Konfidenzintervalle. Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2008/09

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Arnim Busch
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1 Konfidenzintervalle Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2008/09

2 Münzspiel Experiment 100 Münzwürfe: Stefan gewinnt bei "Kopf" Hypothesen H 0 : Stefan wird so oft gewinnen wie der andere Spieler H 1 : Stefan wird öfter gewinnen als der andere Spieler Bei welchem Ergebnis unterstellen Sie Stefan, dass er schummelt? bei 51 mal Kopf? Bei 55 mal? Bei 80 mal? Signifikanztest

3 Münzspiel Annahme, dass H 0 stimmt Berechnung der Wahrscheinlichkeit p (Irrtumswahrscheinlichkeit), dass das beobachtete Resultat oder alle weiteren Resultate, die genauso hoch oder noch weiter von der Nullhypothese abweichen, zu erhalten Vorher definiertes Signifikanzniveau, bei dem H 0 abgelehnt werden kann 5% (Signifikanzniveau von 0,05), 1% (Niveau von 0,01),

4 Signifikanz Wenn ein Effekt signifikant ist, dann ist er groß genug, dass sein Auftreten bei der Größe der getesteten Stichprobe(n) wahrscheinlich nicht zufällig ist

5 Vereinfachtes Münzexperiment (Gries 2008: 40)

6 Diskrete Verteilung (Gries 2008: 42)

7 Diskrete Verteilung (Gries 2008: 45)

8 Binomialverteilung Funktion dbinom() x: die Häufigkeit, mit der ein fragliches Ereignis auftritt s: die Anzahl an Versuchen p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Wahrscheinlichkeit, dass in drei Würfen dreimal Kopf oben liegt dbinom(3, 3, 0.5) Wahrscheinlichkeit, dass in drei Würfen ein- bis dreimal Kopf oben liegt dbinom(0:3, 3, 0.5) Kopf taucht zwei oder dreimal auf sum(dbinom(2:3, 3, 0.5))

9 Münzenexperiment 1 barplot(dbinom(0:3,3,0.5), xlab="anzahl an 'Kopf'", ylab="auftretenswahrscheinlichkeit", col="gray40", names.arg=c(0:3),ylim=c(0,0.4))

10 Münzenexperiment 2 barplot(dbinom(0:100,100,0.5), xlab="anzahl an 'Kopf'", ylab="auftretenswahrscheinlichkeit", col="gray40", names.arg=c(0:100),ylim=c(0,0.1))

11 Testen Wie wahrscheinlich ist es, bei 100 Würfen 58 mal oder öfter Kopf zu erhalten? sum(dbinom(58:100, 100, 0.5)) Wie wahrscheinlich ist es, bei 100 Würfen 59 mal oder öfter Kopf zu erhalten? sum(dbinom(59:100, 100, 0.5))

12 Stetige Verteilungen und zugehörige Funktion, die ermittelt, welcher Wert wie viel Prozent der Fläche unter der Kurve der entsprechenden Funktion, welche als 1 definiert ist, abschneidet. Standardnormalverteilung mit z-werten qnorm() t-verteilung: qt() F-Verteilung: qf() Chi-Quadrat-Verteilung (χ 2 ): chisq()

13 Normalverteilung Bsp: IQ-Verteilung, Mean=100, SD=

14 Normalverteilung Eigenschaften unimodal symmetrisch zwischen Mittelwert µ -Standardabweichung sd und Mittelwert+Standardabweichung liegen ca. 2/3 aller Fälle (68,26%) zwischen µ±2*sd befinden sich ca. 95% aller Fälle (95,44%)

15 Andere Verteilungen "linkssteil"

16 Bimodale Verteilung

17 Varianz und Standardabweichung von Stichproben Varianz Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert µ der Stichprobe Stichproben vs. Populationsvarianz: Normalisierungsfaktor Standardabweichung Wurzel der Varianz varianz _ Stichprobe = sd _ Stichprobe = Bemerke: sd in R berechnet die Standardabweichung auf der Basis der Stichprobenvarianz n # i=1 n # i=1 (x i " µ) 2 n "1 (x i " µ) 2 n "

18 Standardfehler definiert als die Standardabweichungen der Mittelwerte von gleich großen Stichproben aus einer Population/Grundgesamtheit Abschätzung des Standardfehlers einer Stichprobe (Stichprobengröße n>30, normal verteilt) SE Mittelwert = var n = sd n

