Kopplung von Neuronen

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Monica Waltz
vor 7 Jahren
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1 Katharina Ritter, Friedrich Bach, Felix Tabbert, Walter Tewes, Matthias Walther

2 Inhalt Einführung Lighthouse-Modell Numerische Ergebnisse Schlussbemerkungen

3 Unterschiede zum 1 Neuronenmodell betrachten nun ein Netz aus N Neuronen diese können auf unterschiedlichste Weisen miteinander verbunden sein (zufällig, benachbart,... ) Modell möglichst stark vereinfachen Auswirkungen beobachten

4 Ziele Wir interessieren uns für die Wechselwirkung der Neuronen aufeinander insbesondere die Synchronisation der Neuronen ( phase locked ) die Bedingungen, unter denen die Neuronen sich synchronisieren

5 Das Neuron ein komplexes System [3]

6 Modellbildung Dynamik im neuronalen Netz lässt sich reduzieren auf: Dendritischer Strom Ψ m (t) = ap k (t) γψ m (t) Phase Φ m (t) = Ψ m (t) + p ext,m (t) [1]

7 Dendritischer Strom Ψ m (t) = ap k (t) γψ m (t) [1]

8 Einführung Lighthouse-Modell Numerische Ergebnisse Schlussbemerkungen Phase Idee: Neuron feuert 2π-periodisch [1] Über das Axon laufende Pulse Pk (t) = f (Φk (t)) = δ(φk (t) 2πν)Φ k (tν ) ν

9 Naka-Rushton-Relation Abhängigkeit: Spike-Rate Neuron Input S(P ) = rp N Θ N + P N Für Phase gilt also Φ m = S (Ψ m (t) + p ext,m (t)) [1]

10 2 Neuronen a P 1 Φ 1 Ψ 2 a P 2 Φ 2 Ψ 1 Neuron 1 Ψ 1 (t) = af(φ 2 (t)) γψ 1 (t) Neuron 2 Ψ 2 (t) = af(φ 1 (t)) γψ 2 (t) Φ 1 (t) = cψ 1 (t) + p ext,1 Φ 2 (t) = cψ 2 (t) + p ext,2

11 N Neuronen a 21 Ψ 2 Φ 1 P 1 Ψ 1 a12 P 2 Φ 2 Ψ m (t) = a mk P k (t) γψ m (t) k a 13 Φ 3 P 3 Φ m (t) = S (Ψ m (t) + p ext,m (t))

12 Modellierung des pulse-trains 6 Zur Erinnerung (zwei Neuronen): Ψ i (t) = af(φ j (t)) γψ i Φ(t) Φ i (t) = Ψ i (t) + p ext,i t Ziel: Simulation der DGln mit RK4. Frage: Wie ist f(φ(t)) = δ(φ(t) 2νπ) Φ(t) = δ(t ν ) zu ν Z tν modellieren? Lösung: Modelliere δ(t ν ) als normierte Rechteckfunktion mit Breite h (Zeitschrittweite des RK4 Verfahrens).

13 Simulation des phase-locked state Lösung für p ext,1 = p ext,2 = p Vergleich mit Theorie: Erwartet: identischer, konstanter Abstand der Peaks 1 = 2 = 1 p (2π a γ ) Aus der Numerik: p numerisch analytisch Tabelle : phase-locked state mit a = 1.0 und γ = 0.5

14 Phase locked state für t = 100 und t = 500, γ = 0.5,p = 0.4

15 Simulation des Frequency Pulling Betrachte nun p ext,1 p ext,2 : Vergleich mit Theorie: Erwartet: Anregung des 1. Neurons durch das Zweite Für γ 1 erwartete Frequenzen: ω i = 2π 2πpext,i+apext,j/γ 4π 2 a 2 /γ 2 Endliche Frequenz bei verschwindender externer Anregung eines der Neuronen

16 Phase locked state für t = 100 und t = 500, γ = 0.5,p 1 = 0.4, p 2 = 0.0

17 Erweiterung des Modells auf N Neuronen Zur Erinnerung: a mk Wechelwirkungsmatrix. Ψ m (t) = a mk f(φ k (t)) γψ m k Φ m (t) = Ψ m (t) + p ext,m Ziel: Erweiterung des Codes in N Dimensionen. Ausgabe: Dynamik des Systems Animation einer lin. Kette. Auftreten von Strukturen. Normierung bleibt nicht erhalten, weitere Überlegungen notwendig.

18 Erweiterung des Modells auf N Neuronen Zur Erinnerung: a mk Wechelwirkungsmatrix. Ψ m (t) = a mk f(φ k (t)) γψ m k Φ m (t) = Ψ m (t) + p ext,m Ziel: Erweiterung des Codes in N Dimensionen. Ausgabe: Dynamik des Systems Animation einer lin. Kette. Auftreten von Strukturen. Normierung bleibt nicht erhalten, weitere Überlegungen notwendig.

19 Zusammenfassung Ziel: Modellierung eines neuronalen Netzes Verwendetes Modell: Lighthouse-Modell Bisher: schwerpunktmäßige Betrachtung von zwei gekoppelten Neuronen Kennenlernen des Modells Klärung von Fragen der numerischen Umsetzung Vergleich mit analytischen Ergebnissen Jetzt: Übergang zu N-Neuronen

20 Zusammenfassung Ziel: Modellierung eines neuronalen Netzes Verwendetes Modell: Lighthouse-Modell Bisher: schwerpunktmäßige Betrachtung von zwei gekoppelten Neuronen Kennenlernen des Modells Klärung von Fragen der numerischen Umsetzung Vergleich mit analytischen Ergebnissen Jetzt: Übergang zu N-Neuronen

21 Ausblick Bisher: Stromdynamik in statischem Neuronennetz Nächster Schritt: Simulation neuronaler Plastizität Neuronale Plastizität: Veränderung der Struktur des Neuronennetzes Entwicklungsbedingt Aktivitäsabhängig In diesem Fall: Aktivitätsabhängige Veränderungen Mögliche Ursachen: Lernerfolg

22 Synaptische Plastizität nach Hebb Kausales Feuern führt zur Verstärkung der synaptischen Verbindung Akausales Feuern schwächt die synaptische Verbindung Φ j a ij Ψ j Ψ i Φ i P j a ji P i Dies wird mathematisch durch eine zeitabhängige Kopplungsmatrix a ij (t) realisiert.

23 Quellen Haken, H.: Brain dynamics: an introduction to models and simulations. Springer Verlag, Chen, C. and Jasnow, D.: Phys. Rev. E (2010) commons.wikimedia.org

24 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

25 Mathematische Modellierung der Zeitabhängigkeit Φ j a ij Ψ i P j Φ i a ji P i Ψ j ȧ ij = A i P i ra ij B j P j A i = (1 A i )P j A i τ A Ḃ j = (1 B j )P i B j τ B

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