FOURIERREIHEN. a) Periodische Funktionen. 3) Rechteckschwingung. b) Stückweise stetige Funktionen. Skizze= Sägezahnschwingung

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1 FOURIERREIHEN 1. Grundlagen a) Periodische Funtionen Beispiele: 1) f( x) = sin( x+ π / 3), T = 2 π /. 2) f( t) = cos( ωt+ ϕ), T = 2 π / ω. 3) Rechtecschwingung, 1< t < f() t =, f( t+ 2) = f() t 1, < t < 1 b) Stücweise stetige Funtionen f( x) = x, π < x< π ; f( x+ 2 π) = f( x) Sizze= Sägezahnschwingung Seite 1

2 c) Trigonometrische Polynome Definition a ( ) n Tn x = + ( a cos x+ bsin x) 2 = 1 2. Fourierreihen für 2π -periodische Funtionen Das Ziel Näherungsrechnung für 2π -periodische Funtionen von pratischer Bedeutung mit Hilfe trigonometrischer Polynome. Satz von Fourier Seite 2

3 Jede im Intervall ( π, π ) definierte stücweise stetige Funtion f ( x ) ann dargestellt werden als onvergente Reihe trigonometrischer Polynome: a ( ) f x = + ( a cosx+ bsin x) 2 = 1 Die Fourier-Koeffizienten sind 1 π a = f( x)cos xdx ;,1,2,... π = π 1 π b = f( x)sin xdx ; 1,2,... π = π Die Reihe onvergiert für jedes x gegen f( x ) an jeder Stetigeitsstelle und gegen den Wert 1 [ ( ) ( )] 2 f x + + f x an jeder Sprungstelle. Seite 3

4 Beispiele 1) Dreiecsschwingung f( x) = x, π x< π ; f( x+ 2 π) = f( x) π 2 a = x dx = x dx= π π π π π (Mittelwert = a /2 = π /2) Seite 4

5 2 a = x cosxdx π = π π 2 x sinx cosx = (cos π 1) π 2 2 π 2 [( 1) = 1]. π 1 b = π xsin xdx =. π π Die Fourierreihe für die Dreiecschwingung ist f( x) π 4 cos(2l + 1) = = 2 l= 2 (2l + 1) π π = cos x cos3x cos5 x... 2 π Seite 5

6 2) Sägezahnschwingung f( x) = x, π < x< π; f( x+ 2 π) = f( x) a =, b = ( 1) (Übung) 1 1 f( x) = 2 sin x sin 2x sin 3 x Seite 6

7 3. Fourierreihen für Schwingungen mit der Periode T = 2 π / ω Ansatz: Die Substitution x = ω t transformiert eine 2π -periodische Funtion f ( x ) in eine 2 π / ω -periodische Funtion gt. ( ) Satz Jede Schwingung gt ( ) mit der Kreisfrequenz ω und der Schwingungsdauer T = 2 π / ω ann dargestellt werden als onvergente trigonometrische Reihe : a () gt = + ( a cosωt+ bsin ωt) 2 = 1 Die Fourier-Koeffizienten sind Seite 7

8 /2 2 T /2 a = g( t)cos ωtdt ; =,1,2,... T T 2 T /2 b = g()sin t ωtdt ; = 1,2,... T T /2 Die Reihe onvergiert für jedes t gegen gt () an jeder Stetigeitsstelle und gegen den Wert 1 [ gt ( + ) + gt ( )] an jeder 2 Sprungstelle. Die Berechnung der Fourierreihe 1) Mit Hilfe den Integralformeln Beispiel: Die Rechtecschwingung gt (), T /2< t < = 1, < t < T /2 Seite 8

9 g(t) 1 T/2 t Ergebnis: gt ( ) = + sinω sin3 sin t + ω 3 t + ω π 5 t + (Übung) Seite 9

10 2) Mit Salierungen in beannten Fourierreihen Einige 2 π / ω -periodische Schwingungen gt () mit der Amplitude A g önnen aus beannten geometrisch ähnlichen 2π - periodischen Schwingungen f( t ) mit der Amplitude A f durch zwei Salierungen berechnet werden: Beispiele: Ag gt () = f( ω t) A f a) Sägezahnschwingung gt ( ) mit Schwingungsdauer T = 2 π / ω und Amplitude T / 2: Salierung in x - Richtung: x = ω t. Seite 1

11 Salierungsfator in y-richtung: Ag T /2 T 1 = = = A π 2π ω f Aus der beannten Reihe für 1 1 f( x) = 2 sin x sin 2x sin3 x die Reihe für gt ( ) = sinωt sin 2ωt sin3 ωt... + ω 2 3 g(t) T/2 T/2 Seite 11

12 b) Sägezahnschwingung ht () mit Schwingungsdauer T = 2 π / ω und Amplitude A. Salierung in x - Richtung: x = ω t. Salierungsfator in y-richtung: A A h f = A π 1 1 f( x) = 2 sin x sin 2x sin3 x A 1 1 ht ( ) = sinωt sin 2ωt sin3 ωt... + π 2 3 Seite 12

13 h(t) A T/2 t Bemerungen 1) Die Fourierreihen gerader (ungerader) Funtionen sind reine Cosinusreihen (Sinusreihen). 2) Bei der Berechnung der Fourieroeffizienten ann über ein beliebiges Intervall der Länge T integriert werden. Seite 13

