Die Einsteinschen Feldgleichungen

Transkript

1 Die Einsteinschen Feldgleichungen 1

2 Forderungen an die Feldgleichungen 2

3 2 Forderungen an die Feldgleichungen Es ist nicht möglich die Einsteinschen Feldgleichungen strikt aus bekannten Tatsachen abzuleiten. Man kann allerdings durch einige einfache Argumente die Form der Gleichungen stark einschränken.

4 2 Forderungen an die Feldgleichungen Es ist nicht möglich die Einsteinschen Feldgleichungen strikt aus bekannten Tatsachen abzuleiten. Man kann allerdings durch einige einfache Argumente die Form der Gleichungen stark einschränken. Sie müssen Tensorgleichungen sein, denn physikalische Grundgesetze dürfen nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen.

5 2 Forderungen an die Feldgleichungen Es ist nicht möglich die Einsteinschen Feldgleichungen strikt aus bekannten Tatsachen abzuleiten. Man kann allerdings durch einige einfache Argumente die Form der Gleichungen stark einschränken. Sie müssen Tensorgleichungen sein, denn physikalische Grundgesetze dürfen nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen. Alle anderen Feldgleichungen der klassischen Physik (z.b. die Maxwellgleichungen) sind partielle Differentialgleichungen, in denen die zu bestimmende Größe maximal als zweite Ableitung vorkommt. Die höchste Ableitung tritt dabei linear auf.

6 2 Forderungen an die Feldgleichungen Es ist nicht möglich die Einsteinschen Feldgleichungen strikt aus bekannten Tatsachen abzuleiten. Man kann allerdings durch einige einfache Argumente die Form der Gleichungen stark einschränken. Sie müssen Tensorgleichungen sein, denn physikalische Grundgesetze dürfen nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen. Alle anderen Feldgleichungen der klassischen Physik (z.b. die Maxwellgleichungen) sind partielle Differentialgleichungen, in denen die zu bestimmende Größe maximal als zweite Ableitung vorkommt. Die höchste Ableitung tritt dabei linear auf. Im Grenzfall schwacher Felder und kleiner Geschwindigkeiten müssen die Gleichungen in die Poisson-Gleichung Φ = 4πGρ übergehen, denn diese ist experimentell bestätigt.

7 2 Forderungen an die Feldgleichungen Es ist nicht möglich die Einsteinschen Feldgleichungen strikt aus bekannten Tatsachen abzuleiten. Man kann allerdings durch einige einfache Argumente die Form der Gleichungen stark einschränken. Sie müssen Tensorgleichungen sein, denn physikalische Grundgesetze dürfen nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen. Alle anderen Feldgleichungen der klassischen Physik (z.b. die Maxwellgleichungen) sind partielle Differentialgleichungen, in denen die zu bestimmende Größe maximal als zweite Ableitung vorkommt. Die höchste Ableitung tritt dabei linear auf. Im Grenzfall schwacher Felder und kleiner Geschwindigkeiten müssen die Gleichungen in die Poisson-Gleichung Φ = 4πGρ übergehen, denn diese ist experimentell bestätigt. Grundlage: Spezielle Relativitätstheorie E = mc 2

8 3 Als Ausgangspunkt dient die Poissongleichung der Newton-Theorie Φ = 4Gπρ (1) wobei G die Gravitationskonstante und ρ die Massendichte ist.

9 3 Als Ausgangspunkt dient die Poissongleichung der Newton-Theorie Φ = 4Gπρ (1) wobei G die Gravitationskonstante und ρ die Massendichte ist. Die Aufgabe lautet nun die Gleichung (1) durch invariante Größen (Tensoren) zu verallgemeinern.

10 3 Als Ausgangspunkt dient die Poissongleichung der Newton-Theorie Φ = 4Gπρ (1) wobei G die Gravitationskonstante und ρ die Massendichte ist. Die Aufgabe lautet nun die Gleichung (1) durch invariante Größen (Tensoren) zu verallgemeinern. Dazu erinnern wir uns zunächst an die Elektrodynamik wo gilt: φ el = 1 ɛ 0 ρ (2) wobei hier ρ die Ladungsdichte ist.

11 3 Als Ausgangspunkt dient die Poissongleichung der Newton-Theorie Φ = 4Gπρ (1) wobei G die Gravitationskonstante und ρ die Massendichte ist. Die Aufgabe lautet nun die Gleichung (1) durch invariante Größen (Tensoren) zu verallgemeinern. Dazu erinnern wir uns zunächst an die Elektrodynamik wo gilt: φ el = 1 ɛ 0 ρ (2) wobei hier ρ die Ladungsdichte ist. Hier erkennt man schon die formale Ähnlichkeit von Gleichung (1) und (2).

