahrt und somit die Visualisierung komplexer Daten möglich. Die Muster werden durch die SOM in eine interne Darstellung überführt, bei der die Neuronen eine ähnliche räumliche Anordnung wie die Daten im ursprünglichen Ereignisraum annehmen. Somit bleiben selbst bei der Abbildung eines n-dimensionalen Ereignisraums auf der zweidimensionalen Self-Organizing Map nachbarschaftliche Beziehungen erhalten. 27 Das Modell besteht aus zwei Schichten, die Eingabeschicht und die Ausgabeschicht. Es wird keine interne Schicht mehr wie beim Perzeptron benötigt. Die Größe der Ausgabeschicht und damit die Anzahl der enthaltenen Neuronen kann variiert werden. Auch die Gitterstruktur kann rechteckig, hexagonal oder sogar unregelmäßig sein, wobei sich ein hexagonaler Aufbau nach Kohonen 28 zur Visualisierung am besten eignet. Jedem Neuron r i wird dabei eine Position in der SOM zugeordnet. Anhand von zwei Koordinaten, wie in der Algebra, wird das Neuron in der Self-Organizing Map positioniert. Dabei gibt der erste Index die Zeile und der zweite Index die Spalte an. Die einzige Bedingung ist die vollständige Verknüpfung der Elemente der Ausgabeschicht mit denen der Eingabeschicht. Eine große und mit vielen Neuronen besetzte Ausgabeschicht kann jedoch viel feinere Klassifizierungsergebnisse liefern. 25 Vgl. Kohonen, T. (2001), S. 109 ff.. 26 Vgl. Schneider, C. (1998), S Vgl. Rojas, R. (1993), S. 346 ff.. 28 Vgl. Kohonen, T. (2001), S Seite 14 von 56

15 Abbildung 1: Schematische Darstellung einer rechteckigen SOM Ausgabeschicht Quelle: Sauerburger, H. (1991) S. 26. Eingabeschicht Neben dem unterschiedlichen Aufbau wird das Ergebnis der SOM auch und vor allem durch die Methode des kompetitiven Lernens erreicht. Dabei versucht sich jedes Element der Ausgabeschicht gegenüber den anderen Elementen durchzusetzen. Der n-dimensionale Eingangsraum R n soll auf die Self-Organizing Map K mit ihren Neuronen r i abgebildet werden. Dabei besitzt jedes Neuron r i einen Gewichtsvektor mi T n [ µ, µ 2,, ] R = µ i1 i K in der aus n Komponenten besteht. (5) Nun werden alle m i initialisiert, d. h. mit einem Ausgangs- oder Anfangsvektor versehen. Um zu zeigen, dass der Algorithmus nicht von dieser Initialisierung beeinflusst wird, kann mit zufälligen Gewichtsvektoren oder mit einer gleichen Aufladung der Vektoren begonnen werden. Eine vorgegebene Struktur kann dem Algorithmus helfen, schneller zu einem präzisen Ergebnis zu gelangen; ist jedoch nach Kohonen nicht notwendig. 29 Im einfachsten Fall existiert in dem n-dimensionalen Raum R n nur ein einziger Eingangsvektor mit n Komponenten T n [ ξ, ξ2, ] R χ =, ξ 1 K n. (6) Dieser ist gemäß des Aufbaus mit allen Neuronen der Ausgabeschicht verbunden. Dabei kann die Verbindung sog. Verbindungsgewichten w i unterliegen, die bei unterschiedlichen Neuronen unterschiedlich ausfallen. Sie treten als hemmend oder fördernd auf, indem sie 29 Vgl. Kohonen, T. (2001), S Seite 15 von 56

