Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1)

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Franka Fuchs
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Fachbereich Mathematik Algebra ud Zahletheorie Christia Curilla Grudlage der Mathematik (LPSI/LS-M1) Übugsklausur WiSe 2010/11 - C. Curilla/S. Koch/S.

1 Fachbereich Mathematik Algebra ud Zahletheorie Christia Curilla Grudlage der Mathematik (LPSI/LS-M1) Übugsklausur WiSe 2010/11 - C. Curilla/S. Koch/S. Ziegehage Liebe Studierede, im Folgede fide Sie eiige Aufgabe, die Sie zur Vorbereitug auf die Modulabschlussprüfug am Mittwoch, de 09. Februar 2011 löse sollte. Außerdem empfehle ich Ihe driged, sich de Kurztest och eimal azuschaue ud ausgewählte Präsezud Übugsaufgabe zu wiederhole. Der Umfag der Klausur wird geriger sei als der der Übugsklausur. Letztere ist zu Übugszwecke so umfagreich. Erierug: Alle wichtige ud regelmäßig aktualisierte Iformatioe zur Modulprüfug fide Sie hier: Schlimme Fehler: Hier eie Liste mit schwerwiegede Fehler, die Sie ubedigt vermeide sollte: Bei Termumformuge werde keie Äquivalezpfeile higeschriebe. Mege werde als bijektiv bezeichet. Erklärug: Bijektiv zu sei, ist eie Eigeschaft, die ur Abbilduge habe köe. Es ka also höchstes eie bijektive Abbildug zwische Mege gebe. Es wird icht klar zwische Mege ud Aussage uterschiede: Es wird häufig = mit, mit, mit, etc. verwechselt. Es wird oft icht richtig zwische = ud := uterschiede. Erklärug: Währed = das wohlbekate Gleichheitszeiche ist, wird := beutzt, um das Symbol liks vo ihm durch de Term rechts vo ihm zu defiiere. Beispiel: Wir defiiere f(x) := x 2 3. Hiermit habe wir jetzt für alle x im Defiitiosbereich festgelegt, was f(x) ist, also zum Beispiel f(1) = 2, f(2) = 1, f(5) = 22 u.s.w. We wir jetzt f(5) := schreibe, bedeutet das, dass wir f(5) als defiiere. Dies ist aber usiig, weil wir zuvor scho f(x) für alle x (ud damit auch für 5) defiiert hatte. Uiversität Hamburg Christia Curilla Geom. 332 Tel. (040)

2 Bei Iduktiosbeweise wird immer wieder vergesse, die Stelle zu beee, a der die Iduktiosvoraussetzug eigeht. Die Begriffe Widerspruchsbeweis ud Kotrapositio werde icht richtig uterschiede. Erkärug: I beide Fälle wird zwar meist versucht eie Implikatio p q zu beweise, dies macht ma aber auf uterschiedliche Art ud Weise. Bei dem Widerspruchsbeweis zeigt ma, dass die Negatio der Implikatio zu eiem logische Widerspruch führt. Die Kotrapositio higege ist q p. Weil diese logisch äquivalet zur Implikatio p q ist, ka ma auch versuche sie zu beweise. Wichtig ist aber, dass die Kotrapositio zu eier Implikatio auf keie Fall die Negatio zu dieser ist. We durch eie Variable geteilt wird, wird häufig vergesse zu schreibe, warum ma dies i der vorliegede Situatio mache darf. Es wird oft verwechselt, wa mit eie feste Zahl gemeit ist, ud wa icht. So wird z.b. häufig bei Mege der Form M := { 1 { : N} gedacht dies sei die Mege 1, 1, 1,..., } Korrekt ist aber, dass die Mege M aus alle Zahle der Form 1 besteht, also dass für JEDES N die Zahl 1 M ist (folglich ist M also eie Mege mit uedlich viele Elemete). Aders ist es zum Beispiel, we wir eie Aussage der Art sei M := {1, 2, 4, 8,..., 2 } für ei N lese. Hierbei besteht M aus edlich viele Elemete. Geauer gesagt es besteht aus -viele Elemete. Wir wisse zwar icht, welche Zahl eigetlich ist, wir müsse sie aber wie eie feste (us bekate) Zahl behadel. Häufig werde die Defiitioe vo Mege icht richtig verstade. Lese Sie sich die uterschiedliche Arte, wie ma Mege defiiere ka bitte ochmals durch. Wer keie Vorlesugsmitschrift hat, der lese bitte die erste zwei Seite des Kapitels über Mege i dem Skript vo Frau Koch. 2