12 4 Aus der kovarianten Darstellung der Maxwellgleichungen wissen wir das bei fehlender Materie T µν elek, ν = 0 (3) ist. Wobei T µν u (1/c)S elek = T «(1/c)S T em der Energie-Impuls Tensor ist, u die elektromagnetische Energiedichte, S die Energiestromdichte, und T em der Maxwellscher Spannungstensor ist. (4)

13 4 Aus der kovarianten Darstellung der Maxwellgleichungen wissen wir das bei fehlender Materie T µν elek, ν = 0 (3) ist. Wobei T µν u (1/c)S elek = T «(1/c)S T em der Energie-Impuls Tensor ist, u die elektromagnetische Energiedichte, S die Energiestromdichte, und T em der Maxwellscher Spannungstensor ist. Die Gleichung (3) drückt die Energie- und Impulsdichteerhaltung des em-felds aus. (4)

14 4 Aus der kovarianten Darstellung der Maxwellgleichungen wissen wir das bei fehlender Materie T µν elek, ν = 0 (3) ist. Wobei T µν u (1/c)S elek = T «(1/c)S T em der Energie-Impuls Tensor ist, u die elektromagnetische Energiedichte, S die Energiestromdichte, und T em der Maxwellscher Spannungstensor ist. Die Gleichung (3) drückt die Energie- und Impulsdichteerhaltung des em-felds aus. Weiter wissen wir aus der SRT, das Masse und Energie äquivalent sind E = mc 2. (4)

15 4 Aus der kovarianten Darstellung der Maxwellgleichungen wissen wir das bei fehlender Materie T µν elek, ν = 0 (3) ist. Wobei T µν u (1/c)S elek = T «(1/c)S T em der Energie-Impuls Tensor ist, u die elektromagnetische Energiedichte, S die Energiestromdichte, und T em der Maxwellscher Spannungstensor ist. Die Gleichung (3) drückt die Energie- und Impulsdichteerhaltung des em-felds aus. Weiter wissen wir aus der SRT, das Masse und Energie äquivalent sind E = mc 2. Erweitern wir nun die rechte Seite von Gleichung (1) mit c2 c2 so lautet sie nun: (4)

16 4 Aus der kovarianten Darstellung der Maxwellgleichungen wissen wir das bei fehlender Materie T µν elek, ν = 0 (3) ist. Wobei T µν u (1/c)S elek = T «(1/c)S T em der Energie-Impuls Tensor ist, u die elektromagnetische Energiedichte, S die Energiestromdichte, und T em der Maxwellscher Spannungstensor ist. Die Gleichung (3) drückt die Energie- und Impulsdichteerhaltung des em-felds aus. Weiter wissen wir aus der SRT, das Masse und Energie äquivalent sind E = mc 2. Erweitern wir nun die rechte Seite von Gleichung (1) mit c2 c2 so lautet sie nun: (4) Φ = 4Gπ c 2 ρc 2 (5)

17 5 Wie man sieht hat der Ausdruck ρc 2 die Einheit einer Energiedichte.

18 5 Wie man sieht hat der Ausdruck ρc 2 die Einheit einer Energiedichte. Der in der Mechanik in analoger Weise z.b. für Systeme von Punktmassen oder Flüssigkeiten eingeführte Energie-Impuls-Tensor T µν besitzt ebenfalls die Eigenschaft, daß seine Divergenzfreiheit die Energie- und mech Impulserhaltung für das mechanische System ohne äußere Kräfte ergibt. Dieser hat die folgende Gestalt: T µν u mech = cπ cπ T S «(6) wobei u = c 2 ρ die Energiedichte, π die Impulsdichte ist, und T S der Spannungstensor ist.

19 5 Wie man sieht hat der Ausdruck ρc 2 die Einheit einer Energiedichte. Der in der Mechanik in analoger Weise z.b. für Systeme von Punktmassen oder Flüssigkeiten eingeführte Energie-Impuls-Tensor T µν besitzt ebenfalls die Eigenschaft, daß seine Divergenzfreiheit die Energie- und mech Impulserhaltung für das mechanische System ohne äußere Kräfte ergibt. Dieser hat die folgende Gestalt: T µν u mech = cπ cπ T S «(6) wobei u = c 2 ρ die Energiedichte, π die Impulsdichte ist, und T S der Spannungstensor ist. Aus der Forderung, das jede Form von Energiedichte als Quelle des Gravitationsfeldes anzusehen ist, und mit T µν = T µν elek + T µν mech (7) ersetzt man die Skalare Massendichte(Energiedichte) von (1) durch den Energie-Impuls-Tensor d.h: 4πGρ κt µν mit κɛr = const. (8)

20 6 Zusammenfassend bedeutet das: T µν : Quelle des Gravitationsfeldes: umfasst jede Form von Energie außer der Enegie des Gravitationsfeldes

21 6 Zusammenfassend bedeutet das: T µν : Quelle des Gravitationsfeldes: umfasst jede Form von Energie außer der Enegie des Gravitationsfeldes Sind zwischen dem mechanischen System und dem elektromagnetischen Feld Wechselwirkungen vorhanden, etwa dadurch, daß die Teilchen geladen sind, dann liefert das Verschwinden der Divergenz von T µν die Erhaltung der Gesamtenergie und des Gesamtimpulses der Teilchen und des Feldes.