16 skalare Werte zwischen 1 und +1 annehmen können. Auf diese Gestaltungsmöglichkeit wird im weiteren Verlauf der Beschreibung des Algorithmus jedoch der besseren Verständlichkeit wegen nicht weiter eingegangen. Welcher anfängliche Gewichtsvektor eines Neurons am besten zu dem Eingangsvektor passt, wird durch den Algorithmus nun untersucht. Indem χ mit allen m i verglichen wird, kann dasjenige Neuron r c als Erregungszentrum benannt werden, dessen Gewichtsvektor gemessen an der euklidischen Entfernung am nächsten zum Eingangsvektor liegt. Der Gewichtsvektor des Neurons, welches als Erregungszentrum erkannt wird, wird als m c bezeichnet min{ χ m } = ( ξ m ) + ( ξ m ) + + ( ξ m ) min χ m = K (7) c i i 1 i1 2 i2 m im Die Gewichtsvektoren werden nun in der Lernphase in Richtung des Eingangsvektors angepasst (siehe Abb. 2). Der Ausschlag und die Geschwindigkeit dieser Anpassung geschieht gemäß einer Lernrate. m i ( t + 1) = m ( t) + h ( t) [ χ( t) m ( t) ] i ci i (8) Innerhalb des Lernalgorithmus bezeichnet t = [0, 1,...] die Anzahl der durchgeführten Lernschritte des Algorithmus. Die Funktion h ci wird als die Nachbarschaftsfunktion bezeichnet und bestimmt, in welchem Maß benachbarte Neuronen ihre Gewichtsvektoren anpassen dürfen. Dabei gilt, dass bei größer werdenden Entfernungen des Neurons r i vom Neuron des Erregungszentrums r c die Funktion h ci (t) bis auf 0 abnimmt. Somit hängt die Beweglichkeit der SOM stark von der Ausgestaltung von h ci (t) ab. h ci (t) selber wird von Kohonen sowie in anderer Literatur 30,31 meist als Gaußfunktion angegeben: 2 ( ) ( ) ( ) rc ri hci t = α t exp (9) 2 2σ t In der Formel (9) definiert α (t) ein Skalar, welches die Lernrate der Nachbarschaftsfunktion beschreibt. Dieses kann als Geschwindigkeit der Anpassung verstanden werden. Der Parameter σ (t) bezeichnet den Radius der Nachbarschaftsfunktion (siehe Abb. 3). Den Nachbarschaftsbereich nennt man N c (t). Beide sollen, wie in Abbildung 3 zu sehen ist, idealtypisch im Verlauf der Trainingsphasen monoton abnehmen. 30 Vgl. Ritter et al. (1991), S Vgl. Schneider, C. (1998), S.36. Seite 16 von 56

17 Abbildung 2: Schematische Darstellung der Anpassung eines Gewichtsvektors Quelle: In Anlehnung an Ritter et al. (1991), S. 75. In der Lernphase werden zusätzlich zum Erregungszentrum auch die Gewichtsvektoren räumlich benachbarter Neuronen angepasst (siehe auch Abb. 2). Somit erstreckt sich die Anpassung der Gewichtsvektoren über das Erregungszentrum hinaus und ermöglicht damit eine größerflächige Anpassung der Self-Organizing Map. Wird die Nachbarschaftsfunktion zu klein gewählt, besteht die Gefahr, dass nicht die gesamte SOM geordnet werden kann. Es bietet sich also an, eine größere aber im Zeitverlauf schrumpfende Funktion anzunehmen. Abbildung 3: Zwei schematische Darstellungen sowohl der Nachbarschaftsfunktion als auch eines einfachen Lernradius einer SOM, wobei t 1 < t 2 < t 3 N c (t 1 ) N c (t 2 ) N c (t 3 ) Quelle: Bachelier, G. (1998), S. 14 und in Anlehnung an Kohonen, T. (2001), S Seite 17 von 56

18 SOMs können folglich schnell grobe generalisierende Muster bilden, um im Verlauf der Trainingsphasen präzise Karten zu visualisieren. Beschreiben zweidimensionale Eingangsvektoren das Muster eines Quadrates, so wird bei einer SOM wie in Abbildung 4 nach Lernphasen die grobe globale Struktur deutlich erkennbar. Bis zur feinen Strukturlösung dauert es noch weitere Lernphasen. Nach Kohonen 32 bedarf es einer Anzahl von 500 Lernphasen pro Neuron der SOM, damit das Ergebnis eine statistische Genauigkeit besitzt. Hingegen besitzt die Anzahl von Eingangsvektoren keinen Einfluss auf die Anzahl der Lernphasen. Abbildung 4: Schematische Darstellungen der Veränderung der Gewichtsvektoren in Abhängigkeit von der Anzahl der Lernphasen (jeweils rechts unter den einzelnen Bildern) Quelle: Kohonen, T. (2001), S Abschließend ist festzuhalten, dass es Self-Organizing Maps durch die beschriebene Methode des unbeaufsichtigten kompetitiven Lernens möglich ist, völlig unbekannte n- dimensionale Datenräume mit noch nie benutzten Werten durch Segmentierung zu verarbeiten und innerhalb der Karte anzuzeigen. 3.2 Der SOM-Algorithmus Das in 3.1 beschriebene Modell der Self-Organizing Maps nach Kohonen lässt sich in fünf Phasen einteilen, die unterschiedlich oft durchlaufen werden können. Folgender Ablauf beschreibt den SOM-Algorithmus: 32 Vgl. Kohonen, T. (2001). S Seite 18 von 56