14 4. Das Spetrum einer Schwingung. Harmonische Analyse. Eine Schwingung a ( ) gt = + ( a cosωt+ bsin ωt) 2 = 1 ann in der äquivalenten Form a ( ) gt = + A cos( ωt+ ϕ) 2 = 1 dargestellt werden. Aus der Darstellung ergeben sich die folgenden Begriffe: a) Mittelwert, Gleichanteil: a /2 b) Erste Harmonische: A1cos( ωt + ϕ1) Zweite Harmonische: A2cos(2 ωt + ϕ2) usw. c) Amplituden- und Phasenspetrum: Seite 14

15 = {(, ) }, ( ϕ ) A A {, } P = Für gerade bzw. ungerade Funtionen verwendet man anstatt der beiden Linienspetren A, P nur das Spetrum der Koef- b. fizienten { } a bzw. { } Beispiel Die Sägezahnschwingung 1 1 f( x) = 2 sin x sin 2x sin3 x... + = cos π x cos π 3x cos π 5 x Die Spetren: Das Amplitudenspetrum: A = 2/ π Das Phasenspetrum: ϕ = ( 1) 2 Seite 15

16 Das Spetrum der b Koeffizienten: b = ( 1) Übung: Sizzieren Sie die Spetren der Sägezahnbzw. der Dreiecsschwingung. 5. Geometrische Eigenschaften von Fourierreihen 1) Das Phänomen von Gibbs In der Umgebung einer Sprungstelle ommt zu einem Überschwingen der Fourierreihe um ca 9% der Sprunghöhe der approximierten Funtion (Beispiel: Rechtecschwingung). Seite 16

17 1 n=1 1 n= n=9 1 Das Phänomen von Gibbs ) Globale Approximation durch Fourierreihen vs loale Approximation durch Taylorreihen 3) Konvergenzverhalten f( x ) stetig f ( x ) unstetig a a, b ~, b ~ (Beispiele: Dreiec- u. Sägezahnschwingung) Seite 17

18 6. Geometrische Transformationen von Fourierreihen A) Salierungen (siehe 3.2) B) Verschiebungen in vertialer Richtung: die Verschiebungsonstante wird zum Gleichanteil addiert. C) Verschiebungen in horizontaler Richtung: die neuen Koeffizienten werden mit Hilfe der Additionstheoreme für die Cosinus und Sinus Funtion gerechnet. D) Spiegelungen an den Achsen werden wie bei allgemeinen Funtionen behandelt. E) Überlagerungen (Additionen) durch Addition der Koeffizienten. Seite 18

19 Beispiele 1) Brücen zur Mathe Band 7, Beispiel 4.1 2) Prüfung S24 Aufgabe 5 (3 Minuten) Gegeben ist die 2π -periodische Funtion π π 1 für t < 2 2 f() t = π 3π für t <. 2 2 a) Sizzieren Sie f(t) für t [ 3 π, 3π ] Seite 19. b) Welche der angegebenen Fourierreihen gehört zu f(t)? Begründen Sie Ihre Antwort. b1)

20 f( t) = + cost cos3t cos5 t... + ± π π 3 5 b2) f( t) = + sint sin3t sin5 t... + ± π π 3 5 b3) f( t) = + cost cos3t cos5 t... + ± 2 π 3 5 b4) f( t) = + cost cos3t cos5 t... + ± 2 π 9 25 Seite 2

21 c) Sizzieren Sie f π t + 2 die Fourierreihe an. und geben Sie d) g(t) t 3π 2π π π 2π 3π Geben Sie mit Hilfe von b) und c) die Fourierreihe der sizzierten Funtion g(t) an. 7. Die omplexe Darstellung von Fourierreihen Seite 21

22 Satz Jede Schwingung f( t ) mit der Kreisfrequenz ω und der Periode T = 2 π / ω ann dargestellt werden als onvergente Reihe : + jωt f() t = c e dt = mit den Koeffizienten 1 T /2 jωt c = f( t) e dt ; =, ± 1, ± 2,... T T /2 Beispiele 1) f() t t, < t < π =, π < t < Seite 22

23 2) x f( x) = e, π < x< π ; f( x+ 2 π = f( x) Das omplexe Spetrum 1 T /2 jωt c = f( t) e dt ; =, ± 1, ± 2,... T T /2 Umrechnungsformeln 1 1 c = ( a j b), c = ( a + j b) 2 2 a = 2 Re( c ), b = 2 Im( c ) A = 2 c, ϕ = arg( c ) Aufgabe 5 (3 Minuten) WS21/22 Seite 23

24 Gegeben ist die T -periodische Funtion T T für < t 2 4 f() t =, f( t+ T) = f(). t T T 1 für < t 4 2 a) Sizzieren Sie f( t ) im Intervall T t 2T. b) Geben Sie eine Formel für die omplexen Fourier-Koeffizienten c von f () t an. Berechnen Sie dazu zunächst den Gleichanteil c und unterscheiden Sie dann die Fälle, bei denen gerade oder ungerade ist. Zwischenergebnis: Seite 24

25 c j 1 cos π, gerade 2π 2 = j π 1+ j sin, ungerade 2π 2 c) Geben Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus b) die reellen Fourier-Koeffizienten a und b an. d) f() t soll als reine Kosinusreihe dargestellt werden: f() t = A + A cos( ωt+ ϕ ). = 1 Geben Sie das Amplitudenspetrum A und das Phasenspetrum ϕ für = 1, 2, K, 6 an. Seite 25