22 6 Zusammenfassend bedeutet das: T µν : Quelle des Gravitationsfeldes: umfasst jede Form von Energie außer der Enegie des Gravitationsfeldes Sind zwischen dem mechanischen System und dem elektromagnetischen Feld Wechselwirkungen vorhanden, etwa dadurch, daß die Teilchen geladen sind, dann liefert das Verschwinden der Divergenz von T µν die Erhaltung der Gesamtenergie und des Gesamtimpulses der Teilchen und des Feldes. Widmen wir uns nun der linke Seite von Gleichung (1). Zu diesem Zweck nehmen wir zunächst einmal an, das sich die Metrik g µν kaum von der MINKOWSKI-Metrik unterscheidet.

23 7 Approximative Theorie Die Metrik der Raum-Zeit-Welt hat nun die Gestalt: ds 2 = dx dx dx dx γµν dx µ dx ν (9) = g µν = η µν + γ µν mit η = diag( 1, 1, 1, 1) (10)

24 7 Approximative Theorie Die Metrik der Raum-Zeit-Welt hat nun die Gestalt: ds 2 = dx dx dx dx γµν dx µ dx ν (9) = g µν = η µν + γ µν mit η = diag( 1, 1, 1, 1) (10) Die Größen γ µν, γ µν x ε x µ sollen gegenüber Eins vernachlässigbar sein, und außerdem sollen sie Größen von ein und derselben ( ersten ) Ordnung sein. x ε, 2 γµν

25 7 Approximative Theorie Die Metrik der Raum-Zeit-Welt hat nun die Gestalt: ds 2 = dx dx dx dx γµν dx µ dx ν (9) = g µν = η µν + γ µν mit η = diag( 1, 1, 1, 1) (10) Die Größen γ µν, γ µν x ε x µ sollen gegenüber Eins vernachlässigbar sein, und außerdem sollen sie Größen von ein und derselben ( ersten ) Ordnung sein. Das heißt z.b: x ε, 2 γµν 1 + γ 00 1; γ 00 + γ 11 γ 22 γ 00 (11)

26 7 Approximative Theorie Die Metrik der Raum-Zeit-Welt hat nun die Gestalt: ds 2 = dx dx dx dx γµν dx µ dx ν (9) = g µν = η µν + γ µν mit η = diag( 1, 1, 1, 1) (10) Die Größen γ µν, γ µν x ε x µ sollen gegenüber Eins vernachlässigbar sein, und außerdem sollen sie Größen von ein und derselben ( ersten ) Ordnung sein. Das heißt z.b: x ε, 2 γµν 1 + γ 00 1; γ 00 + γ 11 γ 22 γ 00 (11) Somit lauten jetzt die CHRISTOFFschen Symbole Γ ε µν = gελ Γ λ,µν : Γ λ,µν = 1 2 gλµ x ν + g λν x µ g «µν x λ

27 7 Approximative Theorie Die Metrik der Raum-Zeit-Welt hat nun die Gestalt: ds 2 = dx dx dx dx γµν dx µ dx ν (9) = g µν = η µν + γ µν mit η = diag( 1, 1, 1, 1) (10) Die Größen γ µν, γ µν x ε x µ sollen gegenüber Eins vernachlässigbar sein, und außerdem sollen sie Größen von ein und derselben ( ersten ) Ordnung sein. Das heißt z.b: x ε, 2 γµν 1 + γ 00 1; γ 00 + γ 11 γ 22 γ 00 (11) Somit lauten jetzt die CHRISTOFFschen Symbole Γ ε µν = gελ Γ λ,µν : Γ λ,µν = 1 2 gλµ x ν + g λν x µ g «µν x λ = 1 2 γλµ x ν + γ λν x µ γ «µν x λ (12)

28 8 Approximative Theorie Da Γ λ,µν klein von erster Ordnung ist, kann man g ελ durch η ελ = Γ ε µν = ηελ Γ λ,µν = ±Γ ε,µν j ε = 1, 2, 3 ε = 0 ff (13)