19 Abbildung 5: Darstellung des Ablaufes des SOM-Algorithmus 1. Initialisiere alle Gewichtsvektoren m i gemäß (5) zufällig. 2. Präsentiere einen Eingangsvektor χ gemäß (6). 3. Bestimme das Erregungszentrum r c ( Siegerneuron ) gemäß (7). 4. Passe die Gewichtsvektoren aller Neuronen gemäß (8) an. 5. Gehe zu Schritt 2. Quelle: eigene Darstellung 3.3 Ein deskriptives Beispiel Baghai-Waji et al. 33 haben die Konsistenz der Eigenangaben von Hedgefonds über ihren Anlagestil von 2442 Fonds aus der Datenbank des Center for International Securities and Derivatives Markets (CISDM) untersucht. Dabei wurde die vom CISDM vorgenommene Klassifikation mit der Klassifikation, die durch Anwendung einer SOM erzeugt wurde, verglichen. Um eine konstante und stabile Aussage treffen zu können, wurde auf neue Fonds in der Untersuchung verzichtet. Das Mindestalter der beobachteten Fonds lag bei 24 Monaten. Ausgeschlossen waren von vornherein auch alle Dachfonds. In dieser Studie stellt jeder Hedgefonds einen Inputvektor dar, dessen Dimension durch die Anzahl der monatlichen Renditebeobachtungen bestimmt wird. Nach Abschluss der Lernphase werden gemäß der SOM Hedgefonds mit ähnlichen Renditemerkmalen als Segmente in der zweidimensionalen Karte dargestellt. Um die höherdimensionalen Daten auf der zweidimensionalen Karte abzubilden, wird jeder Eingabevektor χ i R n mit dem Gewichtsvektor m i eines jeden Neurons r i verglichen. Die ursprünglichen Werte können willkürlich festgelegt werden. Das Erregungszentrum ist dasjenige Neuron der Self-Organizing Map, bei dem der euklidische Abstand zwischen dem Eingabevektor χ und dem zu diesem Neuron gehörigen Gewichtsvektor m i am kleinsten ist. Nachdem m c, der Gewichtsvektor des Siegerneurons ermittelt wurde, wird dieser Wert sowie die Werte seiner Nachbarn an den Wert des Eingabevektors χ angepasst. Dieser Lernprozess wird allerdings nur auf diejenigen Knoten der Nachbarn angewandt, die innerhalb eines vorgegebenen Abstands zum Siegerneuron liegen. Alle anderen bleiben unberücksichtigt. Sowohl der Faktor für die Lernrate, als auch die Funktion zur Festlegung der topologischen Nachbarschaft zum Siegerneuron werden monoton fallend gewählt. 33 Vgl. Baghai-Wadji, R. et al. (2005), S. 66 ff.. Seite 19 von 56

20 Durch diesen Lernprozess wird am Ende jeder Eingabevektor letztlich dem Knoten zugeordnet, dem er hinsichtlich des Abstands am ähnlichsten ist. Das Ergebnis der Untersuchung liegt in der Ermittlung von neun charakteristischen Hedgefondskategorien. Die Kategorien sind: Convertible Arbitrage und Fixed Income (CA & FI), Emerging Markets (EM), Futures (F), Merger Arbitrage und Distressed Securities (MA & DS), Sector Financial (SF), Sector Healthcare (SH), Sector Technology (ST), Short Selling (SS) und Sonstige als Auffanggruppe für alle weiteren unklassifizierbaren Fonds. Abbildung 6: Empirische Darstellung von Hedgefondsstilen Quelle: Baghai-Wadji, R. (2005), S. 72. Einige Kategorien nehmen in der Self-Organizing Map eine größere Fläche ein als andere. Dies deutet sowohl auf die Größe wie auch auf das Maß der Streuung innerhalb einer Kategorie hin. Der Grad der Übereinstimmung von Selbsteinstufung und Segmentierung gemäß der Self- Organizing Map ist bei einigen Hedgefondskategorien sehr ausgeprägt. Bei Short-Selling- Fonds zum Beispiel ergibt sich eine Übereinstimmung von 88 %. Andererseits können bei Merger-Arbitrage-Fonds, Convertible-Arbitrage-Fonds und Fixed-Income-Fonds nur Übereinstimmungen von 50 % bis 60 % beobachtet werden. Diese Ergebnisse verdeutlichen, dass Hedgefonds eine ziemlich heterogene Assetklasse darstellen und nach Segmentierung durch eine SOM einzelne Gruppen kaum Ähnlichkeiten mit ihrer Selbsteinstufung aufweisen, sich zum Teil deutlich in verschiedenen Renditemustern unterscheiden. Seite 20 von 56

