Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure,

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure, B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (3) (3) (9) erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe 1 : Die Firma Allesgrün stellt eine Sorte Gartenbänke (Typ Sonnenschein ) her, die für 80,70e pro Stück verkauft werden. Die Kostenfunktion für die Produktion dieser Bänke ist K(x) = 0.001x x x , wobei x den Output in Stück pro Monat und K(x) die Kosten in e angibt. (a) Ist die gegebene Kostenfunktion ertragsgesetzlich? Untersuchen Sie dazu das Monotonieund Konvexitätsverhalten von K(x) und begründen Sie Ihre Antwort mittels der entsprechenden Berechnungen. (b) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G(x) für den monatlichen Gewinn, den die Firma durch die Produktion und den Verkauf dieser Bänke realisieren kann. (c) Wieviele Bänke sollte die Firma pro Monat produzieren und verkaufen, um maximalen Gewinn zu erwirtschaften und wie hoch ist dieser? Weisen Sie nach, dass es sich wirklich um maximalen Gewinn handelt. (d) Berechnen Sie die Elastizität des Gewinns bezüglich des Outputs bei einer monatlichen Produktion von 400 Gartenbänken. Welche prozentuale Veränderung des Gewinns ergibt sich daraus näherungsweise, wenn nur 380 Gartenbänke hergestellt werden?

2 Aufgabe 2 : Geben Sie bei allen Teilaufgaben den Rechenweg an. (a) Berechnen Sie die algebraische Form von z = (4+i)2 1 i. (b) Berechnen Sie die exponentielle Form von z = 3 + i. (c) Gegeben ist z = e 1 2 π i. Berechnen Sie z 11 in trigonometrischer und algebraischer Form. (d) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 3 = 8 = 8e iπ in exponentieller Form und skizzieren Sie die Lage der Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene. Aufgabe 3 : Gegeben ist die Funktion f : R R mit f(x) = 500 e 1 (2 x) 2. (a) Geben Sie den Definitionsbereich D(f) von f(x) an. (b) Falls der Grenzwert lim x 2 f(x) existiert, geben Sie diesen an. Falls er nicht existiert, geben Sie einen Grund dafür an. (c) Ist die Funktion f(x) (c1) an der Stelle x 0 = 2 stetig oder (c2) besitzt sie an der Stelle x 0 = 2 eine hebbare Unstetigkeit oder (c3) besitzt sie an der Stelle x 0 = 2 eine Sprungstelle? Begründen Sie Ihre Antwort durch Angabe des Funktionswertes f(2) im Fall (c1) oder durch Angabe des Funktionswertes f(2) der erweiterten Funktion f im Fall (c2) oder durch Angabe der Sprunghöhe im Fall (c3). Aufgabe 4 : Gegeben sei D = {(x, y) R 2 2 x 2, 3 y 2}, sowie die Funktion f : D R mit f(x, y) = x 2 y. (a) Bestimmen und skizzieren Sie die Niveaulinien N c (f) der Funktion f für die Niveaus c 1 = 0 und c 2 = 2. (b) Berechnen Sie den Gradienten der Funktion f(x, y) an der Stelle (x 0, y 0 ) = (1, 1) und fügen Sie diesen in der Skizze unter (a) ein. (c) Zusatzaufgabe: Geben Sie alle globalen Maximalstellen und alle globalen Minimalstellen von f auf D an (ohne Begründung).