29 8 Approximative Theorie Da Γ λ,µν klein von erster Ordnung ist, kann man g ελ durch η ελ = Γ ε µν = ηελ Γ λ,µν = ±Γ ε,µν j ε = 1, 2, 3 ε = 0 ff (13) Die Differentialgleichungen der Geodätischen lauten somit: d 2 x ε dσ 2 + dx µ dx ν Γε µν dσ dσ = 0 (14)

30 8 Approximative Theorie Da Γ λ,µν klein von erster Ordnung ist, kann man g ελ durch η ελ = Γ ε µν = ηελ Γ λ,µν = ±Γ ε,µν j ε = 1, 2, 3 ε = 0 ff (13) Die Differentialgleichungen der Geodätischen lauten somit: d 2 x ε dσ 2 + dx µ dx ν Γε µν dσ dσ = 0 (14) d 2 x 0 dσ 2 Γ 0,µν dxµ dσ dxν dσ = 0 d 2 x i dσ 2 + Γ i,µν dxµ dσ dxν (15) dσ = 0

31 9 Approximative Theorie wobei dσ 2 = c 2 (dt) 2 r dx 0 dσ = r 1, 1 u2 c 2 dx 2 dσ = 1 c dy r dt, 1 u2 c 2 dx 1 dσ dx 3 dσ 1 u2 c 2 = 1 dx r dt c 1 u2 c 2 dz r dt = 1 c 1 u2 c 2 (16)

32 9 Approximative Theorie wobei dσ 2 = c 2 (dt) 2 r dx 0 dσ = r 1, 1 u2 c 2 dx 2 dσ = 1 c dy r dt, 1 u2 c 2 dx 1 dσ dx 3 dσ 1 u2 c 2 = 1 dx r dt c 1 u2 c 2 dz r dt Die frei Beweglichen Teilchen sollen nun eine,im vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, geringe Geschwindigkeit besitzen d.h u2 c2 1, dx dy cdt cdt 1 = 1 c 1 u2 c 2 (16) = dσ 2 c 2 (dt) 2, dx0 dσ dx1 1, dσ 1 dx c dt, dx2 dσ 1 dy c dt, dx3 dσ 1 dz c dt (17)

33 9 Approximative Theorie wobei dσ 2 = c 2 (dt) 2 r dx 0 dσ = r 1, 1 u2 c 2 dx 2 dσ = 1 c dy r dt, 1 u2 c 2 dx 1 dσ dx 3 dσ 1 u2 c 2 = 1 dx r dt c 1 u2 c 2 dz r dt Die frei Beweglichen Teilchen sollen nun eine,im vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, geringe Geschwindigkeit besitzen d.h u2 c2 1, dx dy cdt cdt 1 = 1 c 1 u2 c 2 (16) = dσ 2 c 2 (dt) 2, dx0 dσ dx1 1, dσ 1 dx c dt, dx2 dσ 1 dy c dt, dx3 dσ 1 dz c dt (17) Nun wird in den Geodätengleichungen vom Argument σ zum Argument x 0 übergegangen.

34 10 Approximative Theorie Es gilt: d 2 x i d `dx 0 2 = 2 x i dσ 2 dx0 dσ d2 x 0 dσ 2 dxi dσ dx 0 dσ 3 = d2 x i dσ 2 d2 x 0 dx i dσ 2 dσ (18)

35 10 Approximative Theorie Es gilt: d 2 x i d `dx 0 2 = 2 x i dσ 2 dx0 dσ d2 x 0 dσ 2 dxi dσ dx 0 dσ 3 = d2 x i dσ 2 d2 x 0 dx i dσ 2 dσ Setzen wir nun in diese Beziehungen die Geodätengleichungen ein, und vernachläßigen das Produkt aus Geschwindigkeiten, (18)

36 10 Approximative Theorie Es gilt: d 2 x i d `dx 0 2 = 2 x i dσ 2 dx0 dσ d2 x 0 dσ 2 dxi dσ dx 0 dσ 3 = d2 x i dσ 2 d2 x 0 dx i dσ 2 dσ Setzen wir nun in diese Beziehungen die Geodätengleichungen ein, und vernachläßigen das Produkt aus Geschwindigkeiten, so erhalten wir: d 2 x i `dx 0 2 = Γ dx 0 dx 0 i,00 dσ dσ 2Γ dx j dx 0 i,j0 dσ dσ Γ dx 0 dx 0 dx i 0,00 dσ dσ dσ (18) (19) Beschränken wir uns noch auf den stationären Fall, d.h das wir setzen voraus, daß man in der Raum-Zeit-Welt ein Koordiantensystem wählen kann, von dem aus gesehen sich die Massen, die das Schwerfeld erzeugen, in Ruhe befinden.

