So genannte. Steckbriefaufgaben. für ganzrationale Funktionen. Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades

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Stefan Kramer
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1 Analysis Funktionsgleichungen aufstellen So genannte Steckbriefaufgaben für ganzrationale Funktionen Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades Lösungen teilweise auch mit ausführlicher Beschreibung des CAS-Einsatzes mit CASIO ClassPad und TI Nspire Lösungen auch mit Matrizenrechnung (Gauß) Datei Stand 27. April 2008 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Vorwort Im 1. Teil geht es nur um Funktionen 2. Grades, deren Schaubild also eine Parabel ist. Die Aufgaben aus sind auch in Klasse 9 lösbar. In werden Funktionen 3. Grades behandelt, dabei werden auch Ableitungsfunktionen benötigt bezieht sich auf Funktionen 4. Grades. Inhalt 3 Funktionen 3. Grades aufstellen Übersicht und Grundwissen Routineaufgaben dazu Überbestimmte Funktionen 26 3,4 Unterbestimmte Funktionen Funktionenscharen Gezielte Aufstellung von Funktionenscharen Trainingsaufgaben 42-62

3 42081 Steckbriefaufgaben Funktionen 3. Grades aufstellen 3.1 Übersicht und Grundwissen Eine ganzrationale Funktion 3-ten Grades hat allgemein diese Gleichung (Normalform): ( ) = oder ( ) f x ax ax ax a 1 o f x = ax + bx + cx + d. a, b c und d bzw. a 0, bis a 3 nennt man die Koeffizienten (Vorzahlen) der x-potenzen. Typische Schaubilder für Funktionen 3. Grades (= Parabeln 3. Grades): (a) (d) f(x) x 3x 4 H f(x) = (b) T = x (e) 8 O ist hier ein Terrassenpunkt d. h. ein endepunkt mit waagerechter Tangente. Demo: f(x) = x + x (c) T f(x) = x x x (f) Mathe-CD H f(x) = x + x f(x) = x x + 3x 9 (-1 0) bzw. (3 3) sind auch Terrassenpunkte. In diesen 6 Schaubildern kommt alles vor, was diese Funktionen zu bieten haben: In (a) und (b) liegt eine elle vor, d.h. die Kurve hat einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen endepunkt. Ein wichtiger Unterschied in den beiden Schaubildern bzw. Funktionen ist das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten. Bei (a) beginnt die Funktion so: f(x) = x und bei (b) f(x) = x +... Ist dieser höchste Koeffizient positiv, dann gilt: Für x folgt 8 f( x) Koeffizient negativ, dann gilt: Für x folgt f( x). Das bedeutet, dass die Kurve nach rechts oben entschwindet. Ist dieser höchste. Das bedeutet, dass die Kurve nach rechts unten entschwindet. Alle Funktionen haben jedoch die ertmenge R.