21 3.4 Ein mathematisches Beispiel Zur Vereinfachung der mathematischen Darstellung wird eine SOM mit vier Neuronen r 1 bis r 4 und Eingabevektoren χ i mit zwei Komponenten ξ 1 und ξ 2 verwendet. Die Gewichtsvektoren m i sind die acht Verbindungen zwischen den beiden Komponenten des Eingabevektors χ und den Neuronen r i mit ihren Gewichtsvektoren. Abbildung 7: Struktur einer SOM bei zwei Eingabevektoren und vier Neuronen Quelle: In Anlehnung an Sauerburger, H. (1991) S. 26. Anhand des SOM-Algorithmus werden zuerst die Gewichtsvektoren m i aller r 1 bis r 4 mit Zufallszahlen initialisiert. Tabelle 1: Initialisierung der Gewichtsvektoren m i der Neuronen r 1 bis r 4 Neuron r 1 r 2 r 3 r 4 Gewichtsvektor m i1 0,51 0,07 0,17 0,67 m i2 0,58 0,25 0,88 0,41 Grafisch können die Eingabevektoren als Richtungsvektoren verstanden werden, die sich in der nachfolgenden Grafik veranschaulichen lassen, wobei in der Grafik x1 und x2 für die zwei Komponenten ξ 1 und ξ 1 stehen. Seite 21 von 56

22 Abbildung 8: Initialisierung der Gewichtsvektoren 1,00 0,80 r 3 x2 0,60 r 1 Initialisierung 0,40 r 4 0,20 r 2 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 x1 Als Test werden der SOM zehn Eingangsvektoren präsentiert. Zuerst mit (1;0) und danach mit (0;1), später in abwechselnder Reihenfolge. Im ersten Schritt wird der SOM der erste Eingangsvektor mit (1;0) vorgelegt. Daraufhin wird von der SOM gemäß (7) das Erregungszentrum ermittelt, indem die euklidische Distanz zwischen präsentiertem Eingangsvektor und initialisierten Gewichtsvektoren errechnet wird. Im Falle von r 1 wäre dies: D 2 2 ( 1 0,51) + ( 0 0,58) 0, =. Für die anderen r i zeigt die Tabelle die Ergebnisse. Tabelle 2: Euklidische Distanzen bei erstem Eingabevektor mit (1;0) Neuron r 1 r 2 r 3 r 4 euklidische Distanz 0,7593 0,9630 1,2097 0,6760 Das Neuron mit der geringsten euklidischen Distanz seines Gewichtsvektors zum ersten Eingangsvektor mit (1;0) ist das Neuron r 4 mit seinem Gewichtsvektor (0,67;0,41). Die euklidische Distanz beträgt 0,6760. Im vierten Schritt werden die Gewichtsvektoren gemäß (8) und (9) in Richtung des präsentierten Eingangsvektors geändert. Dabei wird sowohl die Lernrate α (t) wie auch der Parameter σ (t) für den Radius der Nachbarschaftsfunktion auf konstant 0,5 festgesetzt. Für das Neuron r 1 würde sich folgende spezielle Nachbarschaftsfunktion gemäß (9) ergeben: 2 ( ) rc ri h = 0,5 exp ci t 0,5 Für c i r r ergibt sich im Falle von r 1 ( 2 1) + ( 2 1) 1, In der Exponentialfunktion errechnet sich damit exp ( -4 ) 0,0183. Für die gesamte Nachbarschaftsfunktion des Neurons r 1 ergibt sich damit ein Wert von 0,0092. Für die anderen r i zeigt folgende Tabelle die Ergebnisse. 2 2 Seite 22 von 56

23 Tabelle 3: Nachbarschaftsfunktion bei erstem Eingabevektor mit (1;0) Neuron r 1 r 2 r 3 r 4 Wert von h ci 0,0092 0,0677 0,0677 0,5 Für das Neuron r 1 ändert sich beispielhaft sein Gewichtsvektor in Bezug auf ξ 1 nun auf m t + 1 = 0,51+ 0, ,1 0, und in Bezug auf ξ 2 auf ( ) [ ] 5145 ( t + 1) = 0,58 + 0,0092[ 1 0,1] 0, m. 12 Für die anderen r i zeigt folgende Tabelle die Ergebnisse. Tabelle 4: Werte der Gewichtsvektoren nach der ersten Lernphase Neuron r 1 r 2 r 3 r 4 Gewichtsvektor m i1 0,5145 0,1330 0,2262 0,8350 m i2 0,5747 0,2331 0,8204 0,2050 Abbildung 9: Veränderung der Gewichtsvektoren nach der ersten Lernphase 1,00 0,80 x2 0,60 0,40 Initialisierung neue Gewichtsvektoren Eingangsvektor 0,20 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 x1 In Abbildung 9 sind die Ergebnisse des ersten Lernschritts dargestellt. Die blauen Rauten stellen dabei die Gewichtsvektoren nach der zufälligen Initialisierung dar. Die veränderten Gewichtsvektoren nach dem ersten Lernschritt bilden die grauen Quadrate ab und das grüne Dreieck visualisiert den ersten Eingabevektor (1;0). Beim folgenden zweiten Lernschritt wird auf die Darstellung der Formeln verzichtet und vielmehr nur in verkürzter Form auf die Schritte eingegangen. Die Ergebnisse werden jedoch weiterhin in Tabellenform wiedergeben. Seite 23 von 56