37 10 Approximative Theorie Es gilt: d 2 x i d `dx 0 2 = 2 x i dσ 2 dx0 dσ d2 x 0 dσ 2 dxi dσ dx 0 dσ 3 = d2 x i dσ 2 d2 x 0 dx i dσ 2 dσ Setzen wir nun in diese Beziehungen die Geodätengleichungen ein, und vernachläßigen das Produkt aus Geschwindigkeiten, so erhalten wir: d 2 x i `dx 0 2 = Γ dx 0 dx 0 i,00 dσ dσ 2Γ dx j dx 0 i,j0 dσ dσ Γ dx 0 dx 0 dx i 0,00 dσ dσ dσ (18) (19) Beschränken wir uns noch auf den stationären Fall, d.h das wir setzen voraus, daß man in der Raum-Zeit-Welt ein Koordiantensystem wählen kann, von dem aus gesehen sich die Massen, die das Schwerfeld erzeugen, in Ruhe befinden. Durch diese Einschränkung lautet Gleichung (19): d 2 x i `dx 0 2 = Γ dx 0 dx 0 i,00 dσ dσ (20)

38 11 Approximative Theorie Setzt man hier noch die Beziehungen aus (17) und (12) ein, so ergibt sich: d 2 x i dt 2 = c2 2 γ 00 x i (21)

39 11 Approximative Theorie Setzt man hier noch die Beziehungen aus (17) und (12) ein, so ergibt sich: d 2 x i dt 2 = c2 2 γ 00 x i (21) Vergleichen wir an dieser Stelle mit Newton d2 x i dt 2 = φ so folgt: γ 00 = 2 c2φ (22)

40 11 Approximative Theorie Setzt man hier noch die Beziehungen aus (17) und (12) ein, so ergibt sich: d 2 x i dt 2 = c2 2 γ 00 x i (21) Vergleichen wir an dieser Stelle mit Newton d2 x i dt 2 = φ so folgt: γ 00 = 2 c2φ (22) Aus diesem Ergebniss folgert man das auf der linken Seite von Gleichung (1) ein invarianter Differential-Tensor der g µν tretten soll.

41 12 Aufgrund der divergenzfreiheit von T µν und den zu Anfang gestellten Forderungen, können wir diesen Tensor weiter einengen, und fordern insgesamt folgende drei Bedingungen:

42 12 Aufgrund der divergenzfreiheit von T µν und den zu Anfang gestellten Forderungen, können wir diesen Tensor weiter einengen, und fordern insgesamt folgende drei Bedingungen: 1. Er soll keine höheren als zweite Differentialquotienten der g µν enthalten.

43 12 Aufgrund der divergenzfreiheit von T µν und den zu Anfang gestellten Forderungen, können wir diesen Tensor weiter einengen, und fordern insgesamt folgende drei Bedingungen: 1. Er soll keine höheren als zweite Differentialquotienten der g µν enthalten. 2. Er soll in diesen zweiten Differentialquotienten linear sein.

44 12 Aufgrund der divergenzfreiheit von T µν und den zu Anfang gestellten Forderungen, können wir diesen Tensor weiter einengen, und fordern insgesamt folgende drei Bedingungen: 1. Er soll keine höheren als zweite Differentialquotienten der g µν enthalten. 2. Er soll in diesen zweiten Differentialquotienten linear sein. 3. Seine entsprechend gebildete Divergenz soll identisch verschwinden.

45 12 Aufgrund der divergenzfreiheit von T µν und den zu Anfang gestellten Forderungen, können wir diesen Tensor weiter einengen, und fordern insgesamt folgende drei Bedingungen: 1. Er soll keine höheren als zweite Differentialquotienten der g µν enthalten. 2. Er soll in diesen zweiten Differentialquotienten linear sein. 3. Seine entsprechend gebildete Divergenz soll identisch verschwinden. Ein solcher Tensor der diese Eigenschaften besitzt läßt sich aus der Bianci-Identität bestimmen: R µλνσ;ρ + R µλρν;σ + R µλσρ;ν = 0 (23)

46 12 Aufgrund der divergenzfreiheit von T µν und den zu Anfang gestellten Forderungen, können wir diesen Tensor weiter einengen, und fordern insgesamt folgende drei Bedingungen: 1. Er soll keine höheren als zweite Differentialquotienten der g µν enthalten. 2. Er soll in diesen zweiten Differentialquotienten linear sein. 3. Seine entsprechend gebildete Divergenz soll identisch verschwinden. Ein solcher Tensor der diese Eigenschaften besitzt läßt sich aus der Bianci-Identität bestimmen: R µλνσ;ρ + R µλρν;σ + R µλσρ;ν = 0 (23) Verjüngt man nun bzgl. λ, σ: R µν;ρ + R λ µρν;λ + R µρ;ν = 0 (24)

47 13 zusätzlich bzgl. µ, ρ: R ν;µ µ + Rλ ν;λ R ;ν = 0 (25) Rµ ν 1 «2 Rδν µ ; ν = 0 (26) G ν µ;ν = 0; (27)

48 13 zusätzlich bzgl. µ, ρ: R ν;µ µ + Rλ ν;λ R ;ν = 0 (25) Rµ ν 1 «2 Rδν µ ; ν = 0 (26) G ν µ;ν = 0; (27) Die letzte Gleichung besagt, daß der Tensor: G ν µ := Rν µ 1 2 Rδν µ (28) divergenzfrei ist. Dieser Tensor wird als Einstein-Tensor bezeichnet.