3 Aufgabe 5 : Bemerkung: Das Jahr wird mit 12 Monaten zu je 30 Tagen gerechnet. Die kleinste zeitliche Planungseinheit ist der Tag. Ein Spielzeughändler verkauft kontinuierlich Bälle pro Monat. Er kann die Bälle für 0,06e pro Ball und Monat lagern. Jede Anlieferung der Bälle kostet ihn, unabhängig von der gelieferten Ballanzahl, 135,-e. In welchen Zeitabständen und in welchen Mengen sollte er sich die Bälle liefern lassen, um die Summe aus Lager- und Lieferkosten pro Jahr zu minimieren? Wie hoch sind die Gesamtlagerkosten pro Jahr? Geben Sie die Rechenwege an. Aufgabe 6 : Ein Lebensmittelhersteller verwendet zwei Konservierungsmittel, um seine Lebensmittel haltbar zu machen. Sei x die Menge des verwendeten Konservierungsmittels X in Mengeneinheiten (ME), und y die Menge des verwendeten Konservierungsmittels Y in ME für die Haltbarmachung einer ME eines bestimmten Lebensmittels. Die Haltbarkeitsdauer h(x, y) in Tagen beträgt für dieses Lebensmittel h(x, y) = x 2 y 3. Eine ME des Konservierungsmittels X kostet 1e, während eine ME des Konservierungsmittels Y nur 0, 50e kostet. In welchen Mengen sollten die Konservierungsmittel X und Y pro ME des Lebensmittels verwendet werden, um eine Haltbarkeitsdauer von 27 Tagen bei minimalen Kosten zu erreichen und wie hoch sind diese Kosten pro ME des Lebensmittels? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe der Lagrange-Methode. Geben Sie den Rechenweg an. Eine Begründung für das Vorliegen des Minimums wird nicht erwartet. Um wieviel Cent steigen oder sinken die Kosten für Konservierungsstoffe pro ME des Lebensmittels näherungsweise, sofern eine Haltbarkeit von 30 Tagen erreicht werden soll? Aufgabe 7 : Die Firma Allesgrün aus Aufgabe 1 kann einen zweiten Markt übernehmen und hat jetzt bezüglich der Gartenbank vom Typ Sonnenschein eine Monopolstellung auf diesen beiden Märkten. Es wurden die folgenden Absatz-Preis-Funktionen p 1 (x 1, x 2 ) = x x 2, p 2 (x 1, x 2 ) = x 1 0.4x 2, ermittelt, wobei x 1 und x 2 die Anzahl der auf den Märkten 1 und 2 verkauften Bänke pro Monat und p 1 und p 2 die zugehörigen Preise pro Gartenbank in Euro sind. Die Firma veranschlagt Herstellungskosten von 50e pro Gartenbank. Welche Preise p 1 und p 2 sollte die Firma auf den jeweiligen Märkten verlangen, um maximalen Gewinn zu erwirtschaften und wie hoch ist dieser? Wieviele Bänke werden dann auf den jeweiligen Märkten verkauft? Weisen Sie nach, dass es sich wirklich um ein Gewinnmaximum handelt. Zusatzaufgabe: Ist der durchschnittliche Gewinn für eine Gartenbank höher oder niedriger als in Aufgabe 1? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.

4 Aufgabe 8 : Für die jährliche Staatsverschuldung s(t) gelte die Beziehung s (t) = 0.1 t s(t), wobei s in Geldeinheiten (GE) angegeben wird und t die Zeit (in Jahren) nach Aufstellung eines neuen Haushaltsplanes ist. (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Geben Sie den Lösungsweg an. (b) Die Staatsverschuldung am Ende des 1. Jahres betrage 10 GE, also s(1) = 10. (b1) Bestimmen Sie s(t) für diesen Anfangswert. (b2) Wie hoch ist in diesem Fall die Staatsverschuldung am Ende 25. Jahres? (b3) Gesucht ist der Zeitpunkt an dem sich die Staatsverschuldung bezogen auf das Ende des 1. Jahres verdoppelt hat. Geben Sie eine Formel für die Berechnung an. Die Berechnung selbst ist nicht gefordert.