4 42081 Steckbriefaufgaben 2 4 Unsere Aufgabenstellung liegt darin, aus gewissen Eigenschaften der Kurven bzw. Funktionen auf die Kurven- bzw. Funktionsgleichung zu schließen. Dahinter stecken diese Prinzipien: 1. Punktprobe: enn ein Punkt A( 2 4 ) auf einer Kurve liegt, dann bedeutet dies, dass die Zahl 2 den Funktionswert 4 hat: f( 2) = 4. Man kann somit 2 in die Funktionsgleichung von f einsetzen, das Ergebnis ist dann 4. Beispiel: Die unbekannte Funktion hat (noch) die Gleichung f( x) = ax + bx + cx+ d. A( 2 4) K führt dann zu 4 = a 2 + b 2 + c 2+ d 2. Extrempunktbedingung: bzw. 4 = 8a+ 4b+ 2c+ d (1) In einem Hochpunkt oder einem Tiefpunkt (das sind die Extrempunkte), hat eine ganzrationale Funktion stets eine waagerechte Tangente, d.h. ihre Tangentensteigung ist dort 0. Diese berechnet man durch Einsetzen der x-koordinate des Extrempunkts in die 1. Ableitungsfunktion. Beispiel: Die unbekannte Funktion hat (noch) die Gleichung f( x) = ax + bx + cx+ d, 2 ihre Ableitungsfunktion ist dann f' ( x) = 3ax + 2bx+ c. 3. endepunktsbedingung: enn H2 4 ( ) ein Punkt mit waagrechter Tangente ist, dann gilt f' ( 2) = 0. 2 Dies ergibt die Gleichung 3a 2 + 2b 2 + c = 0 bzw. 12a + 4b + c = 0 (2) (Zusätzlich gilt die Gleichung (1) oben, denn H ist ja ein Kurvenpunkt. enn ( 1 3) endepunkt einer ganzrationalen Kurve 3. Grades ist, dann hat die 2. Ableitung an der endestelle -1 eine Nullstelle (das bedeutet Krümmungswechsel). Beispiel: Die 2. Ableitung ist f'' ( x) = 6ax+ 2b. Die endepunktsbedingung f'' ( 1) = 0 führt dann zu ( ) bzw. 6a + 2b = 0 (3) 6a 1 + 2b = 0 Um eine ganzrationale Funktion 3. Grades zu erfassen, muss man 4 Bedingungen kennen, damit man über 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten zu den Koeffizienten, a, b, c und d in f( x) = ax + bx + cx+ d kommt.

5 42081 Steckbriefaufgaben Routineaufgaben dazu Zuerst die Übersicht über die Beispiele, die auf den Folgeseiten besprochen werden. Beispiel 1 (H und gegeben) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat den Hochpunkt H0 1 ( ) und den endepunkt ( 2 0 ). Lösungen ab Seite 4: Eliminationsverfahren, mit CASIO ClassPad (CAS) und mit TI Nspire (CAS). Beispiel 2 (4-Punkte-Aufgabe) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Schaubild durch die Punkte 1 5 B 1 26 D geht. A1 ( 2), ( ), ( ) C2 4 und ( ) 2 2 Lösungen ab Seite 10: Eliminationsverfahren, mit Matrizenrechnung nach Gauß und mit TI Nspire. Beispiel 3 (4-Punkte-Aufgabe) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Schaubild durch die Punkte A1 0 ( ), ( ) 9 B6 1, ( ) C2 und D0 ( 5) geht. 5 Lösung ab Seite 13: Eliminationsverfahren und mit Matrizenrechnung nach Gauß. Beispiel 4 (H und T gegeben) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat den Hochpunkt H( 1 0) T und den Tiefpunkt ( ) Lösung ab Seite 15: Eliminationsverfahren und mit Matrizenrechnung nach Gauß. Beispiel 5 (Tiefpunkt und Tangente) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat im Ursprung die Tangente y = 4x und den Tiefpunkt T( 4 0 ). Lösung ab Seite 17 mit dem Eliminationsverfahren. Beispiel 6 (Punktsymmetrie, Tangente) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat im Punkt N( 3 0) eine Tangente mit der Steigung 6. Lösung ab Seite 18 mit dem Eliminationsverfahren. Beispiel 7 (endetangente und endenormale) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat die endetangente y = 2x+ 1 und berührt diese bei x = 2. Die Normale im endepunkt schneidet die Kurve bei x = 5. Lösung ab Seite 19: Eliminationsverfahren. 9 Beispiel 8 (Gemeinsamkeiten zweier Funktionen) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion f 3. Grades schneidet die x-achse an denselben Stellen wie das Schaubild der Funktion ( ) rechtwinklig. Bestimme die Gleichung von f. Lösung ab Seite 21: Eliminationsverfahren. gx = x + 2x. Zusätzlich schneiden sie sich im Ursprung 2

6 42081 Steckbriefaufgaben 2 6 Beispiel 9 (Gemeinsamkeiten zweier Funktionen) Gegeben ist eine Funktion g durch ( ) (Schaubild nebenan). gx = x x + 3x B Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Schaubild K das Schaubild G von g in B berührt, in A schneidet und seinen Tiefpunkt an der Stelle hat, an der G seinen Terrassenpunkt besitzt (laut Zeichnung möglicherweise bei x = 2). A T

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