49 13 zusätzlich bzgl. µ, ρ: R ν;µ µ + Rλ ν;λ R ;ν = 0 (25) Rµ ν 1 «2 Rδν µ ; ν = 0 (26) G ν µ;ν = 0; (27) Die letzte Gleichung besagt, daß der Tensor: G ν µ := Rν µ 1 2 Rδν µ (28) divergenzfrei ist. Dieser Tensor wird als Einstein-Tensor bezeichnet. Die Vermutung das der Einstein-Tensor auf die linken Seite von Gleichung (1) tretten soll, folgt formel aus der Variation der Lagrange-Dichte.

50 14 Die Lagrange-Dichte L der Gravitation aus Invarianten lautet: L = 1 κ R + c 1R µν R µν + c 2 R µναβ R µναβ +... (29) wobei c 1 und c 2 dimensionsorientierte Kopplungskonstanten sind.

51 14 Die Lagrange-Dichte L der Gravitation aus Invarianten lautet: L = 1 κ R + c 1R µν R µν + c 2 R µναβ R µναβ +... (29) wobei c 1 und c 2 dimensionsorientierte Kopplungskonstanten sind. Das Hamilton-Prinzip der kleinsten Wirkung lautet dann: Z «1 p gd Z δ κ R + L 4 Material x = 0 δ (R + κl Material ) p gd 4 x = 0 (30)

52 14 Die Lagrange-Dichte L der Gravitation aus Invarianten lautet: L = 1 κ R + c 1R µν R µν + c 2 R µναβ R µναβ +... (29) wobei c 1 und c 2 dimensionsorientierte Kopplungskonstanten sind. Das Hamilton-Prinzip der kleinsten Wirkung lautet dann: Z «1 p gd Z δ κ R + L 4 Material x = 0 δ (R + κl Material ) p gd 4 x = 0 (30) mit g = g µν, g µν = 1 g g gµν, Γµ αµ = ( g),α g,

53 14 Die Lagrange-Dichte L der Gravitation aus Invarianten lautet: L = 1 κ R + c 1R µν R µν + c 2 R µναβ R µναβ +... (29) wobei c 1 und c 2 dimensionsorientierte Kopplungskonstanten sind. Das Hamilton-Prinzip der kleinsten Wirkung lautet dann: Z «1 p gd Z δ κ R + L 4 Material x = 0 δ (R + κl Material ) p gd 4 x = 0 (30) mit g = g µν, g µν = g 1 gµν g, Γµ αµ = ( g),α, folgt weiter: g Z δ R p Z gd 4 x = κ `LMaterial g g αβ δg αβ d 4 x (31)

54 15 Der Differentialquotient der Rechten Seite muß eine tensorielle Größe sein, die aufgrund der symmetrischen Metrik, auch symmetrisch sein muß.

55 15 Der Differentialquotient der Rechten Seite muß eine tensorielle Größe sein, die aufgrund der symmetrischen Metrik, auch symmetrisch sein muß. Es gilt: `L Material g = p gt αβ T αβ = 1 ` LMaterial g (32) g αβ g g αβ

56 15 Der Differentialquotient der Rechten Seite muß eine tensorielle Größe sein, die aufgrund der symmetrischen Metrik, auch symmetrisch sein muß. Es gilt: `L Material g = p gt αβ T αβ = 1 ` LMaterial g (32) g αβ g g αβ Hier sieht man besonders gut, das der Energie-Impuls-Spannungs-Tensor die Quelle der Metrik ist. Somit gilt: Z δ R p Z gd 4 x = κ T αβ p 4 δg αβ gd x (33)

57 15 Der Differentialquotient der Rechten Seite muß eine tensorielle Größe sein, die aufgrund der symmetrischen Metrik, auch symmetrisch sein muß. Es gilt: `L Material g = p gt αβ T αβ = 1 ` LMaterial g (32) g αβ g g αβ Hier sieht man besonders gut, das der Energie-Impuls-Spannungs-Tensor die Quelle der Metrik ist. Somit gilt: Z δ R p Z gd 4 x = κ T αβ p 4 δg αβ gd x (33) für die linke Seite folgt weiter: Z δ R p gd 4 x = Z p gδrd 4 x + Z Rδ p gd 4 x (34) = Z p gδrd 4 x Z Rg αβ δg αβ p gd 4 x (35)

