Wiederholungsaufgaben Klasse 10

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Bernd Weiner
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1 Wiederholungsaufgaben Klasse 10 (Lineare und quadratische Funktionen / Sinus, Kosinus, Tangens und Anwendungen) 1. In welchem Punkt schneiden sich zwei Geraden, wenn eine Gerade g durch die Punkte A(1 4) und B(5-4) geht und die andere Gerade h die Gleichung y 3x 14 erfüllt (zeichnerisch und rechnerisch lösen)? Wie lautet die Gleichung der zu h parallelen Geraden k, die durch den Punkt C(-3 1) verläuft?. Ein Fußgänger legt pro 1 Sekunde 1,5 m zurück. (a) Wie lautet die Funktion, die den zurückgelegten Weg y (in m) in Abhängigkeit (b) (c) von der Zeit x (in s) beschreibt? Welchen Weg legt der Fußgänger in einer Stunde zurück? Wie viele Sekunden benötigt er für 10 km? 3. Eine Flugbahn eines geworfenen Körpers wird durch die Funktionsgleichung y f (x) ax + 3x beschrieben. Hierbei ist die Flughöhe y abhängig von der Entfernung x vom Abwurfort. Die Wurfweite beträgt 30 m. (a) Zu bestimmen ist der Wert von a. (b) Die Punkte A(5?), B(10?), C(? 3) und D(? 18) liegen auf der Parabel. Zu berechnen sind die fehlenden Koordinaten. (c) Wie groß ist die maximale Wurfhöhe? (d) Wie weit ist der Körper geflogen, wenn er beim Fallen eine Höhe von 10 m erreicht hat? 4. Ein schräg geworfener Körper bewegt sich auf einer Parabelbahn mit der Gleichung g y x + x v mit den Konstanten g 10 ms - und v 0 ms -. (a) Zu zeichnen ist die Bahnkurve. (b) Wie sind die Koordinaten des höchsten Punktes? (c) Nach wie vielen Metern berührt der Körper wieder den Erdboden? - 1 -

2 5. Für welche reellen Zahlen q hat die Funktion y x + 6x + q keine Nullstellen? 6. Die folgende Tabelle ist zu ergänzen. Funktion Scheitelpunkt 1 ( x 3,4) + 1 x f ( x) +,5 x 3 + x x 3 + x Mono- tonie Werte- bereich Symme- trieachse Null- stellen 7. Man berechne die fehlenden Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ABC, wobei der rechte Winkel jeweils bei C liegt. (a) a 10 m, α 41 (b) b 39, cm, c 56, cm (c) b, 53 cm, c 3, 88 cm - -

3 8. Welchen Flächeninhalt hat ein Parallelogramm mit den Seitenlängen a 1 m und b 7,5 m und dem eingeschlossenen Winkel β 15? 9. Von einem Walmdach sind gegeben: a 16 m, b 5m, k 10 m und h 5m. (a) Wie groß ist der Winkel α, den eine der großen Dachflächen mit dem Dachboden einschließt? (b) Wie groß ist der Winkel β, den eine der kleinen Dachflächen mit dem Dachboden einschließt? (c) Wie groß ist der Winkel γ, den eine Dachkante (z.b. l ) mit dem Dachboden einschließt? 10. Der Förster steht zwischen zwei Bäumen, die 6,5 m voneinander entfernt sind. Der Förster (Augenhöhe 1,70 m) sieht die Spitze des einen Baumes, der 6,3 m hoch ist, unter einem Winkel von 39. Die Spitze des anderen Baumes sieht er unter einem Winkel von 47. Wie hoch ist der zweite Baum? 11. Um die Höhe eines Gebäudes zu bestimmen, hat Herr Schmidt auf dem First eine 5 m lange Latte (senkrecht nach oben) aufgestellt. Nun steht er mit einer Augenhöhe von 1,68 m vor dem Haus und sieht die Spitze der Latte unter einem Winkel von 39,65 und den Fuß der Latte unter einem Winkel von 30,5. Wie hoch ist das Haus? 1. Ein Quader hat die Kantenlängen a 8 cm, b 4 cm und c 5 cm. Berechne die Winkel α und β, die die Raumdiagonale D mit den Kanten c und a bildet! 13. Von einem Dreieck sind gegeben: b 4 cm, α 70 und β 35. Zu berechnen ist die Seite a