24 Der Self-Organizing Map wird als zweites der Eingangsvektor (0;1) präsentiert. Diesmal allerdings nicht gegenüber den Gewichtsvektoren der Initialisierung, sondern nach der durchgeführten ersten Lernphase. Es ergeben sich daher für die vier Vektoren r i folgende euklidische Distanzen, die in der folgenden Tabelle dargestellt sind. Tabelle 5: Euklidische Distanzen bei zweitem Eingabevektor mit (0;1) Neuron r 1 r 2 r 3 r 4 euklidische Distanz 0,6675 0,7783 0,2888 1,1529 Das Erregungszentrum liegt nun beim Neuron r 3, die entsprechende Nachbarschaftsfunktion lautet für alle r i. Tabelle 6: Nachbarschaftsfunktion bei zweitem Eingabevektor mit (0;1) Neuron r 1 r 2 r 3 r 4 Wert von h ci 0,0677 0,0092 0,5 0,0677 Die angepassten Gewichtsvektoren der Neuronen nach der zweiten Lernphase sind in der Tabelle 7 aufgelistet. Tabelle 7: Werte der Gewichtsvektoren nach der zweiten Lernphase Neuron r 1 r 2 r 3 r 4 Gewichtsvektor m i1 0,4797 0,1318 0,1131 0,7785 m i2 0,6035 0,2401 0,9102 0,2588 Die Ergebnisse des zweiten Lernschritts sind in Abbildung 10 dargestellt. Die blauen Rauten stellen nunmehr die Gewichtsvektoren nach der ersten Lernphase dar. Die veränderten Gewichtsvektoren nach dem zweiten Lernschritt bilden die grauen Quadrate ab und das grüne Dreieck visualisiert den zweiten Eingabevektor (0;1). Seite 24 von 56

25 Abbildung 10:Veränderung der Gewichtsvektoren nach der zweiten Lernphase 1,00 0,80 x2 0,60 0,40 1. Lernphase neue Gewichtsvektoren Eingangsvektor 0,20 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 x1 Nach den ersten zehn Lernphasen mit jeweils abwechselnden Eingangsvektoren, (1;0) und (0;1), haben sich die Neuronen r 3 und r 4 deutlich in Richtung der Eingangsvektoren bewegt. Die Neuronen r 1 und r 2 liegen jeweils noch weiter von den präsentierten Eingabevektoren entfernt, haben ihre Gewichtsvektoren aber bereits in Richtung der Erregungszentren bewegt. Abbildung 11 visualisiert die initialisierten Gewichtsvektoren sowie die Gewichtsvektoren nach 10 Lernphasen. Abbildung 11:Veränderung der Gewichtsvektoren nach zehn Lernphasen 1,00 r 3 0,80 x2 0,60 0,40 r 1 Initialisierung Gewichtsvektoren nach 10. Lernphase Eingangsvektoren 0,20 r 2 r 4 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 x1 Seite 25 von 56