58 16 Für δr gilt: δr = δ R αβ g αβ (36) = R αβ δg αβ + δg αβ δr αβ ; mit δg αβ = g ασ g βλ δg σλ (37) = R αβ δg αβ + g αβ δr αβ ; mit δr αβ = δγ σ σβ, α δγ σ αβ, σ (38) = R αβ δg αβ + g αβ δγ σ σβ, α g αβ δγ σ αβ, σ (39)

59 16 Für δr gilt: δr = δ R αβ g αβ (36) = R αβ δg αβ + δg αβ δr αβ ; mit δg αβ = g ασ g βλ δg σλ (37) = R αβ δg αβ + g αβ δr αβ ; mit δr αβ = δγ σ σβ, α δγ σ αβ, σ (38) = R αβ δg αβ + g αβ δγ σ σβ, α g αβ δγ σ αβ, σ (39) Damit ergibt sich für (34): Z δ R p Z gd 4 x = R αβ p Z 4 δg αβ gd x + g αβ δγ σ σβ, α g αβ δγ σ αβ, σ + 1 Z Rg αβ p 4 δg αβ gd x 2 Z = R αβ 12 «p Rgαβ 4 δg αβ gd x (40)

60 17 Jetzt kann man (33) wie folgt schreiben: Z R αβ 12 «p Z Rgαβ 4 δg αβ gd x = κ T αβ δg αβ p gd 4 x (41)

61 17 Jetzt kann man (33) wie folgt schreiben: Z R αβ 12 «p Z Rgαβ 4 δg αβ gd x = κ T αβ δg αβ p gd 4 x (41) Nun sind wir fast am Ende, beide Seiten von Gleichung (1) sind durch invariante Größen ausgedrückt. Die hieraus neu gewonnenen (kovarianten) Gleichungen lauten : R µν 1 2 Rg µν = κt µν (42)

62 17 Jetzt kann man (33) wie folgt schreiben: Z R αβ 12 «p Z Rgαβ 4 δg αβ gd x = κ T αβ δg αβ p gd 4 x (41) Nun sind wir fast am Ende, beide Seiten von Gleichung (1) sind durch invariante Größen ausgedrückt. Die hieraus neu gewonnenen (kovarianten) Gleichungen lauten : R µν 1 2 Rg µν = κt µν (42) Überschiebt man diese Gleichungen mit g µν so folgt mit g µν g µν = 4 das κt = R 1 2 g µνg µν R = R (43)

63 18 Setzen wir nun (43) in (42) ein, so erhalten wir eine neue Form für diese Beziehung: R µν = κ T µν 1 «2 T g µν (44)

64 18 Setzen wir nun (43) in (42) ein, so erhalten wir eine neue Form für diese Beziehung: R µν = κ T µν 1 «2 T g µν (44) mit T µν 1 2 T g µν = T µν ergibt sich R µν = κt µν (45)

65 18 Setzen wir nun (43) in (42) ein, so erhalten wir eine neue Form für diese Beziehung: R µν = κ T µν 1 «2 T g µν (44) mit T µν 1 2 T g µν = T µν ergibt sich R µν = κt µν (45) Jetzt muß nur noch die Konstante κ bestimmt werden. Dazu bestimmen wir zunächst den RIEMANNschen Krümmungstensor in erster Ordnung.

66 18 Setzen wir nun (43) in (42) ein, so erhalten wir eine neue Form für diese Beziehung: R µν = κ T µν 1 «2 T g µν (44) mit T µν 1 2 T g µν = T µν ergibt sich R µν = κt µν (45) Jetzt muß nur noch die Konstante κ bestimmt werden. Dazu bestimmen wir zunächst den RIEMANNschen Krümmungstensor in erster Ordnung. R εµ,νλ γ µν x ε x λ + 2 γ ελ x µ x ν 2 γµλ x ε x ν! 2 γ εν x µ x λ (46)

67 19 Überschieben wir den RIEMANNschen Krümmungstensor gliedweise mit g ελ = η ελ so erhalten wir den RICCI-Tensor R µν R εµ,νλ η ελ = 1 2 γ µν + 2 γ x µ x ν 2 γ λ µ x ν x λ 2 γ λ ν x µ x λ! (47) wobei = 2 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 ) 2, γ = γ ελη ελ, γ λ µ = γ µεηg ελ

