Algorithmen und Datenstrukturen VO 3.0 Vorlesungsprüfung 19. Oktober 2007

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1 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen VO 3.0 Vorlesungsprüfung 19. Oktober 2007 Machen Sie die folgenden Angaben bitte in deutlicher Blockschrift: Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienkennzahl: Anzahl abgegebener Zusatzblätter: Legen Sie während des Tests Ihren Studentenausweis vor sich auf das Pult. Sie können die Lösungen entweder direkt auf die Angabeblätter oder auf Zusatzblätter schreiben, die Sie auf Wunsch von der Aufsicht erhalten. Es ist nicht zulässig, eventuell mitgebrachtes eigenes Papier zu benutzen. Die Verwendung von Taschenrechner, Mobiltelefonen, Skripten, Büchern, Mitschriften, Ausarbeitungen oder vergleichbaren Hilfsmitteln ist nicht erlaubt. A1: A2: A3: A4: A5: Summe: Erreichbare Punkte: Erreichte Punkte: Viel Erfolg! 1

2 Aufgabe 1.A: Notationen a) (8 Punkte) Gegeben sei die folgende Funktion: f(n) = { 7n n 3 + 3n 2 log n n + π... falls n teilbar durch 3 2n 3 (log n)2 log n + n2 n 1 n 2... falls n nicht teilbar durch 3 1. (6 Punkte) Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle die zutreffenden Felder an: f(n) ist Θ(.) O(.) Ω(.) keines n 3 log n n 3 n 3 n Jede Zeile wird nur dann gewertet, wenn sie vollständig richtig ist. 2. (2 Punkte) Entwerfen Sie nun einen möglichst einfachen Algorithmus, der die gleiche Laufzeit in Θ-Notation (in Abhängigkeit von n) aufweist und der mindestens aus 2 ineinander verschachtelten Schleifen besteht. b) (2 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie, dass für ) eine beliebige positive Funktion g(n) die Beziehung f(n) = Θ(g(n)) f(n) = O gilt. ( 2 g(n) 3 2

3 Aufgabe 2.A: Sortierverfahren a) (4 Punkte) Beschreiben Sie allgemein die Gestalt von zu sortierenden Schlüsselfolgen, sodass Quicksort den maximalen Aufwand von (1 Punkt), bzw. den minimalen Aufwand von (1 Punkt) in Abhängigkeit von der Größe der Eingabefolge n benötigt. Konstruieren Sie aus den ersten zehn natürlichen Zahlen jeweils eine Beispielfolge. b) (2 Punkte) Welcher Sortieralgorithmus eignet sich zum Sortieren von großen Datenmengen, die nicht mehr vollständig in den Arbeitsspeicher passen, Quicksort oder Mergesort? Erläutern Sie Ihre Antwort kurz. c) (4 Punkte) Gegeben sei ein Feld A mit den folgenden Elementen in dieser Reihenfolge: A = [6,9,12,2,11,5]. Sortieren Sie dieses Feld jeweils mit den folgenden beiden Sortierverfahren: Insertion-Sort und Selection-Sort. Geben Sie alle wichtigen Zwischenschritte (d.h. die Folge nach jeder Iteration) an. 3

4 Aufgabe 3.A: Hash-Verfahren a) (4 Punkte) Gegeben sei eine Hashtabelle H mit m = 7 Feldern. Die Kollisionsbehandlung erfolgt mittels Double Hashing. Die beiden Hashfunktionen lauten: h 1 (k) = (2k + 3) mod 7 h 2 (k) = (k mod 5) + 2 Wie lautet die entsprechende Hashfunktion h(k,i)? Die Hashtabelle H befindet sich nach dem Eintragen einiger Elemente in folgendem Zustand: Tragen Sie nun das Element 7 in die Hashtabelle H ein, uns zwar ein Mal mittels normalem Double Hashing, und ein Mal unter Verwendung der Verbesserung nach Brent. Geben Sie jeweils alle dabei berechneten Hashwerte an. Wie verhält sich die Anzahl der Kollisionen bei den beiden Verfahren? b) (6 Punkte) Geben Sie die Belegung einer Hashtabelle der Länge 13 an, wenn die Schlüssel 5,1,19,23,14,17,32, 30 in genau dieser Reihenfolge in eine anfangs leere Tabelle eingefügt werden und offenes Hashing mit Hashfunktion h(k) = k mod 13 und quadratischem Sondieren (c 1 = 2 und c 2 = 4) verwendet wird. 4

5 Aufgabe 4.A: Durchmusterung a) (4 Punkte) Gegeben sind sowohl die Preorder als auch Inorder Reihenfolge der Elemente eines binären Baumes T: Preorder Reihenfolge: Inorder Reihenfolge: beta, kappa, lambda, gamma, delta, epsilon, alpha kappa, beta, epsilon, delta, gamma, alpha, lambda 1. (2 Punkte) Konstruieren Sie den dazugehörigen binären Baum T. 2. (2 Punkte) Wie lautet die Postorder-Reihenfolge von T? b) (6 Punkte) Geben Sie den Pseudocode eines Algorithmus Traverse(r) an, der einen binären Baum mit Wurzel r in Level-Reihenfolge durchläuft und dabei die jeweiligen Schlüssel ausgibt. Die Level-Reihenfolge eines binären Baums T ist folgendermaßen gegeben: Durchsuche zuerst alle Knoten der Tiefe 0 (die Wurzel des Baumes), dann alle Knoten der Tiefe 1 (Kinder der Wurzel) von links nach rechts, danach alle Knoten der Tiefe 2 (Kinder der Kinder der Wurzel) von links nach rechts, usw. Ein Knoten t des Baumes speichert folgende Informationen: t.schluessel, t.links sowie t.rechts. Falls Sie für Ihren Algorithmus einen Stack (Stapel) S oder eine Queue (Warteschlange) Q benötigen, so können Sie diese Datenstrukturen mit den jeweiligen Operationen (S.push() und S.pop(), beziehungsweise Q.put() und Q.get()) als gegeben voraussetzen und direkt verwenden. Achten Sie darauf, dass der von Ihnen verwendete Pseudocode eindeutig ist. Verwenden Sie aussagekräftige Bezeichner und versehen Sie wichtige/kritische Stellen in Ihrem Pseudocode mit Kommentaren. 5

6 Aufgabe 5.A: Suchen in Texten Tries Gegeben seien ein Alphabet Σ={ l, m, n, o, p } und folgender Indexed Trie: wurzel: (1) end: next: l m n o T F F F / / p F (2) l m n o p (3) l m n o p (4) end: T F F F F end: F T F T F end: next: / / / / / next: / / / / / next: l m n o p T T F T F / / / / (5) end: next: l m n o p T F F F F / / / / / a) (4 Punkte) Geben Sie alle Wörter an, die der oben dargestellte Indexed Trie enthält. b) (2 Punkte) Führen Sie Suffix Compression im oben dargestellten Indexed Trie durch. Kennzeichnen Sie die Änderungen deutlich! c) (4 Punkte) Aus dem resultierenden Indexed Trie mit Suffix Compression soll nun ein Packed Trie erstellt werden. Verwenden Sie dazu die Greedy-Heuristik aus der Vorlesung bzw. aus dem Skriptum. Zeigen Sie dabei mit Hilfe einer kleinen Graphik (wie in der Vorlesung bzw. im Skriptum), auf welche Weise die Knoten gepackt werden, und zeichnen Sie den Packed Trie. 6