26 4 Bewertung von Investmentfonds mittels Self-Organizing Maps Unter Zuhilfenahme der Software Viscovery 34 Profiler von eudaptics software gmbh, Wien, wird im Folgenden eine Segmentierung von Investmentfonds durchgeführt. Dabei liegt der Untersuchung die gesamte InvestBase Datenbank von Feri TRUST Deutschland zugrunde, die alle in Deutschland zugelassenen Aktien- und Rentenfonds enthält. Die Fragestellung der Untersuchung ist, ob es bereits optimal zusammengestellte Gruppen von Investmentfonds gibt oder sich unter den untersuchten Investmentfonds neue Gruppen mit ähnlichen Merkmalen segmentieren lassen. Dabei wird mit einer Auswahl weltweit investierender Aktienfonds begonnen, um anschließend eine segmentierte Gruppe und einen ausgewählten Fondsmanager genauer zu untersuchen. Um mit Modellen valide und qualitativ hochwertige Aussagen treffen zu können, müssen jedoch zuvor einige kritische Voraussetzungen erfüllt sein, die in den beiden folgenden Kapiteln behandelt werden. Dies sind sowohl Anforderungen an die Qualität der Datenbasis, als auch an das Modell der Datenanalyse selbst. 4.1 Datenanalyse mittels Viscovery Profiler Die Datenanalyse wird grundsätzlich als Verarbeitung von Informationen zum Zwecke der Interpretation der Zusammenhänge verstanden. Dabei sollen Muster, Zusammenhänge und Tendenzen aus einer beliebig großen Menge von Daten ermittelt werden. In ihrer Ausprägung kann die Datenanalyse von reiner Datenaufbereitung bis hin zu Datenmodellierung reichen. Nach Raffée 35 sind folgende Anforderungen an ein Datenanalysemodell aus methodischer Sicht Voraussetzungen für brauchbare Aussagen. 1. Prüfbarkeit: Es wird zwischen empirischer und logischer Prüfbarkeit unterschieden. Modelle sind dann logisch prüfbar, wenn sie durch logische Deduktion auf bewährte Modelle zurückgeführt werden können. Demgegenüber ist ein Modell empirisch prüfbar, wenn es aus rein logischer Betrachtung unter bestimmten Voraussetzungen falsche Aussagen trifft. Nur wenn bestimmte Voraussetzungen ausgeschlossen sind, ist es prüfbar. 2. Berechenbarkeit: Die Berechenbarkeit eines Modells ist dann gegeben, wenn alle Bestandteile quantifiziert dargestellt werden können. Dazu gehören auch nominale Größen, die exakt trennbar sind, wie z. B. die Zugehörigkeit zu einer Gruppe, die 34 Alle Angaben über die Viscovery -Software stammen aus Publikationen der eudaptics software gmbh, Wien. 35 Vgl. Raffée, H. (1985), S. 154 f.. Seite 26 von 56

27 mit dem Wert 1 und die Nicht-Zugehörigkeit mit dem Wert 0 ausgedrückt werden kann. 3. Vollständigkeit: Wenn nach dem aktuellen Wissensstand ein Modell alle wichtigen Einflüsse und Nebenbedingungen berücksichtigt, ist es vollständig. 4. Relevanz: Ein Modell ist um so relevanter, je mehr es dem Zweck des Nutzers dienlich ist. 5. Zuverlässigkeit: Sobald das Ergebnis des Modells frei von Zufallseinflüssen ist, kann von Zuverlässigkeit gesprochen werden. 6. Bewährtheit: Ein Modell gilt als bewährt, wenn es sich empirisch bestätigt hat und daher Gültigkeit angenommen hat. Zu berücksichtigen ist jedoch, dass Theorien nach Popper 36 immer nur falsifiziert, aber nicht verifiziert werden können. Die in dieser Arbeit verwendete Datenanalysemethode ist die Software Viscovery Profiler von eudaptics, mit der Segmentierungen und Verhaltensanalysen erstellt werden können. Der in der Viscovery Profiler Technologie durch vielfache Verfeinerung deutlich optimierte Kohonen-Algorithmus bietet im Vergleich eine Vielzahl von Fähigkeiten für einen SOM-Algorithmus. Viscovery Profiler ermöglicht es, mehr als 500 neue Daten pro Sekunde zu segmentieren, weil Daten extrem schnell in der SOM dargestellt werden können. Die Software segmentiert somit die Daten einer Ursprungsmenge in homogene Gruppen mit einer sehr hohen Geschwindigkeit. Die Ergebnisse der von Viscovery Profiler durchgeführten Segmentierung werden in einer zweidimensionale hexagonale SOM, wie es Kohonen vorschlug, dargestellt. Obwohl eine SOM recht klein ist, repräsentiert sie dennoch alle wichtigen Daten einer riesigen zugrunde liegenden Datenmenge. Wie oben erwähnt, liegt diesem SOM- Algorithmus eine eigene Segmentierung und Komprimierung zugrunde. Sobald sich die Neuronen der SOM der Eingangsdaten angepasst haben, kann aus der Self-Organizing Map das Nachbarschaftsverhältnis der Eingangsdaten abgelesen werden. Folglich ist das Ergebnis für den Betrachter einfach visuell zu erfassen und kann nicht-lineare Beziehungen verständlich darstellen. Des Weitern kann die erstellte SOM unter Anwendung anderer Techniken benutzt werden. Dazu gehören z. B. die Auswertung der Abhängigkeiten eines einzelnen Attributes zu einem anderen. Ebenso kann untersucht werden, wie sich neue Daten in eine bestehende SOM einfügen. Möglich ist auch die reine Abfrage von Statistiken einzelner Gruppen. Weil der SOM-Algorithmus der Viscovery -Software teilweise erheblich von dem in Kapitel 3.2 eingeführten Algorithmus abweicht, wird im Folgenden die Vorgehensweise von Viscovery Profiler näher beschreiben. 36 Vgl. Popper, K. (1994), S. 14 f.. Seite 27 von 56