68 19 Überschieben wir den RIEMANNschen Krümmungstensor gliedweise mit g ελ = η ελ so erhalten wir den RICCI-Tensor R µν R εµ,νλ η ελ = 1 2 γ µν + 2 γ x µ x ν 2 γ λ µ x ν x λ 2 γ λ ν x µ x λ! (47) wobei = 2 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 ) 2, γ = γ ελη ελ, γ λ µ = γ µεηg ελ Betrachten wir jetzt wieder den stationären Fall. Unser Energie-Impuls-Tensor hat jetzt nur eine von Null verschiedene Koordinate: T 00 = c 2 ρ (48)

69 19 Überschieben wir den RIEMANNschen Krümmungstensor gliedweise mit g ελ = η ελ so erhalten wir den RICCI-Tensor R µν R εµ,νλ η ελ = 1 2 γ µν + 2 γ x µ x ν 2 γ λ µ x ν x λ 2 γ λ ν x µ x λ! (47) wobei = 2 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 ) 2, γ = γ ελη ελ, γ λ µ = γ µεηg ελ Betrachten wir jetzt wieder den stationären Fall. Unser Energie-Impuls-Tensor hat jetzt nur eine von Null verschiedene Koordinate: T 00 = c 2 ρ (48) Weiter läßt sich der -Operator durch den -Operator in Gleichung (47) ersetzen, da die Metrik der Welt stationär ist, d.h γ µν = γ µν (x 1, x 2, x 3 ).

70 19 Überschieben wir den RIEMANNschen Krümmungstensor gliedweise mit g ελ = η ελ so erhalten wir den RICCI-Tensor R µν R εµ,νλ η ελ = 1 2 γ µν + 2 γ x µ x ν 2 γ λ µ x ν x λ 2 γ λ ν x µ x λ! (47) wobei = 2 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 ) 2, γ = γ ελη ελ, γ λ µ = γ µεηg ελ Betrachten wir jetzt wieder den stationären Fall. Unser Energie-Impuls-Tensor hat jetzt nur eine von Null verschiedene Koordinate: T 00 = c 2 ρ (48) Weiter läßt sich der -Operator durch den -Operator in Gleichung (47) ersetzen, da die Metrik der Welt stationär ist, d.h γ µν = γ µν (x 1, x 2, x 3 ). Weiter nutzen wir aus das T µν g µν = T 00 g00 = c 2 ρ und nach (45) folgt

71 19 Überschieben wir den RIEMANNschen Krümmungstensor gliedweise mit g ελ = η ελ so erhalten wir den RICCI-Tensor R µν R εµ,νλ η ελ = 1 2 γ µν + 2 γ x µ x ν 2 γ λ µ x ν x λ 2 γ λ ν x µ x λ! (47) wobei = 2 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 ) 2, γ = γ ελη ελ, γ λ µ = γ µεηg ελ Betrachten wir jetzt wieder den stationären Fall. Unser Energie-Impuls-Tensor hat jetzt nur eine von Null verschiedene Koordinate: T 00 = c 2 ρ (48) Weiter läßt sich der -Operator durch den -Operator in Gleichung (47) ersetzen, da die Metrik der Welt stationär ist, d.h γ µν = γ µν (x 1, x 2, x 3 ). Weiter nutzen wir aus das T µν g µν = T 00 g00 = c 2 ρ und nach (45) folgt: T µν 0 (µ ν) 1 2 c2 ρ (µ = ν) (49)

72 Benutzen wir weiter die Beziehungen aus (49) und (44) für µ = ν = 0, so ergibt sich für 20

73 20 Benutzen wir weiter die Beziehungen aus (49) und (44) für µ = ν = 0, so ergibt sich für R 00 = κ 2 ρc2 (50) Vergleicht man nun mit (47) für µ = ν = 0 so erhält man

74 20 Benutzen wir weiter die Beziehungen aus (49) und (44) für µ = ν = 0, so ergibt sich für R 00 = κ 2 ρc2 (50) Vergleicht man nun mit (47) für µ = ν = 0 so erhält man: 1 2 γ 00 = κ 2 ρc2 (51) setzt man weiter für γ 00 die Beziehung aus (22) und mit (1) ein so erhält man für κ

75 20 Benutzen wir weiter die Beziehungen aus (49) und (44) für µ = ν = 0, so ergibt sich für R 00 = κ 2 ρc2 (50) Vergleicht man nun mit (47) für µ = ν = 0 so erhält man: 1 2 γ 00 = κ 2 ρc2 (51) setzt man weiter für γ 00 die Beziehung aus (22) und mit (1) ein so erhält man für κ κ = 8πG c 4 (52) Nun können wir die Feldgleichungen formulieren!

76 21 EINSTEINschen Feldgleichungen der Gravitation (1916) R µν 1 2 Rg µν = κt µν R µν = κt µν