4 14. Von einem Dreieck sind gegeben: b 3, 5 cm, c 7 cm und α 40. Zu berechnen ist die Seite a. 15. Von einem Dreieck sind gegeben: a 8 cm, α 65 und γ 80. Zu berechnen ist die Seite c. 16. Von einem Dreieck sind gegeben: a 5 cm, b cm und γ 80. Zu berechnen ist die Seite c. 17. Von einem Dreieck sind gegeben: a 4 cm, c 5, 5 cm und β 38. Zu berechnen sind die Seite b und der Winkel α. 18. Von einem Dreieck sind gegeben: a 6 cm, b 4 cm und α 4. Zu berechnen sind die Seite c und der Winkel β. 19. Zu berechnen ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten a 4 cm und c 6 cm und dem Winkel β Gesucht ist der Winkel zwischen den Raumdiagonalen eines Quaders mit den Kantenlängen 6 cm, 5 cm und 3 cm

5 Lösungen Funktionen/Trigonometrie 1. lineare Funktionen: ( 4) 4 8 g: y x + 6 mit m g und n g 4 ( ) h: y 3x 14 und k: y 3 x + 10 mit m m 3 (wegen k h) und n k 1 3 ( 3) 10 k h Schnittpunkt von g und h ( g h ): x + 6 3x 14 liefert mit dem Zwischenschritt 5x 0 die Schnittstelle x S 4 und den passenden y-wert mit 0 5 y S(4 -) S. Wertetabelle (lineare Funktion) Zeit x (in s) Weg y (in m) 0 1,5 3 4,5 6 (a) Funktion: y 1, 5x (b) Weg in x 1 h 60 min 3600 s: y 1, (m) (c) Zeit für y 10 km m: ,5 x x 6666, 6 (s) 1,5 3. quadratische Funktion: y f (x) ax 3x (a) mit den Nullstellen x 0 (Abwurf) und x 30 (Wurfweite) ,1 ( y 0,1x + 3x ) (b) A(5 1,5), B(10 0), C(8,96 3), C(1,04 3), D(1,71 18), D(8,9 18) (c) Scheitelpunkt: S(15,5) 15,5 (d) Wurfweite in einer Höhe von 10 m im Fallen (größerer x-wert): 10 0,1x 3x 6,18 (kleiner Wert (im Steigen): 3,8 ) 4. Parabelglg.: + (a) Skizze: 0 y (b) Scheitelpunkt: S(0 10) (c) Wurfweite (größere Nullstelle): x - 5 -

6 5. Lösungsformel: ± Diskriminante: <0 (keine Nullstellen) > 9 6. Funktion 1 ( x 3,4) + 1 f x ( x) +,5 x 3 + x x 3 + x Scheitelpunkt S(3,4 1) S(0,5) S(-1-4) S(3 3) Monotonie fallend: steigend: x < 3,4 x > 3,4 fallend: steigend: x > 0 x < 0 fallend: steigend: x < 3,4 x > 3,4 fallend: steigend: x < 3,4 x > 3,4 Wertebereich Symmetrieachse x 3,4 x 0 x -1 x 3 Nullstellen keine 0,7, rechtwinkliges Dreieck (90 ): (a) , 138,04, 18,91 (b) (c) 56, 39, 40,7, arcsin,, 45,77, 90 45,77 44,3 3,88,53,94, arcsin,, 40,70, 90 40,70 49,30 8. Parallelogramm: 1 7,5 sin15 73,7 9.(a) (b) (c) arctan, arctan3,00 arctan arctan 33,69,, s... Kathete des Dreiecks mit h und l 0,5 +0,5 8 +7,5 10,97 arctan arctan 4,50, 10. Entfernung vom 1. Baum:,, 30,38-6 -

7 Entfernung vom. Baum: 6,5 6,5 30,383,1 Höhe des. Baums: h 3,1 tan47 +1,734,44+1,736, Haushöhe... h, Abstand vom Haus... s Ansatz:,,,, h,,,,,, 1. Diagonale der Seitenfläche aus b und c: Raumdiagonale: e,arccos arccos 38,67 e,arccos arccos 60,79 13, Sinussatz: 6, Kosinussatz: + cos 3,5 +7 3,5 7 cos40 4, Sinussatz: 8, Kosinussatz: + cos +5 5 cos80 5, Kosinussatz: + cos 4 +5,5 4 5,5 cos38 3,40 Sinussatz: 18. Sinussatz:, arcsin ,49 111,51 Sinussatz:,, 46,41 arcsin, 8,34 6, Flächeninhalt: sin 6 4 sin55 9,83 0. Länge der Raumdiagonalen: ,37 Es sind 3 Winkel zu suchen in den 3 Dreiecken aus jeweils den halben Raumdiagonalen und einer der 3 Quaderseiten. arccos arccos,,,, 0,65 arccos,, arccos 34,76,, arccos,, arccos 4,01,, - 7 -

8 Bemerkung: Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen ( Arkusfunktionen ) arcsin, arccos, arctan sind als Zweitbelegung auf den Tasten sin, cos, tan des Taschenrechners und dort durch die Hochzahl -1 gekennzeichnet

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