28 Viscovery Profiler beginnt mit einigen zufällig ausgewählten, sich aber innerhalb des Datenraumes befindlichen Neuronen, die durch das Training mit den Eingangsvektoren aus dem ursprünglichen Datenraum erregt werden. Das am nächsten liegende Neuron wird als Erregungszentrum festgelegt und seine Nachbarn gemäß einer Nachbarschaftsfunktion ebenfalls erregt. Da der Trainingsprozess sehr zeitaufwendig ist, beginnt Viscovery mit einer kleinen Anzahl von Neuronen auf einer relativ kleinen Karte. Der Ursprungs-SOM werden nun solange Neuronen hinzugefügt, bis die gewünschte Anzahl von Neuronen in der endgültigen SOM erreicht ist. Durch die vielen Eingangsvektoren, die der SOM auch wiederholt präsentiert werden, muss die Landkarte flexibel sein. Bis zum Erreichen einer gleichgewichtigen Gestaltung der SOM, bei der sich durch erneutes Präsentieren von Eingangsvektoren die Karte nicht mehr abändert, unterliegt die SOM starken Schwankungen. Da die SOM zu Beginn des Trainings nur einen kleinen Teil des Ursprungsdatenraums abdeckt, ist sie damit noch recht anfällig für lokale Besonderheiten des Ursprungsraums. Bis hin zur vollständigen gleichgewichtigen Gestaltung der SOM ist dieses Problem allerdings zu vernachlässigen. Ein weiterer wichtiger Schritt des Viscovery Algorithmus ist das Erkennen des Siegerneurons. Errechnet wird dies auch bei Viscovery über die euklidische Entfernung. Im Gegensatz zum klassischen Kohonen-Algorithmus, der bei jedem Schritt den Gewichtsvektor um die errechnete Distanz anpasst, verändert Viscovery erst nach Errechnung aller neuen Gewichtsvektoren die Gewichtsvektoren der SOM. Der von Viscovery benutzte Algorithmus des einmaligen Aktualisierens verwendet zudem nicht den exakt nach Kohonen errechneten Wert, sondern den Mittelwert aus den Gewichtsvektoren des Neurons und seiner Nachbarn. Dabei wird anhand der Nachbarschaftsfunktion der Radius und der Umfang der Einflussnahme ermittelt. Entscheidend ist hierbei die Entfernung des Siegerneurons vom zu beeinflussenden Nachbarneuron. Gemäß der Gaußfunktion werden dann zu den Nachbarneuronen Gewichte entsprechend ihrer Entfernung zum Siegerneuron ermittelt. Der Radius der Nachbarschaftsfunktion kann sich theoretisch auf das gesamte neuronale Netz ausstrecken, doch müssten dann die Gewichte zwangsläufig am Rand der Karte gegen 0 streben und somit genau soviel Einfluss besitzen, als würden sie nicht berücksichtigt werden. In diesem Fall wird allerdings der Radius angenommen, an dessen Rand die Gaußfunktion vernachlässigbar klein geworden ist und der SOM daher kaum Informationen verloren gehen. In der Trainingsphase besitzt die Karte, wie oben bereits erwähnt, nur wenige Neuronen im Vergleich zur endgültigen gleichgewichtigen SOM. Im Verlauf des Trainings wächst die Karte jedoch bis zur benötigten bzw. gewünschten Größe an. Das Verhältnis der Startkarte zur endgültigen Karte wird anhand der ersten beiden Hauptkomponenten der Ursprungs- Seite 28 von 56

