Aufgaben zu Symmetrieoperationen

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1 Aufgaben zu Symmetrieoperationen Bitte bearbeitet die nachfolgenden Aufgaben innerhalb der nächsten Stunde in kleinen Gruppen. Wenn ihr nicht weiterkommt, überspringt die Aufgabe oder fragt nach Hilfe. 1. Finde alle Spiegel- und Dreh-Symmetrien in den folgenden Logos. Zeichne die Symmetrien, wenn möglich, ein oder notiere sie unter dem jeweiligen Logo. 2. Wie viele Spiegelebenen kannst du finden, sodass die Elementarzelle nach der Spiegelung wieder genau gleich aussieht? Tipp: Du kannst dir das 3-D Modell zur besseren Anschauung nehmen. 1

2 3. a) Zeige oder widerlege, dass der Schnittpunkt zweier senkrecht aufeinander stehenden Spiegelebenen ein Inversionszentrum ist. Beginne damit, eine beliebige Figur in das linke obere Viertel zu zeichnen. Zur Erinnerung: Eine Inversion ist eine Punktspieglung oder auch eine Drehung um 180. Gedreht wird dabei um das Inversionszentrum, also dem Schnittpunkt der beiden Spiegelachsen. b) Macht es einen Unterschied, ob die Ausgangsfigur zuerst an der senkrechten und danach an der waagrechten Spiegelachse gespiegelt wird oder andersherum? 2

3 4. Untersuche die folgenden Bilder auf Symmetrie. Suche eine Symmetriezelle und eine Elementarzelle. Ordne anschließend die Bilder den passenden Flächengruppen zu, eine Übersicht findest du auf der übernächsten Seite. 1. Tipp: Benutze dazu die folgenden Symmetrieoperationen: Translation; Drehung; Spiegelung; Gleitspiegelung (Translation + Spiegelung) 2. Tipp: Eine Elementarzelle ist der kleinstmögliche Baustein eines Objektes, der alle Symmetrieelemente enthält und durch reines Aneinanderreihen (Translation) das gesamte Objekt erzeugt. Eine Symmetriezelle ist der kleinstmögliche Baustein eines Objektes, der alle Symmetrieelemente enthält und durch Anwendung aller Symmetrieoperationen (siehe 1. Tipp) das gesamte Objekt erzeugt. Beispiel: Gruppe P4 Das gelbe Quadrat zeigt eine mögliche Elementarzelle. Diese kann nach rechts, links, oben oder unten verschoben werden und ergibt ohne Lücke das gesamte Bild. Das blaue Rechteck zeigt eine Symmetriezelle mit Beachtung der Farben. Durch Anwenden der verschiedenen Symmetrieoperationen kann mit diesem Bildausschnitt das komplette Bild wiederhergestellt werden. Das rote Quadrat zeigt eine Symmetriezelle ohne Beachtung der Farben. Die lila Punkte entsprechen den roten Punkten der Gruppe P4 auf der Übersichtsseite mit den 17 Flächengruppen. 3

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5 Die 17 Flächengruppen 5

6 5. Entscheide, welche der folgenden Aussagen zutreffend sind und welche nicht. Teste deine Vermutungen auf einem Schmierblatt. a) Das Inverse einer Drehung ist immer die Drehung selbst. b) Das Inverse einer Spiegelung ist immer die Spiegelung selbst. c) Es ist egal, in welcher Reihenfolge Symmetrieoperationen ausgeführt werden. d) Der Schnittpunkt zweier senkrecht aufeinander stehenden Spiegelebenen ist ein Inversionszentrum. e) Es ist egal, ob bei der Gleitspiegelung zuerst verschoben und dann gespiegelt oder zuerst gespiegelt und dann verschoben wird. Tipp: Inverse heißt, dass das was zuvor geschehen ist, wieder rückgängig gemacht wird. Hier wurde z.b. um 72 in die eine Richtung gedreht. Die Inverse dazu ist dann um 72 in die andere Richtung zu drehen. 6

7 6. Konstruiere eine beliebige Figur, deren Parkettierung nur die Eigenschaft der Translationsinvarianz erfüllt. Erklärung: Ist die Parkettierung nur durch die Verschiebung deiner Figur möglich, nennt man diese Figur translationsinvariant. Parkettierung bedeutet, dass mittels einer oder mehreren Figuren eine Ebene lückenlos abgedeckt werden kann. Tipp: Mit der Figur die du finden sollst, darf nicht durch Drehungen oder Spiegelungen eine Ebene parkettiert werden, sondern allein durch Verschiebungen. 7