19 Standardfehler der Planungspausen Einlesen von /Users/cluser/_sflwr/_inputfiles/g_data_chapters_1-5/03-1_aeh(m).txt Standardfehler vom Mittelwert AEHM<-read.table(file.choose(), header=t, sep="\t", comment.char="", quote="") attach(aehm) str(aehm) mean(laenge) sqrt(var(laenge)/length(laenge)) # oder sd(laenge)/sqrt(length(laenge))

20 Weitere Standardfehler Standardfehler von Prozentwerten SE Pr ozentwerte = p " (1# p) n Standardfehler von Mittelwertsdifferenzen SE Mittelwertsdifferenz = SE MittelwertGruppr1 2 + SE MittelwertGruppe

21 Konfidenzintervalle Kann man gegebene Stichprobenergebnisse auf die Grundgesamtheit/Population verallgemeinern? Nur unter Angabe von Konfidenzintervallen!

22 Konfidenzintervalle arithmethischer Mittelwerte Ziel Ermittlung der Grenzen, innerhalb derer sich der wahre Populationsmittelpunkt mit hoher Wahrscheinlichkeit p befindet Konfidenzintervall CI Wahrscheinlichkeit p = Konfidenzkoeffizient definiert als 1-Signifikanzniveau bei Signifikanzniveau 0,05 Konfidenzkoeffizint: 1-0,05 = 0,

23 Konfidenzintervalle arithmethischer Mittelwerte Standardfehler SE Mittelwert : se<-sqrt(var(laenge)/length(laenge)); se 95%-Konfidenzintervall Parameter t aus der t-verteilung da t-wert anhand des p-werts zu ermitteln: qt() Zweiseitiger Test (2* 2,5%) CI = x ± t " SE Freiheitsgrade df= Länge des Vektors-1 t<-qt(0.025, df=999, lower.tail=f); t Mittels des t-werts die Grenzen des Konfidenzintervalls berechnen

24 Konfidenzintervalle arithmethischer Mittelwerte Berechnung der Grenzen des Konfidenzintervalls mittels des t-werts mean(laenge)-(se*t); mean(laenge)+(se*t) Ausgabe [1] [1] Interpretation alle wahren Populationsmittelwerte, die den Stichprobenmittelwert von 915,043 mit 95%iger Wahrscheinlichkeit erzeugt haben könnte, liegen zwischen 891,34 und 938,75. die Chancen stehen 95:5, das das ermittelte Konfidenzintervall des Stichprobenmittelwerts den Populationsmittelwert tatsächlich umschließt

25 Konfidenzintervalle arithmethischer Mittelwerte R bietet für den T-Test eine Funktion an: t.test(laenge, conf.level=0.95)$conf.int Bemerkung da hier Konfindenzintervalle über Standardfehler berechnet werden, gilt, dass n>30 und die Daten normalverteilt sein sollten

26 Konfidenzintervalle relativer Häufigkeiten Ziel Ermittlung des Bereichs in der Grundgesamtheit, in den ein gegebener Prozentanteil einer Stichprobe fällt bzw. wie der Stichprobenanteil in der Grundgesamtheit aussieht Methode Ermittlung des z-werts der Standardnormalverteilung

27 Konfidenzintervalle relativer Häufigkeiten "Zu Fuß" Stichprobenanteil a = 33,2% (Anteil von Stille) Stichprobengröße n =1000 Ermittlung des Standardfehlers SE Prozentwerte se<-sqrt(0.332*( )/1000); se z bei Konfidenz von 95% z<-qnorm(0.025, lower.tail=f); z z bei Konfidenz von 99% z<-qnorm(0.005, lower.tail=f); z

28 Konfidenzintervalle relativer Häufigkeiten "Zu Fuß" (Fortstz.) Berechnung der Grenzen des Konfidenzintervalls mittels des z-werts z<-qnorm(0.025, lower.tail=f) z*se; z*se Ausgabe [1] [1] Interpretation die wahren Populationsanteile von "Stille" aller Verteilungen, bei denen mit 95%iger Wahrscheinlichkeit der Anteil 33,2% ermittelt wurde, befinden sich in einem Bereich von 30,28% und 36,12%

29 Konfidenzintervalle relativer Häufigkeiten Funktion in R: prop.test() gefundene Häufigkeit (hier 33,2%) Gesamtstichprobengröße (hier 1000) Wahrscheinlichkeit für das Konfidenzintervall (hier 0,95) prop.test(332, 1000, conf.level=0.95)$conf.int

30 Referenzen Gries, Stefan Th Statistik für Sprachwissenschaftler. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. Kapitel 1.3 und

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