3 Hausaufgabe: Die Hausaufgabe sid hier ach ihrer Relevaz für die Klausur aufgelistet. Diese Uterteilug bedeutet icht, dass weiger relevate Aufgabe icht dra komme köe. Sie sollte diese Uterteilug als Hilfestellug für die Zeitplaug Ihrer Vorbereitug asehe. sehr relevat: H1, H2, H8, H9, H12, H14, H17, H19, H23a, H24, H25, H27a-b, H28, H29, H30, H34a, H38, H42, H44, H46 relevat: H3, H4, H5, H6, H7, H10, H11, H13, H15, H18, H21, H22, H26, H27c-d, H31, H32, H34b, H35a-b, H36, H37, H39, H45, H48, H49 weiger relevat: H16, H20 1, H23b, H27e, H33, H34c-d, H35c, H40, H41, H43, H47 Nu wüsche wir Ihe viel Spaß ud Erfolg bei der Prüfugsvorbereitug! bitte wede! 1 Stelle Sie sich deoch darauf ei, dass Sie i der Klausur auch zeiche oder skizziere müsse. 3

4 Aufgabe (ÜK1) Beatworte Sie die folgede Frage. I der Klausur gibt es pro richtiger Atwort eie Pukt, pro falscher wird ei Pukt abgezoge 2. Eie Frage ka auch ubeatwortet gelasse werde, da wird kei Pukt abgezoge. wahr falsch (a) Ist M die Mege aller Buchstabe i dem Wort Aaas, so gilt M = 6. (b) P({ }). (c) {(x, y) Q 2 : x = y 2 } ist eie Fuktio. (d) Die Abbildug f : R R R R; (x, y) (xy, x + 1) ist ijektiv. (e) Die Abbildug f : R R R R; (x, y) (xy, x + 1) ist surjektiv. (f) Ist B i =]1/i, 1 + i[ für alle i N, so ist i N B i = ]0, [. (g) 3 5 ist otwedig für 3 < 5. (h) Q ist überabzählbar uedlich. (i) I eier Gruppe (A, ) ist für alle a, b, c A die Gleichug y b = a c eideutig lösbar. (ÜK2) (ÜK3) (a) Sei R := {(x, y) N 2 : x y 3} (hierbei bezeichet x y de Betrag vo x y). Fertige Sie eie Skizze der Relatio R a. (b) Utersuche Sie R (aus (a)) auf Reflexivität, Symmetrie, Atisymmetrie ud Trasitivität. (c) Zwei atürliche Zahle m ud stehe i Relatio S zueiader, falls die Zifferdarstellug vo m mit der vo bis auf die Reihefolge übereistimmt (beispielsweise gilt so (34, 43) S). Gebe Sie die Äquivalezklasse vo 1242 N bezüglich der Äquivalezrelatio S a. (a) Es sei die Abbildug f : Z Z mit f(z) = z 2 + 2z + 3 gegebe. Skizziere Sie die Mege M := {(x, f(x)) R 2 : x { 7, 6,..., 6, 7}}. 2 Ma ka aber icht weiger als 0 Pukte auf die Aufgabe bekomme. 4

5 (b) Utersuche Sie die Abbildug aus (a) auf Surjektivität ud Ijektivität: (c) Gebe Sie mit Beweis eie Abbildug g : Z Z a, so dass g bijektiv ist ud die Gleichuge g 1 ({3, 4}) = {2, 3} ud g(n) N erfüllt. (d) Gebe Sie Defiitiosbereich, Bildbereich ud Zuordugsvorschrift der Kompositio f g a, wobei Sie f wie i (a) ud g wie i (c) wähle möge. (ÜK4) Zeige Sie, dass die Mege {(x, y) Z 2 : x + y = 2} abzählbar uedlich ist. Sie dürfe N = Z beutze. (ÜK5) Beweise Sie folgede Aussage: (a) N : i=1 i3 = 2 (+1) 2 4. (b) N : i=1 (4i 1) = (c) N : 6 ( ). (d) m N : ( m : > 0). (ÜK6) Bestimme Sie die Mege (ÜK7) Gegebe sei die Mege M := { x R : } 2x x 2 < x. M := {2 2 } : N. 2 (a) Bestimme Sie mit kurzer Begrüdug if M ud mi M (b) Beweise oder widerlege Sie: sup M = 2. (ÜK8) Sei m N mit m > 1. Bestimme Sie das multiplikative Iverse zu [3] m Z/mZ für (a) m = 5 ud (b) m = 8. (c) Begrüde Sie, warum es ebefalls im Fall der Primzahl m = möglich ist ei multiplikatives Iverses zu fide. 5

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