5 1: Geg.: p(x) = 80, 70e, K(x) = 0.001x x x (a) K (x) = 0.003x x + 90, K (x) = 0 x 1,2 R (keine reellen Nullstellen) K (x) > 0 x R, d.h. K(x) ist monoton wachsend x R K (x) = 0.006x 0.96, K (x) = 0 x = 160 K (x) < 0 (K(x) ist konkav) für x < 160 und K (x) > 0 (K(x) ist konvex) für x > 160. Somit ist K(x) ertragsgesetzlich. (b) G(x) = E(x) K(x) = x p(x) K(x) = 0, 001x x 2 9.3x (c) G (x) = 0.003x x 9.3 = 0 x 1 = 10, x 2 = 310. G (x) = 0.006x G (10) > 0, G (310) < 0. Somit ist x 1 = 10 eine lokale Minimalstelle (entfällt) und x 2 = 310 eine lokale Maximalstelle. G(310) = Die Firma sollte pro Monat 310 Bänke produzieren und verkaufen, um maximalen Gewinn von 9 454e zu erzielen. (d) ϵ G,x = G (x) x G(x) = = 8.29, x = 20 ˆ= 5% Somit würde der Gewinn näherungsweise um ( 5)( 8.29) = 41, 45% steigen. 2: (a) z = i, (b) z = 2ei( 5π 6 ), (c) z 11 = e i 11 2 π = e i 3 2 π = cos 3 2 π + i sin 3 2 π = i (d) z 0 = 2e i π 3, z 1 = e iπ, z 2 = e i 5 3 π = e i( 1 3 π) 3: (a) D(f) = R \ {2} ( ) (b) lim f(x) existiert: lim 500 e 1 (2 x) 2 = 500 x 2 x 2 (c) f besitzt eine hebbare Unstetigkeit an der Stelle x 0 = 2: f(2) = 500 4: Geg.: f(x, y) = x 2 y (a) c 1 = 0 x 2 y = 0 y = x 2, c 2 = 2 x 2 y = 2 y = x 2 2 (b) f x = 2x f x (1, 1) = 2, f y = 1 f y (1, 1) = 1, grad f(x, y) = (2, 1) T (c) Zusatzaufgabe: globale Minimalstelle: (x 1, y 1 ) = (0, 2), globale Maximalstellen (x 2, y 2 ) = ( 2, 3), (x 3, y 3 ) = (2, 3) 5: Geg.: T = 1 Jahr= 12 Monate, m = Stück, k l = e, k 0 = 135e. x th = = m k 0 k l = n = = 8, t = 360 = 45, K 8 l = k l x = = Der Spielzeughändler sollte sich alle 45 Tage jeweils Bälle liefern lassen. Seine Lagerkosten betragen dann 1 080e pro Jahr. 6: Zielfunktion: f(x, y) = x + 0.5y min, Nebenbedingung: g(x, y) = x 2 y 3 = 27 L(x, y, λ) = x + 0.5y + λ(27 x 2 y 3 ) L x = 1 2xy 3 λ = 0, L y = 0.5 3x 2 y 2 λ = 0, L λ = 27 x 2 y 3 = 0

6 x = 1, y = 3, λ = , f(1, 3) = 2.5 Pro ME des Lebensmittels sollten eine ME des Konservierungsmittels X und 3 ME des Konservierungsmittels Y eingesetzt werden um minimale Kosten von 2,50e zu erreichen. Bei einer Haltbarkeit von 30 Tagen steigen die Kosten für die Konservierungsmittel pro ME Lebensmittel um etwa = e, alo um etwa 6 Cent. 7: G(x 1, x 2 ) = 40x x 2 0.2x x x 1 x 2 G x1 = x x 2 = 0, G x2 = x 1 0.8x 2 = 0 x 1 = 325, x 2 = 225, p 1 = 70, p 2 = 75, G(225, 325) = , 00 G x1 x 1 = 0.4, G x1 x 2 = G x2 x 1 = 0.4, G x2 x 2 = 0.8 det H G (x 1, x 2 ) = > 0 und G x1 x 1 < 0, d.h. (x 1, x 2 ) = (325, 225) ist lokale Maximalstelle von G(x 1, x 2 ). Auf Markt 1 sollten 325 Bänke zum Preis von je 70e und auf Markt 2 sollten 225 Bänke zum Preis von je 75e verkauft werden, um maximalen Gewinn von e zu erzielen Zusatzaufgabe: G = = Aufgabe 1: G = = Der Durchschnittsgewinn bei Aufgabe 1 ist mit 30,50e pro Bank höher, als bei Aufgabe 7 mit 22,05e pro Bank. 8: (a) s(t) = c e 0.2 t, c R, (b1) c = 10 e 0.2 s(t) = 10 e 0.2( t 1) (b2) s(25) = 10 e 0.8 = 22, 26 Die Staatsverschuldung am Ende des 10. Jahres beträgt 22,26 GE. Zusatzaufgabe (b3): Gesucht: t: s(t) = 10 e 0.2( t 1) = 20, d.h. t = ( ln 2 + 1) 2 0.2