29 daten berechnet. Eine Minimalgröße setzt Viscovery als Systemvoraussetzung voraus. Während des Wachstums der Karte errechnen sich die Neuronen der neuen gewachsenen Karte als Interpolation aus drei Neuronen der Vorgängerkarte. Jede Karte wird mit einer durch das Wachstum bestimmten Anzahl von Aktualisierungen trainiert. Dabei nimmt der oben beschriebene Radius, der das Neuron beeinflusst, stetig ab. So wächst zwar die Karte, doch durch den abnehmenden Radius verhält sich die SOM sehr ähnlich zu einer SOM gemäß des Kohonen-Algorithmus mit einem Radius von 0,5. Das Intensive des Kohonen-Algorithmus ist das Errechnen des Erregungszentrums für jeden Eingangsvektor. Dabei liegt am nächsten, alle Gewichtsvektoren der Neuronen mit jedem präsentierten Eingangsvektor zu vergleichen. Dies ist auch so in Kapitel 3.4 geschehen. Dieses Verfahren ist durch den hohen Rechenaufwand jedoch sehr ineffizient. Viscovery Profiler benutzt, um dieses Problem zu umgehen, schnelle heuristische Methoden. Da die Veränderung des Gewichtsvektors eines einzelnen Neurons in einem Trainingsschritt von Karte (t) zu Karte (t+1) selten groß ausfällt, kann davon ausgegangen werden, dass der Gewichtsvektoren in der Nähe des alten liegt. Viscovery Profiler merkt sich daher die Lage des Neurons und startet im nächsten Trainingsschritt an der selben Stelle in der neuen Karte die Suche nach dem Gewichtsvektor, der am besten zum präsentierten Eingangsvektor passt. Dabei wird auch wieder die Nachbarschaft abgesucht, bis ein neues Erregungszentrum gefunden ist. Ist dieses Erregungszentrum nicht identisch mit dem alten, so wird die Umgebung weiter abgesucht bis evtl. ein besseres Erregungszentrum gefunden werden konnte. Dieser Prozess wird solange wiederholt, bis kein besseres Erregungszentrum gefunden werden kann. Das gefundene Neuron wird dann das globale Erregungszentrum für den präsentierten Eingangsvektor. Die endgültige SOM besteht aus eingefärbten Neuronen. Sie sind gemäß ihres Grades an Erregung von rot (hohe Erregung) bis blau (geringe Erregung) gefärbt. So entsteht aus dem Ursprungsdatenraum eine abstrahierte farbige Karte, auf der man aufgrund der Färbung zusammenhängende Flächen von Neuronen einfach identifizieren kann. Mit Viscovery Profiler können zudem die Gewichtsvektoren systematisch analysiert werden. Dabei werden Gruppen von Neuronen mit ähnlichen Gewichtsvektoren betrachtet. Darüber hinaus kann jede einzelne Komponente eines Gewichtsvektors dargestellt werden und mit anderen Komponenten verglichen werden. Damit können nicht-lineare Zusammenhänge herausgestellt werden. Seite 29 von 56

30 4.2 Daten Nach Wiedmann und Buckler 37 sind Anforderungen an die Datenbasis zum einen die Datenqualität und zum anderen die Datenmenge. Die Qualität von Daten wird durch deren Vollständigkeit, deren Messgenauigkeit und durch deren Skalenniveau bestimmt. Um Probleme bei der Vollständigkeit auszuschließen, bedarf es vor Beginn einer Auswertung einer Kontrolle, ob alle benutzten Daten vollständig vorliegen. Das Kriterium der Messgenauigkeit muss besonders bei experimentellen Datenerhebungen berücksichtigt werden. Besonders bei Daten aus Statistiken ist die Messgenauigkeit nicht mehr zu prüfen und muss daher als erfüllt angesehen werden. Arten von Skalierungen sind nominale, ordinale und metrische Skalierung, wobei die metrische Skalierung das höchste Niveau besitzt. Die metrische Skalierung besteht aus einem kontinuierlichen Bereich und besitzt daher mehr Informationen zur Unterscheidung von Merkmalsausprägungen als die anderen Skalierungen. Damit ordinale und nominale Daten in einem mathematischen Verfahren benutzt werden können, müssen sie codiert werden. Dabei werden sie bestimmten Zahlenwerten zugeordnet, um nicht innerhalb des Modells unterschiedliche Gewichtungen aufgrund ihres Niveaus auszulösen. Die Datenmenge wird durch die Anzahl der Variablen und die Anzahl verschiedener Merkmalsausprägungen bestimmt. Zudem besteht ein positiver Zusammenhang zwischen der Komplexität des gesuchten Zusammenhangs und der Menge der benötigten Daten. Die vorliegende Arbeit stützt sich auf Daten aus der InvestBase Datenbank von Feri TRUST Deutschland zum Stichtag 31. August 2005, die in Deutschland zugelassene Investmentfonds beinhaltet. Dabei werden zu jedem Investmentfonds eine Vielzahl von Charakteristika wie Assetklasse, anbietende Kapitalanlagegesellschaft, Volumen, Kurs, Währung, Feri TRUST Rating, kennzahlen, Risikokennzahlen und Informationen über die Gebührenstruktur sowie weitere Merkmale zur Verfügung stellt. Der Untersuchung liegen im Detail folgende Merkmale von Investmentfonds zugrunde. Abbildung 12:Dimensionen und Merkmale der untersuchten Fonds Nummer Dimension Merkmal Laufzeit des Fonds Alter des Fonds in Jahren Größe Volumen des Fonds in Mio. Euro 1 Jahr 3 Jahre p.a. 5 Jahre p.a. 37 Vgl. Wiedmann, K.-P./Buckler, F. (2003), S. 51 und S. 71. Seite 30 von 56